1、3.1.2第1课时 椭圆的简单几何性质【学习目标】课程标准学科素养1.掌握椭圆的简单几何性质(重点)2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响3.可以根据题目条件求椭圆的离心率或范围. (难点)1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】一椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0) (ab0)范围 对称性对称轴为 ，对称中心为 顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长|B1B2| ，长轴长|A1A2| 焦点 焦距|F1F2| 二离
2、心率1.定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的 2.性质：离心率e的范围是(0,1)当e越接近于1时，椭圆 ；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？【小试牛刀】思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆1(ab0)的长轴长等于a. ()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac. ()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆 ()(4)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为1. ( )(5)设F为椭圆1(ab0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为ac(c为椭圆的半焦距)( )【经典例题】题型一椭圆的简单几何性质点拨：由
3、标准方程研究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2b2c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.例1 求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标【跟踪训练】1 已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质题型二由几何性质求椭圆的标准方程点
4、拨：利用椭圆的几何性质求标准方程的思路1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：确定焦点位置；设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2，e等2.在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e；(2)经过点M(1,2)，且与椭圆1有相同的离心率【跟踪训练】 2 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为
5、12，则椭圆方程为()A1或1 B1C1或1 D1或1题型三求椭圆的离心率点拨：求椭圆离心率及范围的两种方法1.直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解2.方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围例3 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.【跟踪训练】 3 设椭圆1(ab0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存
6、在一点P，使0，求椭圆的离心率e的取值范围【当堂达标】1.已知椭圆C：的一个焦点为（2，0），则椭圆C的离心率为（）A B C D12(多选)已知中心在原点的椭圆C的半焦距长为1，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1 C.1 D.y213.比较椭圆x29y236与1的形状，则_更扁(填序号)4.设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为_5.椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为，且经过点(1)求满足条件的椭圆方程；(2)求该椭圆的长半轴的长、顶点坐标和离心率6.已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆
7、上存在点P，使，求椭圆的离心率的取值范围【参考答案】【自主学习】1 axa且byb bxb且aya 坐标轴 原点 2b 2a F1(c,0)，F2(c,0) F1(0，c)，F2(0，c) 2c 离心率 越扁思考：不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度【小试牛刀】 (1)(2)(3) (4)(5)【经典例题】例1 解：把已知方程化成标准方程为1，所以a4，b3，c，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6；离心率e；两个焦点坐标分别是(，0)，(，0)；四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)，(0,3)【跟踪训练】1 解：(1)由椭圆C1：1
8、，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(6,0)，离心率e.(2)椭圆C2：1.性质如下：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：e.例2 解：(1)若焦点在x轴上，则a3，e，c，b2a2c2963.椭圆的方程为1.若焦点在y轴上，则b3，e，解得a227.椭圆的方程为1.所求椭圆的方程为1或1.(2)法一：由题意知e21，所以，即a22b2，设所求椭圆的方程为1或1.将点M(1,2)代入椭圆方程得1或1，解得b2或b23.故所求椭圆的方程
9、为1或1.法二：设所求椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)，将点M的坐标代入可得k1或k2，解得k1，k2，故或，即所求椭圆的标准方程为1或1.【跟踪训练】2 C 解析：由条件知a6，e，c2，b2a2c232，故选C例3 A 解析：不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点依题意可知，BF1F2是正三角形在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60，cos 60，即椭圆的离心率e，故选A.【跟踪训练】3 解：由题意知PF1PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2y2c2上又点P在椭圆上，所以圆x2y2c2与椭圆1有公共点连接OP(图略)，则易知0b
10、ca，所以b2c2a2，即a2c2c2a2.所以c2a2，所以e1.所以e.【当堂达标】1.C 解析：由已知可得，则，所以，则离心率故选：C.2.AC 解析：依题意知，c1，e，即a2，b2a2c23，因此椭圆的焦点在X轴和Y轴两种可能，所以椭圆的方程为1或 1。3. 解析：把x29y236化为标准形式1，离心率e1，而1的离心率e2，这里e2e1，故更扁4. 解析：由题意，知F2F1PF2PF130，PF2x60.|PF2|23a2c.|F1F2|2c，|F1F2|PF2|，3a2c2c，e.5.解：（1）设椭圆的标准方程为，则 ,所以椭圆的标准方程为（2）由（1）知，椭圆的长半轴长为，顶点坐标为、，离心率.6.解：由题可知，设，由点P在椭圆上，得，所以，可得，所以
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