1、第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1椭圆的定义把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于_的点的轨迹叫做椭圆，这_叫做椭圆的焦点，_叫做椭圆的焦距思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么
2、？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？提示(1)点的轨迹是线段 F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在常数(大于|F1F2|)两个定点两焦点间的距离课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2椭圆的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程_y2a2x2b21(ab0)焦点(c,0)与(c,0)_a，b，c 的关系c2_x2a2y2b21(ab0)(0，c)与(0，c)a2b2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)到平面内两个定点的距离
3、之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆()(2)到两定点 F1(2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 3 的点 M 的轨迹为椭圆()(3)椭圆x225y2491 的焦点在 x 轴上()答案(1)(2)(3)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知椭圆x2my2161 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3，到另一焦点距离为 7，则 m 等于()A10B5 C15 D25D 由题意知 2a3710，a5，ma225.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(0，8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 20
4、，则此椭圆的标准方程为()【导学号：97792051】A.x2100y2361 B.y2400 x23361C.y2100 x2361 D.y220 x2121C 由题意知 c8,2a20，a10，b2a2c236，故椭圆的方程为 y2100 x2361.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点 A(3，2)和点 B(2 3，1)课时分层作业当堂达标固双基自
5、主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)由于椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为x2a2y2b21(ab0)a5，c4，b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为x225y291.(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上，设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)a2，b1.故所求椭圆的标准方程为y24x21.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(3)法一：当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)依题意有 32a2 22b21，2 32a2 1b21，解得a215，b25.故所求椭圆的标准方程为x215y251.课时分层作业当堂达标固双基自
6、主预习探新知合作探究攻重难返首页当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)依题意有22a2 32b2 1，1a22 32b21，解得a25，b215，因为 ab0，所以无解所以所求椭圆的标准方程为x215y251.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页法二：设所求椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0，mn)，依题意有3m4n1，12mn1，解得m 115，n15.所以所求椭圆的标准方程为x215y251.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程
7、；(3)寻求 a，b，c 的等量关系；(4)求 a，b 的值，代入所设方程2当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为 mx2ny21(mn，m0，n0)因为它包括焦点在 x 轴上(mn)或焦点在 y 轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点 A(0，2)和B12，3，求椭圆的标准方程解 设椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0，mn)，将 A，B 两点坐标代入方程得4n1，14m3n1，解得m1，n14，所求椭圆方程为 x2y241.课时分层作业当堂达标固双基自主
8、预习探新知合作探究攻重难返首页椭圆中的焦点三角形问题(1)椭圆x29y221 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若|PF1|4，则F1PF2 的大小为_(2)已知椭圆x24y231 中，点 P 是椭圆上一点，F1，F2 是椭圆的焦点，且PF1F2120，则PF1F2 的面积为_.【导学号：97792052】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究(1)求|PF2|求cosF1PF2 求F1PF2的大小(2)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析(1)由x29y221，知 a3，b 2，c 7.|PF2|2a|PF1|2，cosF1PF
9、2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|12，F1PF2120.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)由x24y231，可知 a2，b 3，所以 c a2b21，从而|F1F2|2c2.在 PF1F2中，由 余 弦 定 理 得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2 2|PF1|F1F2|cosPF1F2，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由椭圆定义得|PF1|PF2|2a4.由联立可得|PF1|65.所以 SPF1F212|PF1|F1F2|sinPF1F212652 32 3 35.答案(1)120(2)3 35课时分层作业当堂达标固双
10、基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a.2椭圆中的焦点三角形椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1，F2 构成的 PF1F2，称为焦点三角形在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|MF2|2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2(1)已知 P 是椭圆y25x241 上的一点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，且F1
11、PF230，则F1PF2 的面积是_84 3 由椭圆的标准方程，知 a 5，b2，c a2b21，|F1F2|2.又由椭圆的定义，知|PF1|PF2|2a2 5.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页在 F1PF2中，由 余 弦 定 理 得|F1F2|2|PF1|2|PF2|2 2|PF1|PF2|cosF1PF2，即 4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30，即 420(2 3)|PF1|PF2|，|PF1|PF2|16(2 3)SF1PF212|PF1|PF2|sinF1PF21216(2 3)1284 3.课时分层作业当堂达标固
12、双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)设 P 是椭圆x24y231 上一点，F1，F2 是椭圆的焦点，若PF1F290，则F1PF2 的面积是_32 由椭圆方程x24y231，知 a2，c1，由椭圆定义，得|PF1|PF2|2a4，且|F1F2|2，在PF1F2 中，PF1F290.|PF2|2|PF1|2|F1F2|2.从而(4|PF1|)2|PF1|24，则|PF1|32，因此 SPF1F212|F1F2|PF1|32.故所求PF1F2 的面积为32.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页与椭圆有关的轨迹问题探究问题1.如图 2-1-1，P 为圆 B：(x2)2
13、y236 上一动点，点 A 的坐标为(2,0)，线段 AP 的垂直平分线交直线 BP 于点 Q，求点 Q 的轨迹方程图 2-1-1课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示：用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量 a，b，c.所求点 Q 的轨迹方程为x29y251.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2.如图 2-1-2，在圆 x2y24 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足当点 P 在圆上运动时，线
14、段 PD 的中点 M 的轨迹方程是什么？为什么？图 2-1-2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用代入法(相关点法)求解用代入法(相关点法)求轨迹方程的基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为 M(x，y)，已知曲线上动点坐标为 P(x1，y1)(2)求关系式：用点 M 的坐标表示出点 P 的坐标，即得关系式x1gx，y，y1hx，y.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可所求点 M 的轨迹方程为x24y
15、21.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)已知 P 是椭圆x24y281 上一动点；O 为坐标原点，则线段OP 中点 Q 的轨迹方程为_(2)一个动圆与圆 Q1：(x3)2y21 外切，与圆 Q2：(x3)2y281 内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.【导学号：97792053】思路探究(1)点 Q 为 OP 的中点点 Q 与点 P 的坐标关系代入法求解(2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析(1)设 Q(x，y)，P(x0，y0)，由点 Q 是线段 OP 的中点知 x02x，y0
16、2y，又x204y2081.所以2x24 2y28 1，即 x2y221.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)由已知，得两定圆的圆心和半径分别为 Q1(3,0)，R11；Q2(3,0)，R29.设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，如图由题设有|MQ1|1R，|MQ2|9R，所以|MQ1|MQ2|10|Q1Q2|6.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页由椭圆的定义，知点 M 在以 Q1，Q2 为焦点的椭圆上，且 a5，c3.所以 b2a2c225916，故动圆圆心的轨迹方程为x225y2161.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作
17、探究攻重难返首页规律方法 1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法例(2)所用方法为定义法2对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点 P(x，y)与另一个已知曲线 C：F(x，y)0 上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点 Q 的坐标用点 P 的坐标表示出来，然
18、后代入已知曲线 C 的方程 F(x，y)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练3(1)已知 x 轴上一定点 A(1,0)，Q 为椭圆x24y21 上任一点，求线段AQ 中点 M 的轨迹方程课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 设中点 M 的坐标为(x，y)，点 Q 的坐标为(x0，y0)利用中点坐标公式，得xx012，yy02，x02x1，y02y.Q(x0，y0)在椭圆x24y21 上，x204y201.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页将
19、 x02x1，y02y 代入上式，得2x124(2y)21.故所求 AQ 的中点 M 的轨迹方程是x1224y21.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)在 RtABC 中，CAB90，|AB|2，|AC|32，曲线 E 过 C 点，动点 P 在曲线 E 上运动，且|PA|PB|是定值建立适当的平面直角坐标系，求曲线 E 的方程课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 以 AB 的中点 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知，曲线 E 是以 A，B 为焦点，且过点 C的椭圆，设其方程为x2a2y2b21(ab0)则 2a|AC|BC
20、|32524,2c|AB|2，所以 a2，c1，所以 b2a2c23.所以曲线 E 的方程为x24y231.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1已知 A(5,0)，B(5,0)动点 C 满足|AC|BC|10，则点 C 的轨迹是()A椭圆 B直线 C线段 D点C 由|AC|BC|10|AB|知点 C 的轨迹是线段 AB.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知椭圆 4x2ky24 的一个焦点坐标是(0,1)，则实数 k 的值是()【导学号：97792054】A1 B2 C3 D4B 椭圆方程可化为 x2y24k1，由题
21、意知4k14k11，解得 k2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点 P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.x24y231 B.x24y21C.y24x231 D.y24x21A 由题意知 c1，a2，b2a2c23.椭圆的方程为x24y231.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4已知椭圆x249y2241 上一点 P 与椭圆两焦点 F1，F2 的连线夹角为直角，则|PF1|PF2|_.48 由题意知|PF1|PF2|14|PF1|2|PF2|2100 2得 2|PF1|PF2|96.所以|PF
22、1|PF2|48.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 设所求椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)设焦点 F1(c,0)，F2(c,0)(c0)F1AF2A，F1A F2A 0，而F1A(4c,3)，F2A(4c,3)，(4c)(4c)320，c225，即 c5.5已知椭圆的中心在原点，两焦点 F1，F2 在 x 轴上，且过点 A(4,3)若F1AF2A，求椭圆的标准方程.【导学号：97792055】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页F1(5,0)，F2(5,0)2a|AF1|AF2|45232 45232 10 904 10.a2 10，b2a2c2(2 10)25215.所求椭圆的标准方程为x240y2151.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（六）点击上面图标进入 谢谢观看
