1、3.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 教学设计本小节内容选自普通高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）第二章圆锥曲线的方程的第一节椭圆。以下是本节的课时安排：第三章 圆锥曲线的方程课时内容3.1.1椭圆及其标准方程3.1.2椭圆的简单几何性质所在位置教材第105页教材第109页新教材内容分析椭圆是生产生活中的常见曲线，教材在用细绳画椭圆的过程中，体会椭圆的定义，感知椭圆的形状，为选择适当的坐标系，建立椭圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺垫。通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究
2、曲线性质所具有的程序化、普适性特点。核心素养培养通过椭圆的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对椭圆的定义理解，培养数学抽象的核心素养。通过椭圆的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与椭圆的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。教学主线椭圆的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。1.根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形，培养数学抽象的核心素养2了解离心率对椭圆扁平程度的影响，培养数学运算的核心素养3. 根据几何条件求出椭圆的方程，
3、培养数学运算的核心素养4.掌握椭圆标准方程中的a，b以及c，e的几何意义，a，b，c，e之间的相互关系.重点：由几何条件求出椭圆的方程 难点：由椭圆的方程研究椭圆的几何性质（一）新知导入 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等。观察椭圆x2a2+y2b2=1（ ab0 ）的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？思考： 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ （二）椭圆的简单几何性质知识点一
4、 椭圆的几何性质【探究1】如图(1)(2)所示，用计算机分别画出了椭圆C1：1和椭圆C2：1的图象，观察图象，发现它们的几何性质 1通过观察图象，你发现椭圆C1、椭圆C2上的点的坐标的范围是怎样的？提示椭圆C1上的点：5x5，4y4.椭圆C2上的点：4x4，5y5.2.椭圆1(ab0)上任意一点P(x，y)满足方程，则另一点P1(x，y)也满足方程这说明椭圆的图形有什么性质，类似地还有什么性质？提示椭圆关于y轴对称，椭圆还关于x轴、原点对称3两个椭圆的形状相同吗？为什么？提示两个椭圆的形状相同只是位置不同因为两个椭圆的长、短轴的长度分别相等椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标
5、准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长长轴长|A1A2|2a，短轴长|B1B2|2b焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c【做一做1】椭圆6x2y26的长轴的端点坐标是()A (1,0)，(1,0) B(6,0)，(6,0) B C(，0)，(，0) D(0，)，(0，)解析：椭圆方程可化为x21，则长轴的端点坐标为(0，)答案：D【做一做2】已知点(3,2)
6、在椭圆x2a2+y2b2=1上,则(C)A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上【做一做3】椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是_解析：2a18,2c2a6，a9，c3，b281972.椭圆的方程为1.答案：1知识点二 椭圆的离心率【探究2】离心率对椭圆扁圆程度的影响?提示 如图所示,在RtBF2O中,cosBF2O=ca,记e=ca,则0e1,e越大,BF2O越小,椭圆越扁;e越小,BF2O越大,椭圆越接近于圆.椭圆的离心
7、率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率(2)性质：形象记忆：0e0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解椭圆方程m2x24m2y21 (m0)可转化为1.m2，椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a，短半轴长b，半焦距长c.椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦点坐标为，顶点坐标为，.离心率e.2.由几何性质求椭圆标准方程例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)；(2)离心率e，焦距为12.分析焦点位置不确定，分两种情况利用待定系数法求解解(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为1(ab0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为y21；若焦
8、点在y轴上，设其标准方程为1(ab0)，由题意，得解得故所求椭圆的标准方程为1.综上，所求椭圆的标准方程为y21或1.(2)由e，2c12，得a10，c6，b2a2c264.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为1.综上所述，所求椭圆的标准方程为1或1.【类题通法】根据几何性质求椭圆标准方程的一般方法及步骤(1)基本方法：待定系数法(2)一般步骤：【巩固练习2】已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cosOFA，则椭圆的标准方程是_解析：因为椭圆的长轴长是6，cosOFA，所以点A不是长轴的端点(是短轴
9、的端点)所以|OF|c，|AF|a3，所以，所以c2，b232225，所以椭圆的方程是1或1.答案：1或13.求椭圆的离心率例3.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率分析ABF2为正三角形AF2F130把|AF1|，|AF2|用c表示解不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为ABF1F2，且ABF2为正三角形，所以在RtAF1F2中，AF2F130，令|AF1|x，则|AF2|2x，所以|F1F2|x2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|AF2|2a3x，所以e.【变式探究】将本例题条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于
10、A，B两点，若ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若AF1F2为正三角形”则椭圆的离心率是_解析：如图，连接BF2.因为AF1F2为正三角形， 且B为线段AF1的中点，所以F2BBF1.又因为BF2F130，|F1F2|2c，所以|BF1|c，|BF2|c.据椭圆定义得|BF1|BF2|2a，即cc2a，所以1，所以椭圆的离心率为1.答案：1【类题通法】求椭圆离心率的值(或取值范围)的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，
11、c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围【巩固练习3】已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(c,0)，A(a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.解由A(a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB，故AB所在的直线方程为ybx，即bxayab0.又F1(c,0)，由点到直线的距离公式可得d，(ac).又b2a2c2，整理得8c214ac5a20，即821450.8e214e50，e或e(舍去)综上可知，椭圆的离心率e.（四）操作演练 素养
12、提升1.已知椭圆1(ab0)与椭圆1有相同的长轴，椭圆1(ab0)的短轴长与1的短轴长相等，则()Aa215，b216 Ba29，b225Ca225，b29 Da225，b29或a29，b225解析：由题意得，椭圆1的焦点在x轴上，且a225，b29.答案：C2.已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为()A.1B.1C.y21 D.1解析：依题意得， 2a2c6，解得a2，c1，则b，所以椭圆C的标准方程为：1.答案：D3.设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A
13、. B.C2 D.1解析：由已知|PF2|2c，|PF1|2c.由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a，即2c2c2a，e1.答案：D4.椭圆1(ab0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是()A.1B2C.1 D2解析：如图，设F(c,0)，由OAF是等边三角形，得A，因为点A在椭圆上，所以有1，在椭圆中有a2b2c2，联立，得c2(42)a2，即c(1)a，则其离心率e1.答案：A答案：1.C 2.D 3.D 4. A【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第112页 练习 第1，2，3,4,5题 第115 页 习题3.1 第3,4题
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