1、第四节 幂函数与二次函数 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 第四节 幂函数与二次函数双基研习面对高考 1二次函数的图象和性质双基研习面对高考 基础梳理 解析式 f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域RR值域4acb24a，)(，4acb24a单调性在 x_上单调递减；在 x _上单调递增在 x_上单调递减；在 x _上单调递增奇偶性当_时为偶函数，_时为非奇非偶函数顶点(b2a，4acb24a)对称性图象关于直线_成轴对称图形(，b2a)(b2a，)(，b2a)(，b2a)b0b0 x b2a思考感悟1一元二次函数的解析式中含有参数时需注意些什么？提示：一元二次函
2、数f(x)ax2bxc(a0)中，含参数的位置不一样，对函数的影响不一样，如f(x)ax2x1.此函数虽然含有参数a，但不论a取何值，函数f(x)恒过一定点(0,1)；又如f(x)x2ax1，此函数中a只影响对称轴的位置，而开口方向及与y轴的交点都不变化；再如f(x)x22xa，此函数的开口方向及对称轴不发生变化掌握这些“变”与“不变”的关系，对于解决有关的二次函数问题可以起到化繁为简的作用2幂函数的定义形如_的函数称为幂函数，其中_为自变量，_为常数yxx3幂函数 yx，yx2，yx3，yx12，y1x的性质yxyx2yx3yx12yx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)
3、(，0)(0，)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减(0，)增 增增(，0)减(0，)减定点(0,0)(1,1)(1,1)4幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)(2)如果0，则幂函数图象过原点，并且在区间(0，)上为_(3)如果0，则幂函数图象在区间(0，)上为_在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴当x趋向于时，图象在y轴上方无限地逼近x轴(4)当为奇数时，幂函数为_，当为偶数时，幂函数为_增函数减函数奇函数偶函数思考感悟2幂函数与指数函数的主要不同是什么？提示：两种函数中自变量x所处的位置不一样，幂函数在底数的位置，指
4、数函数在幂指数的位置1函数yx2x2，x(1,5)的值域是_答案：74，22)课前热身 2.二次函数yf(x)图象如图所示那么此函数的解析式为_答案：f(x)34x233幂函数 f(x)的图象经过点(3，3)，则 f(x)的解析式是_答案：yx124当 1，12，1,3时，幂函数 yx 的图象不可能经过第_象限答案：二、四考点探究挑战高考 考点突跛 幂函数的性质 研究幂函数的性质主要侧重于单调性和奇偶性，单调性主要研究在(0，)上的情形，奇偶性情况较复杂，可利用定义进行判断已知幂函数 f(x)xm22m3(mN*)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1)m3(32a)m3
5、 的 a 的范围例1【思路分析】根据幂函数的性质求m的值，由f(x)的单调性求a的范围【解】函数 f(x)在(0，)上递减，m22m30，解得1m3.mN*,m1,2又函数的图象关于 y 轴对称，m22m3 是偶数，而 222233 为奇数，122134 为偶数，m1.而 yx13在(，0)，(0，)上均为减函数，(a1)13(32a)13等价于 a132a0，或 0a132a，或 a1032a.解得 a1 或23a32.故 a 的范围为a|a1 或23a32【名师点评】本题中易出现考虑不全面而忽略a1032a，使解析不完整变式训练 1 点(2，2)在幂函数 f(x)的图象上，点(2，14)在
6、幂函数 g(x)的图象上(1)求 f(x)，g(x)的解析式；(2)问当 x 取何值时有：f(x)g(x)；f(x)g(x)；f(x)g(x)解：(1)设 f(x)xa.因为点(2，2)在幂函数 f(x)的图象上，将(2，2)代入 f(x)xa 中，得 2(2)a，解得 a2，即 f(x)x2.设 g(x)xb，因为点(2，14)在幂函数 g(x)的图象上，将(2，14)代入 g(x)xb 中，得14(2)b，解得 b2，即 g(x)x2.(2)在同一坐标系下作出f(x)x2和g(x)x2的图象，如图所示由图象可知：当x1或x1时，f(x)g(x)；当x1或x1时，f(x)g(x)；当1x1且
7、x0时，f(x)g(x)二次函数的最值 求二次函数在给定区间上的最值(值域)，其关键是判断二次函数顶点的横坐标(或对称轴)与所给区间的关系，然后结合二次函数的图象，利用数形结合的思想来解决问题已知f(x)ax22x(0 x1)，求f(x)的最小值【思路分析】找出对称轴，讨论二次函数的开口方向及对称轴与区间0,1的关系【解】(1)当a0时，f(x)2x在0,1上递减，f(x)minf(1)2.例2(2)当 a0 时，f(x)ax22x 的图象的开口方向向上，且对称轴为 x1a.当1a1，即 a1 时，f(x)ax22x 的图象对称轴在0,1内，f(x)在0，1a上递减，在1a，1上递增f(x)m
8、inf(1a)1a2a1a.当1a1，即 0a1 时，f(x)ax22x 的图象对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.(3)当 a0 时，f(x)ax22x 的图象的开口方向向下，且对称轴 x1a0，在 y 轴的左侧，f(x)ax22x 在0,1上递减f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)mina2，a1，1a，a1.【名师点评】二次函数 f(x)ax2bxc(a0)，不妨设 a0 在区间m，n上的最大或最小值如下：(1)当 b2am，n，即对称轴在所给区间内时，f(x)的最小值在对称轴处取得，其值是 f(b2a)4acb24a，f(x)的最大值在离对
9、称轴较远的端点处取得，它是 f(m)、f(n)中的较大者(2)当 b2am，n，即给定的区间在对称轴的一侧时，f(x)是单调函数若 b2am，f(x)在m，n上是增函数，f(x)的最小值是 f(m)，最大值是f(n)；若 n b2a，f(x)在m，n上是减函数，f(x)的最小值是 f(n)，最大值是 f(m)解：函数 f(x)x22x(x1)21，对称轴 x1.(1)当 0a1 时，f(x)在0，a上为单调减函数，f(x)minf(a)a22a.(2)当 a1 时，f(x)在0,1上单调递减，在1，a上单调递增，f(x)minf(1)1.综上，当 0a1 时，f(x)的最小值为 a22a，当
10、a1 时，f(x)的最小值为1.互动探究2 若例2改为：已知函数f(x)x22x(0 xa)，求函数的最小值三个二次间的关系 二次函数、方程、不等式的核心是二次函数的图象，要注意三个二次问题的相互联系和互相转化已知函数f(x)x2ax3，(1)当xR时，f(x)a恒成立，求a的范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求a的范围【解】(1)f(x)a恒成立，即x2ax3a0恒成立，a24(3a)0，即a24a120，6a2.例3(2)f(x)(xa2)23a24，当a22，即 a4 时，fmin(x)f(2)2a7，由2a7a 得，a13和 a4 矛盾，当2a22，即4a4 时，fmin(x
11、)3a24，由 3a24 a 得，6a2，4a2，当a22，即 a4 时，fmin(x)f(2)2a7，由 2a7a，得 a7，7a4.综上得 a7,2【名师点评】求函数恒满足某个条件，就是求函数最大(最小)值恒小于(大于)某个式子，这种思想方法在做恒成立的题目中经常用到解：将不等式变形为 ax2x24x63x1，当 x0 时，不等式成立当 x0 时，ax24x6x2，即 a6x24x1，在 x(3,0)(0,1)时恒成立设 g(x)6x24x16(1x13)213，(1x13或1x1)g(x)的值域为(3，)因此，当 a3 时，原不等式在(3,1)内恒成立变式训练3 若x(3,1)时，不等式
12、(1a)x24x60恒成立，求a的取值范围二次函数的综合应用 二次函数是高考考查的永恒主题，常把二次函数的解析式、图象的对称轴、值域、最值、单调性等内容结合起来编制综合题，有一定的难度已知二次函数 f(x)ax2bxc(a、b、cR)，且同时满足下列条件：f(1)0；对任意的实数 x，都有 f(x)x0；当 x(0,2)时，有 f(x)(x12)2.(1)求 f(1)；(2)求 a、b、c 的值；(3)当 x1,1时，函数 g(x)f(x)mx(m 是实数)是单调函数，求 m 的取值范围例4【解】(1)f(x)x0 对一切 xR 恒成立，f(1)10 即 f(1)1.又当 x(0,2)时，f(
13、x)(x12)2，f(1)1.从而 f(1)1.的值分别为14、12、14.(2)f(1)1，abc1.又 f(1)0，abc0，解之得ac12，b12.由 f(x)x0，即 ax212x(12a)0 在 R 上恒成立，得 144a(12a)0，即(4a1)20，a14.从而 c14，即 a、b、c 的值分别是14、12、14。(3)由(2)知 f(x)14x212x14，故 g(x)14x2(12m)x14，其对称轴为 x12m，g(x)在1,1上是单调函数，12m1 或 12m1，故 m1 或 m0.故 m 取值范围是(，01，)【名师点评】二次函数解析式的确定，应视具体问题灵活地选用其形
14、式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解，在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起方法技巧1二次函数yax2bxc(a0)在某段区间m，n上的最值，特别是含参数的两类情况：定轴动区间；动轴定区间，其解法是：抓住“三点一轴”数形结合，该讨论时须讨论，“三点”即区间的两个端点和中点，“一轴”即对称轴2二次方程ax2bxc0(a0)的实根分布(区间根)问题，就是利用的二次函数图象来解决，应抓住以下几点：开口方向、判别式、对称轴位置、区间端点函数值正负以及图象是否过定点等方法感悟 3比较大小(1)am与an：构建指数函数yax；(2)am与bm：构建
15、幂函数yxm；(3)ab与ba：往往取中间量0、1、aa或bb.4根据图象判断幂指数大小在(0,1)上“图高指小”；在(1，)上“图高指大”5幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点6幂函数在(0，)上递增幂指数大于0；幂函数在(0，)上递减幂指数小于0.失误防范1二次函数的类型有多种分类的方式，平时主要是从含参数或不含参数上来探究，因而，含参数的问题要分类讨论，但分类的标准易理顺不清，容易漏掉某些情况，分类时要多结合图象寻找要讨论的情况2幂
16、函数主要分0与0两类来研究，解决问题时易遗忘有关的性质，如奇偶性，几类有关的图象记不清楚导致画错图象本节内容中，二次函数易与其他函数等有关知识结合，重点是考查有关单调性及求最值的问题；如2009年江苏省高考第20题幂函数要求降低，只要求掌握五种较为常见的幂函数，近几年江苏省没有单独命题预测在2012年江苏高考中，两类函数单独命题的可能性不大，还是有可能与其他知识结合起来命题，估计涉及内容不会太多考向瞭望把脉高考 考情分析(本题满分14分)(2009年高考江苏卷)设a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若f(0)1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)f(
17、x)，x(a，)，直接写出(不需要给出演算步骤)不等式h(x)1的解集例规范解答【解】(1)因为 f(0)a|a|1，所以a0，即 a0.由 a21 知 a1，因此，a 的取值范围为(，1.3 分(2)设 f(x)的最小值为 g(a)则有 f(x)2x2(xa)|xa|3xa322a23，xa，xa22a2，xa，6 分()当 a0 时，f(a)2a2，由知 f(x)2a2，此时 g(a)2a2.8 分()当 a0 时，f(a3)23a2.当 xa，则由知 f(x)23a2；若 xa，则 xa2a0，由知 f(x)2a223a2.此时 g(a)23a2.10 分综上，得 g(a)2a2，a0，
18、2a23，a0.11 分(3)()当 a(，62 22，)时，解集为(a，)；()当 a 22，22)时，解集为a32a23，)；12 分()当 a(62，22)时，解 集 为(a，a32a23a32a23，)14 分【名师点评】本类问题中，准确分出讨论的类别是解题的关键，抓住自变量x的范围来分类讨论是主要的一条线索，也可以画出有关的图象，来探究解题思路1已知 a0.1612，b0.2514，c6.2514，则把 a、b、c 从大到小排列为_名师预测 解析：因 a0.1612，b0.512，c0.412，而 0.160.40.5，acb.答案：acb2设 a2，1，12，13，12，1,2,3
19、，则使f(x)xa 为奇函数且在(0，)上单调递减的a 的值为_答案：1解析：由条件知 ax21bx1cax22bx2c，a(x1x2)(x1x2)b(x2x1)，a(x1x2)b，x1x2ba，f(x1x2)f(ba)ab2a2bbacc.3若二次函数f(x)ax2bxc满足f(x1)f(x2)，则f(x1x2)_.答案：c4已知定义在区间0,3上的函数f(x)kx22kx的最大值为3，那么实数k的取值集合为_解析：f(x)kx22kxk(x1)2k，(1)当k0时，二次函数开口向上，当x3时，f(x)有最大值，f(3)k322k33k3k1；(2)当k0时，二次函数开口向下，当x1时，f(x)有最大值，f(1)k2kk3k3.(3)当k0时，显然不成立故k的取值集合为3,1答案：3,1温馨提示：巩固复习效果，检验教学成果。请进入“课时闯关决战高考(7)”，指导学生每课一练，成功提升成绩.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用