1、第一课时 空间几何体【学习目标】1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；2.能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；3.了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。【经典例题】1.解决立体几何问题的基本思想是空间问题平面化通过前面的学习，我们会发现，解决立体几何问题的关键往往怎样将其转化为某个平面内的问题，这是立体几何问题解决的基本思想.例1.已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E，F，G，H。设四面体EFGH的表面积为T，则等于（A） （B） （C） （D）【解析】本题是一个高考题，考查了空间图形的结构特征，表面
2、积的计算等，但在计算的过程中，还要用到平面几何的知识，体现出对正四面体的结构特征综合深入的考查。为了研究的方便，应该画出图形，如图，通过观察和分析，不难得出判断：四面体EFGH也是正四面体，它的每个侧面都是全等的下正三角形，于是便可以将这两个正四面体表面积的比转化为每个面正三角形面积的比，由于正三角形是相似图形，于是又可进一步转化为正三角形对应边的平方比，即。这样，只要求出EF与BD的比值，问题便得解。连结AE并延长交BC于M，连结AF并延长交CD于N，连结MN，由已知可得M，N分别为BC，CD的中点，则在AMN中，EF/MN且AE：AM=2:3，即EF=，由以上结论便可得出EF=，即EF:B
3、D=1:3，所以。【评析】关键在于空间问题平面化.题目虽小，但所涉及的知识内容却不少，在重点考查正四面体结构特征的同时，也考查了正三角形的性质、中位线定理 、相似三角形中成比例的线段、相似三角形面积的比与相似比的关系等初中平面几何的内容，同时还以画图、想图的方式考查了空间想象能力，使计算与空间想象融为一体。2. 立体几何的图形变换例2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（ ）A48+12 B48+24 C36+12 D36+24【解析】由三视图知三棱锥直观图如下，其侧面BCP底面ABC，O为BC中点，D为AB中点，,易知,故三棱锥的全面积为：，选A.【评析】本题考查三视图
4、与直观图之间的关系，关键在于将三视图中的几何关系对应于直观图。例3.球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（ ）A6:13 B5:14 C3:4 D7:15分析：题中组合体的结构特征是球内切于圆台，可以画出球和圆台的轴截面，圆台的高与球的直径相等，根据球和圆台的体积公式，求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1 + r2.AOB = 90，OEAB (
5、E为切点)，R2 = OE2 = AEBE = r1r2.由已知：S球S圆台侧= 4R2(r1+r2)2 = 34(r1 + r2)2 =V球V圆台 =故选A.【评析】简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.例4. 如图，在边长为2的正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，.将沿DE、EF、DF折成三棱锥，则三棱锥的表面积是_解：如图，将沿DE、EF、DF折成三棱锥后，得
6、正四面体ADEF，四个面都是边长为1的正三角形.在中，作于点G,易得，故，从而知所得三棱锥的表面积是.课堂练习：1.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) 正视图 侧视图 俯视图A.六棱柱 B.六棱锥 C.六棱台 D.六边形2.棱长都是的三棱锥的表面积为（A ）A. B. C. D.3.球面上有P、A、B、C四个点，且PA、PB、PC两两垂直.如果PA=3,PB=4,PC=5，则这个球的表面积是（ B ）.A. B. C. D. 【解析】由于PA、PB、PC两两垂直.可以PA、PB、PC为三条棱将其补形为长方体（如图），可知长方体的长、宽、高分别为3，4，5，其对角线即球的直
7、径为，所以球面半径为，所以球的表面积为，选B.4.设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P，Q，分别是侧棱AA1，CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为（A） （B） （C）（D） 【解析】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算。如图,因为 PA=QC1，所以PQ将三棱柱的侧面AA1C1C分成面积相等的两个梯形，从而, 又 = ，且三棱柱ABC-A1B1C1被分成两个四棱锥B-APQC与B-PA1C1Q以及三棱锥B-A1B1C1三部分，所以 5.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相
8、等设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则（） 【解析】如图：由题意知三棱锥为正四面体，设三棱锥棱长为，则，同理可求出四棱锥的体高，又由V柱=V三棱锥+V四棱锥=， 则有。所以，故选B.6. 正方体 中，是上底面中心，若正方体的棱长为，则三棱锥的体积为_7.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、，这个 长方体的对角线长是_；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，则它的体积为_、8.三棱柱ABC A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，求V1:V2 =.【分析】易知V1对应的几何体AEF A1B1C1是一个棱台，一个底面的面积与棱
9、柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的；V2对应的是一个不规则的几何体，显然这一部分的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V1来表示.【解析】首先证明几何体AEF A1B1C1是一个棱台。分别在平面、平面内延长交的延长线于点P，延长交的延长线于点Q。根据E、F分别为AB、AC的中点，所以，所以点P、Q为同一个点，即为三棱锥，所以AEF A1B1C1是一个棱台。设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V = V1 + V2 = Sh.E、F分别为AB、AC的中点.V1:V2 = 7:5.9.如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和
10、体积. BCAD452【分析】图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体是一个圆台挖去半球而得.【解析】由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面.S半球=8 ， S圆台侧=35 ，S圆台底=25. 故所求几何体的表面积为68由 .所以，旋转体的体积为.10.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱= 8. 若水平放置时，液面恰好过的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为多少？【分析】由于三棱柱形的高没有变，底面积纵截面中水液面积占的比例就是水的体积所占的比例.【解析】当水平放置时，纵截面中水液面积占，所以水液体积与三棱柱体积比为. 当底面ABC水平放置时，液面高度
11、为.课后练习：1.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ D ）.A.B. C.D.2.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（A ）.A. B. C. D.3.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则（ ）A. B. C. D. 【解析】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题.解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为的等腰三角形，所以有.，选A.4在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（ A ）.A. B. C. D.5.一个边长为2cm的正三角
12、形绕它的一条边旋转一周，所得旋转体的表面积为 ，体积为 . ，2 cm36.关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法：原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的；画与直角坐标系xoy对应的xoy时，xoy必须是45；在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；等腰三角形的直观图仍为等腰三角形； 梯形的直观图仍然是梯形；正三角形的直观图一定为等腰三角形.其中说法正确的序号依次是 . 7如图，已知正三棱柱（即底面为正三角形的直棱柱）的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 。（1）将正三棱柱沿侧棱CC1展开，其侧面展开图是一个
13、矩形（如图），由图中所示路线可得结论。由于正三棱柱底面边长为1，高为8，故展开图的底边长为3，宽为8，故最短路径为.8如图，在四边形中，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积 【解析】易知四边形绕旋转一周所成几何体为一个圆台挖去一个圆锥，其表面积由圆台侧面积、圆锥侧面积、圆台底面积构成.故9有三个不同的球和三个相同的正方体，一球切于正方体的各面，一球的切于正方体的各棱，一球过正方体的各项点，求这三个球的表面积之比【解析】设正方体的棱长为，三个不同球的半径依次分别，则所以，这三个球的表面积之比为.10. 已知一个几何体的三视图如右，试求它的表面积和体积.（单位：cm）解：图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱. 直角梯形的上底为1，下底为2，高为1；棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1，1，2，.所以此几何体的体积。表面积