1、2020-2021学年江苏省常州市部分学校高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知z2+i，则z（i）（）A6+2iB42iC62iD4+2i2在等边ABC中，AB1，D为AB边的中点，则的值为（）ABCD3第31届世界大学生夏季运动会将于2021年8月在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事期间为运动会提供咨询、交通引导、场馆周边秩序维护等服务招募的志愿者需接受专业培训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，其测试成绩（单位：分）如折线图所示，则下列说法正确的是（）A甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大B甲成绩的众数比乙成绩的众数小C甲成绩的极差比乙成绩的极差
2、小D乙的成绩比甲的成绩稳定4已知，则的值等于（）ABCD5如图，已知平面，且l设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD则下列结论一定正确的是（）AABCDB直线AB与CD可能为异面直线C直线AC与BD可能为异面直线D直线AB，CD，l相交于一点62021年江苏进入新高考模式，数学增加了多选题，已知在多项选择题的四个选项A、B、C、D中，有多项符合题目要求规定：全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了一些选项（选项个数大于或等于1），则其得分的概率为（）ABCD7在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若满足条件a3，A60的三角形有两个，则b
3、的取值范围是（）A（2，3）BCD8如图，点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论中不一定正确的是（）ADP平面AB1D1B平面A1CP平面PBDC三棱锥APB1D1的体积不变DA1PBD1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9若复数z满足（1+i）z5+3i（其中i是虚数单位），则（）Az的虚部为iBz的模为Cz的共轭复数为4iDz在复平面内对应的点位于第四象限10已知正四面体ABCD的棱长为a，则（）AABCDB四面体ABCD的表面积为a2C四面体ABCD的体
4、积为a3D四面体ABCD的外接球半径为a11下列命题正确的有（）A+B若（1，1），把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为（3，1）C在ABC中，若O点满足+，则O点是ABC的重心D在ABC中，若（），则P点的轨迹经过ABC的内心12在ABC中，满足cos2A+cos2B1，则下列说法正确的是（）ABC若A，B为不同象限角，则的最大值为2D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，取出的两件产品都是正品的概率为 14已知一组样本数据x1，x2，x10，且x12+x22+x1022020，平
5、均数11，则该组数据的标准差为 15已知向量、满足为单位向量，且（+）（），|+|，则向量、的夹角是 16如图，在棱长为的正方体ABCDABCD中，点E、F、G分别是棱AB、BC、CD的中点，则由点E、F、G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（1）计算：（i为虚数单位）；（2）已知z是一个复数，求解关于z的方程z3i1+3i（i为虚数单位）18已知向量（cos，sin+2sin），（sin，cos2cos），且（1）求cos（+）的值；（2）若，（0，），且tan，求2+的值19ABC的内角A，B，C的
6、对边分别为a，b，c，已知bsinAacos（B）（1）求B；（2）设a2，b，延长AC到点D使AC2CD，求BCD的面积20如图，三棱锥PABC的底面是等腰直角三角形，其中ABAC2，PAPB，平面PAB平面ABC，点E，F，M，N分别是AB，AC，PC，BC的中点（1）证明：平面EMN平面PAB；（2）当PF与平面ABC所成的角为时，求四棱锥APMNB的体积21习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况
7、，随机抽取n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：调查评分40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100心理等级有隐患一般良好优秀并绘制如图所示的频率分布直方图已知调查评分在70，80）的市民为400人（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在40，50）的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在50，60）的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的3
8、人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少？（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于0.8，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由（每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数问卷调查评分/100）22如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PAPD2，BCAD1，CD（1）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：lBC；（2）求直线BM与平面ABC
9、D所成角的正切值；（3）求直线BM与CD所成角的余弦值参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知z2+i，则z（i）（）A6+2iB42iC62iD4+2i解：z2+i，（2+i）（22i）44i+2i+262i，故选：C2在等边ABC中，AB1，D为AB边的中点，则的值为（）ABCD解：等边ABC中，AB1，D为AB边的中点，则（）故选：C3第31届世界大学生夏季运动会将于2021年8月在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事期间为运动会提供咨询、交通引导、场馆周边秩序维护等服务招募的志愿者需接受专业培训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，其测试成绩（单位：分）如折线
10、图所示，则下列说法正确的是（）A甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大B甲成绩的众数比乙成绩的众数小C甲成绩的极差比乙成绩的极差小D乙的成绩比甲的成绩稳定解：甲的成绩分别为90，93，92，94，96，93，乙的成绩分别为93，94，91，95，92，93，A：甲成绩的中位数为93，乙成绩的中位数为93，A错误，B：甲成绩的众数为93，乙成绩的众数为93，B错误，C：甲成绩的极差为96906，乙成绩的极差为95914，C错误，D：甲成绩的平均数为93，甲成绩的方差为，乙成绩的平均数为93，乙成绩的方差为，乙成绩比甲成绩稳定，D正确故选：D4已知，则的值等于（）ABCD解：，sin（）cos（）cos
11、（+），cos（+）故选：C5如图，已知平面，且l设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD则下列结论一定正确的是（）AABCDB直线AB与CD可能为异面直线C直线AC与BD可能为异面直线D直线AB，CD，l相交于一点解：梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD，则ABCD不一定成立；AB和CD不为异面直线；AC和BD不为异面直线；由AB、CD相交，设交点为P，可得P在AB上，又AB在平面内，可得P在平面内；同理可得P也在平面内，则P在平面、的交线上，即直线AB，CD，l相交于一点故选：D62021年江苏进入新高考模式，数学增加了多选题，已知在多项选择题的四个选项A、B、C、D中，有多项符合题目要
12、求规定：全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了一些选项（选项个数大于或等于1），则其得分的概率为（）ABCD解：考生随机地选了至少一个选项，共有：+15种，得分的选法有：7种，能得分的概率为P故选：C7在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若满足条件a3，A60的三角形有两个，则b的取值范围是（）A（2，3）BCD解：由正弦定理得2，所以sinB，因为三角形有两解，所以sinB1且ba，所以b，解得3故选：C8如图，点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论中不一定正确的是（）ADP平面AB1D1B平面A1CP
13、平面PBDC三棱锥APB1D1的体积不变DA1PBD1解：对于A，当P在C1处时，易知，DC1AB1，而DC1平面AB1D1，AB1平面AB1D1，故DC1平面AB1D1，故选项A可能正确；对于B，在正方体ABCDA1B1C1D1中，由三垂线定理可得，A1CBP，A1CBD，而BPBDB，且BP平面PBD，BD平面PBD，故A1C平面PBD，又A1C平面A1CP，故平面A1CP平面PBD，故选项B正确；对于C，而BC1AD1，则易知BC1平面AB1D1，点P在BC1上，则点P到平面AB1D1的距离为定值，故三棱锥APB1D1的体积为定值，故选项C正确；对于D，由三垂线定理可知，BD1B1D1，
14、若BD1A1P，则易知BD1平面A1PC1，则BD1BC1，而这显然不成立，故选项D一定不正确故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9若复数z满足（1+i）z5+3i（其中i是虚数单位），则（）Az的虚部为iBz的模为Cz的共轭复数为4iDz在复平面内对应的点位于第四象限解：由（1+i）z5+3i，得z4i，所以z的虚部为1，选项A错误；|z|，选项B正确；z的共轭复数为4+i，选项C错误；z在复平面内对应的点为（4，1）位于第四象限，选项D正确故选：BD10已知正四面体ABCD的棱长为
15、a，则（）AABCDB四面体ABCD的表面积为a2C四面体ABCD的体积为a3D四面体ABCD的外接球半径为a解：A，如图，取CD中点M，连接BM，AM，可得CDBM，CDAM，即可得CD面ABM，即有CDAB，故正确；B、正四面体ABCD的各棱长为a，正四面体ABCD的表面积4a2故正确；C、如图，设A在底面BCF的投影为H，则BH，AH，四面体ABCD的体积为，故错；D、将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，正四面体ABCD的棱长为a，正方体的棱长为，正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长，所以正
16、方体的对角线为2R，2R，Ra故正确故选：ABD11下列命题正确的有（）A+B若（1，1），把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为（3，1）C在ABC中，若O点满足+，则O点是ABC的重心D在ABC中，若（），则P点的轨迹经过ABC的内心解：对于A：，故A正确；对于B：若（1，1），把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为（1，1），故B错误；对于C：在ABC中，若O点满足+，如图所示：整理得：以OA和OB为邻边作平行四边形，所以，则OC2OE，则O点是ABC的重心，故C正确；对于D：由于为单位向量，由于（），则P点的轨迹在角平分线上，即经过ABC的内心，故D正确故选：ACD12在ABC中，满足
17、cos2A+cos2B1，则下列说法正确的是（）ABC若A，B为不同象限角，则的最大值为2D解：因为cos2A+cos2B1，可得+1，所以tanAtanB1，对于A，由题意可得sinAsinBcosAcosB，可得cos（AB）0，可得A+B，或AB，故错误；对于B，cos2A+cos2B1|cosB|sinA|tanA|，故正确；对于C，因为A，B为不同象限角，所以tanAtanB1，可得tanC+（tanC+）2，故正确；对于D，因为sin2A+sin2B+sin2C2sin（A+B）cos（AB）+2sinCcosC2sinCcos（AB）2sinCcos（A+B）4sinAsinBs
18、inC，所以4tanAtanB4，故错误故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，取出的两件产品都是正品的概率为解：从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，基本事件总数n326，取出的两件产品都是正品包含的基本事件个数m212，取出的两件产品都是正品的概率为P故答案为：14已知一组样本数据x1，x2，x10，且x12+x22+x1022020，平均数11，则该组数据的标准差为9解：一组样本数据x1，x2，x10，且x12+x
19、22+x1022020，平均数11，则该组数据的方差为（x111）2+（x211）2+（x1011）2（x12+x22+x102）+1012122（x1+x2+x10）（2020+121022110）81，该组数据的标准差为9故答案为：915已知向量、满足为单位向量，且（+）（），|+|，则向量、的夹角是 解：，又，且，的夹角是故答案为：16如图，在棱长为的正方体ABCDABCD中，点E、F、G分别是棱AB、BC、CD的中点，则由点E、F、G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于解：分别取AD中点P，CC1中点M，AA1中点N，可得出过E，F，G三点的平面截正方体所得截面为正六边形EFM
20、GPN，则正六边形的边长MG，故截面多边形的面积等于S四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（1）计算：（i为虚数单位）；（2）已知z是一个复数，求解关于z的方程z3i1+3i（i为虚数单位）解：（1）；（2）设za+bi（a，bR），则，代入z3i1+3i，得a2+b23i（abi）1+3i，即a2+b23b3ai1+3i，则，解得或则z1或z1+3i18已知向量（cos，sin+2sin），（sin，cos2cos），且（1）求cos（+）的值；（2）若，（0，），且tan，求2+的值解：（1）因为，所以cos（cos2cos）sin（sin+2s
21、in）0，所以（coscossinsin）2（sin2+cos2）2，所以cos（+）2，即cos（+）（2）因为，（0，），所以0+，因为cos（+），所以sin（+），所以tan（+），因为tan，所以tan（2+）1，因为0+，且cos（+）0，所以0，因为，所以02+因为tan（2+）1，所以2+19ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinAacos（B）（1）求B；（2）设a2，b，延长AC到点D使AC2CD，求BCD的面积解：（1）bsinAacos（B）由正弦定理，可得bsinAasinB，可得：asinBacos（B），可得：sinBcos（B），化简可得：t
22、anB，B（0，），B（2）由，可得sinA，可得cosA，sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，所以SABC2SBCDabsinC2，可得SBCD20如图，三棱锥PABC的底面是等腰直角三角形，其中ABAC2，PAPB，平面PAB平面ABC，点E，F，M，N分别是AB，AC，PC，BC的中点（1）证明：平面EMN平面PAB；（2）当PF与平面ABC所成的角为时，求四棱锥APMNB的体积【解答】（1）证明：由题意知，ABAC，E，N分别是AB，BC的中点，ENAC，ENAB，又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，EN平面ABC，EN平面PAB，EN平面EMN，
23、平面EMN平面PAB（2）解：连接PE，PAPB，且E是AB的中点，PEAB，又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC，PE平面PAB，PE平面ABC，连接EF，则PFE为PF与平面ABC所成的角，即PFE，tanPFEtan，而EF，PEEF，即点P到平面ABC的距离为PE，点M是PC的中点，点M到平面ABC的距离为dPE，四棱锥APMNB的体积VVPABCVMANCPESABCdSANC222121习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用某心
24、理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：调查评分40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100心理等级有隐患一般良好优秀并绘制如图所示的频率分布直方图已知调查评分在70，80）的市民为400人（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在40，50）的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在50，60）的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心
25、理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的3人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少？（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于0.8，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由（每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数问卷调查评分/100）解：（1）调查评分在70，80）的市民为400人，每组的纵坐标的和乘以组距10为1，0.84+80t1，解得t0.002（2）调查评分在40，50）的频率为0.002，调查评分在50，60）的频率为0.00
26、4，调查评分在40，50）的人数占调查评分在50，60）人数的，若按分层抽样抽取3人，则查评分在40，50）的人数为1人，调查评分在50，60）人数为2人，经过心理疏导后的恢复情况相互独立，选出的3人经过心里辅导后，心里等级均达不到的概率为，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为P1（3）由频率分布直方图可得，450.02+550.04+650.14+750.2+850.35+950.2580.7，估计市民心里健康问卷调查的平均评分为80.7，市民心里健康指数平均值为，只需发放心里指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动22如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD
27、BC，ADC90，平面PAD底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PAPD2，BCAD1，CD（1）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：lBC；（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；（3）求直线BM与CD所成角的余弦值【解答】（1）证明：因为ADBC，AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC平面PAD，又平面PAD平面PBCl，所以BC；（2）解：连结EC，取EC的中点H，连接MH，HB，因为M是PC的中点，H是EC的中点，所以MHPE，因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD，又因为平面PAD平面ABCD且平面PAD平面ABCDAD，所以PE平面ABCD，则MH平面ABCD，所以HB是BM在平面ABCD内的射影，则MBH为BM与平面ABCD所成的角，因为ADBC，BCAD，E为AD的中点，ADC90，所以四边形BCDE为矩形，则EC2，HBEC1，又MH，在MHB中，tanMBH，故直线BM与平面ABCD所成角的正切值为；（3）解：由（2）可知，CD/BE，所以直线BM与CD所成的角即为直线BM与BE所成的角，连接ME，在RtMHE中，ME，在RtMHB中，BM，又BECD，则在MEB中，所以直线BM与CD所成角的余弦值为