1、第四章平面向量、复数考点测试19平面向量的概念及线性运算高考概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义一、基础小题1给出下列等式：0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)其中正确的个数是()A2 B3 C4 D5答案D解析由零向量和相反向量的性质，知均正确2. 如图，在正六边形ABCDEF中，()A0 B.C. D.答案D解析由图知
2、.3给出下列命题：向量的长度与向量的长度相等；向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；|a|b|ab|a与b方向相同；若非零向量a，b的方向相同或相反，则ab与a，b之一的方向相同其中叙述错误的命题的个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析对于，当a0时，不成立；对于，当a，b之一为零向量时，不成立；对于，当ab0时，ab的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同故选C.4已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d反向共线，则实数的值为()A1 BC1或 D1或答案B解析由于c与d反向共线，则存在实数k使ckd(k0)，于是abka(21)b整理得abka(2kk)b.由于
3、a，b不共线，所以有整理得2210，解得1或.又因为k0，所以0，b0，若A，B，C三点共线，设，即(a1)e1e2(be12e2)，因为e1，e2是平面内两个不共线向量，所以解得，a1b，即ab1，则1122224，当且仅当，即a，b1时取等号，故的最小值为4.故选B.9(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()A2a3b4e且a2b2eB存在相异实数，使ab0Cxayb0(其中实数x，y满足xy0)D已知梯形ABCD，其中a，b答案AB解析对于A，向量a，b是两个非零向量，2a3b4e，且a2b2e，ae，be，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，
4、存在相异实数，使ab0，要使非零向量a，b是共线向量，由共线定理可知成立，故B正确；对于C，xayb0(其中实数x，y满足xy0)，如果xy0，则不能使a，b共线，故C错误；对于D，已知梯形ABCD中，a，b，如果AB，CD是梯形的上下底，则正确，否则错误故选AB.10(多选)已知等边三角形ABC内接于O，E为边BC的中点，D为线段OA的中点，则()A. B.C. D.答案AC解析如图所示，().故选AC.11(多选)已知P为ABC所在平面内一点，0，|2，则()AABC是直角三角形BABC是等腰三角形CABC的面积为2DABC的面积为答案AC解析由|得，PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连
5、接PD，则PDBC，又0，所以()2，所以PDAB1，且PDAB，故ABBC，即ABC是直角三角形，由|2，|1可得|，则|2，所以ABC的面积为222.12已知A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足()(是实数)，且是单位向量，则这样的点M有_个答案2解析由题意得，()，所以(13)()，设D为A2A3的中点，则(13)()为与共起点且共线的一个向量，显然直线A1D与以A1为圆心的单位圆有两个交点，故这样的点M有2个，即符合题意的点M有2个二、高考小题13(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D.答案A解析如图，在ABC中
6、，根据向量的运算法则，可得().故选A.14(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.B.C.D.答案A解析().故选A.15(2015北京高考)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.答案解析如图，在ABC中，().x，y.三、模拟小题16(2021辽宁东北育才学校三模)在ABC中，若4，则()A. BC. D答案C解析由题意得44()，解得.故选C.17(2021广东茂名市高三期中)已知向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数为()A2 B1 C. D.答案C解析因为ab与a2b平行，则存在kR，使得abk(a2b)，因为向量a，b不平行，则，解得.故选
7、C.18(2021山西太原高三模拟)平面向量a，b共线的充要条件是()Aab|a|b|Ba，b两向量中至少有一个为零向量CR，baD存在不全为零的实数1，2，1a2b0答案D解析对于A，ab|a|b|成立时，说明两个非零向量的夹角为零度，但是两个非零向量共线时，它们的夹角可以为平角，故A错误；对于B，两个非零向量也可以共线，故B错误；对于C，只有当a不是零向量时才成立，故C错误；对于D，当平面向量a，b共线时，若a0，则存在10，20，1a2b0，若a0，则存在一个，使得ba成立，令(20)，则ba，所以1a2b0，因此存在不全为零的实数1，2，1a2b0；当存在不全为零的实数1，2，1a2b
8、0成立时，若实数1，2都不为零，则有ab成立，显然a，b共线，若实数1，2有一个为零，不妨设10，则有2b0b0，所以平面向量a，b共线，所以D正确故选D.19(2021安徽高三二模)ABC中，D是BC的中点，点E在边AC上，且满足3，BE交AD于点F，则()A B.C D答案A解析由题设画出几何示意图，设，()，()由知(1)()，得.故选A.20. (2021滨海县八滩中学高三期中)如图，在ABC中，D是BC的中点，H是AD的中点，过H作一直线分别与边AB，AC交于M，N两点，若x，y，则x4y的最小值为()A. B. C. D.答案C解析因为D是BC中点，所以，由题知，2， 所以2，因为
9、M，H，N三点在同一直线上，所以1.x4y(x4y)，因为x0，y0，所以由基本不等式得24，所以x4y，当且仅当x，y时等号成立故选C.21(2021湖南天心长郡中学高三月考)在ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则()A. B. C. D.答案B解析如图，设AD交BC于E，且x，由B，E，C三点共线可得 1x，()()23.设SCED2y，则SBED3y，SBCD5y.又5，SACD10y，.故选B.22(多选)(2021福建龙岩高三月考)瑞士数学家欧拉在1765年发表的三角形的几何学一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之
10、半”这就是著名的欧拉线定理设ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心，BC边的中点为D，则下列四个结论中错误的是()A.2 B.0C.3 D.答案CD解析如图，由题意，得2，故A正确；D为BC的中点，G为ABC的重心，2，2，0，故B正确；2，2，AGHDGO，AGHDGO，2，故C错误；向量，的模相等，方向不同，故D错误故选CD.23(2021江苏省高三一模)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若12(1，2为实数)，则12_.答案解析因为ADAB，BEBC，所以()，所以1，2，则12.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2022银川摸
11、底)已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1，e2不共线，向量c2e19e2，问是否存在这样的实数，使向量dab与c共线？解d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，即得2.故存在这样的实数，只要2，就能使d与c共线2. (2022内江市市中区天立学校高三月考)如图所示，在ABCD中，a，b，BMBC，ANAB.(1)试用向量a，b来表示，；(2)AM交DN于O点，求AOOM的值解(1)ANAB，a，ab，BMBC，b，ab.(2)A，O，M三点共线，设ab，D，O，N三点共线，(1)a(1)b.a，b不共线，解得，AOOM311.3. (2021河南安阳模拟)如图，已知ABC的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的点，且ADDBBEEC21，AE与CD交于点P.设存在和，使，a，b.(1)求及；(2)用a，b表示；(3)求PAC的面积解(1)由于a，b，则ab，ab，a，由，得，.(2)aab.(3)由|，得SPABSABC8，由|1，得SPBCSABC2，SPACSABCSPABSPBC14824.