1、第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.平面向量的数量积(重点)2.平面向量数量积的几何意义(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别(易混点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1平面向量数量积的定义非零向量 a，b 的夹角为，数量_叫做向量 a 与 b 的数量积，记作 ab，即 ab_.特别地，零向量与任何向量的数量积等于_.思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？提示 数量积的运算结果是实数，线性运算的
2、运算结果是向量0|a|b|cos|a|b|cos 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：b 在 a 的方向上的投影为_；a 在 b 的方向上的投影为_.(2)数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与_的乘积思考：投影一定是正数吗？提示 投影可正、可负也可以为零b在a的方向上的投影|b|cos|b|cos|a|cos 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3向量数量积的性质垂直向量ab_同向ab_平行向量反向ab_向量的模aa|a|2 或|a|_求夹角cos _不等关系ab_0|a|b|a|b|
3、aaab|a|b|a|b|课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4向量数量积的运算律(1)ab_(交换律)(2)(a)b(ab)_(结合律)(3)(ab)c_(分配律)baa(b)acbc课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同()(2)设非零向量a与b的夹角为，则cos 0ab0.()(3)|ab|ab.()(4)(ab)2a2b2.()课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析(1).因向量的夹角包括180，直线的倾斜角不包括180.(2).由数量积的定义可知(3).|
4、ab|ab，(4).(ab)2(|a|b|cos)2a2b2cos2.答案(1)(2)(3)(4)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知向量a，b满足|a|2，|b|3，且a与b的夹角为60，那么ab等于_3 ab|a|b|cos 602 312 3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知|b|3，a在b方向上的投影是23，则ab为_2 设a与b的夹角为，则a在b方向上的投影|a|cos 23，所以ab|b|a|cos 3232.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难向量数量积的计算及其几何意
5、义(1)已知单位向量e1，e2的夹角为3，a2e1e2，则a在e1上的投影是_(2)给出下列结论：若a0，ab0，则b0；若abbc，则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0，其中正确结论的序号是_(3)已知向量a与b满足|a|10，|b|3，且向量a与b的夹角为120.求：(ab)(ab)；(2ab)(ab).【导学号：84352242】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答(1)32(2)(1)设a与e1的夹角为，则a在e1上的投影为|a|cos ae1|e1|ae1(2e1e2)e12e21e1e
6、2211cos332.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)因为两个非零向量a，b垂直时，ab0，故不正确；当a0，bc时，abbc0，但不能得出ac，故不正确；向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确；ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正确课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(3)(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2100991.因为|a|10，|b|3，且向量a与b的夹角为120，所以ab103cos 12015，所以(2ab)(ab)2a2abb2200159206.课时分层作业当堂达标固双基自
7、主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 求平面向量数量积的步骤是：1求a与b的夹角，0，；2分别求|a|和|b|；3求数量积，即ab|a|b|cos，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去.求投影的两种方法：1b在a方向上的投影为|b|cos 为a，b的夹角，a在b方向上的投影为|a|cos.2b在a方向上的投影为ab|a|，a在b方向上的投影为ab|a|.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1(1)在ABC中，A60，AB3，AC2.若BD 2DC，AE AC AB(R)，且AD AE4，则的值为_311 设ABa，ACb
8、，由已知得|a|3，|b|2，ab|a|b|cos 603，因为BD 2DC，所以AD AB2(ACAD)，所以AD 13AB23AC13a23b，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页所以AD AE 13a23b(ba)323 ab13a223 b2(2)1392344，解得 311.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)设非零向量a和b，它们的夹角为.若|a|5，150，求a在b方向上的投影；若ab9，|a|6，求b在a方向上的投影解|a|cos 5cos 1505 32 5 32，a与b方向上的投影为5 32.ab|a|9632，b在a方
9、向上的投影为32.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页与向量模有关的问题(1)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.(2)已知向量a与b夹角为45，且|a|1，|2ab|10，求|b|.【导学号：84352243】思路探究 灵活应用a2|a|2求向量的模(1)2 3(1)|a2b|2(a2b)2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)222222122244412，所以|a2b|122 3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)因为|2ab|10，所以(2ab)210，所以4a24abb210，又因为向量a与b
10、的夹角为45且|a|1，所以41241|b|22|b|210，整理得|b|22 2|b|60，解得|b|2或|b|3 2(舍去)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 求向量的模的常见思路及方法1求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方.2aaa2|a|2或|a|a2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.,3一些常见的等式应熟记，如ab2a22abb2，ababa2b2等.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2已知向量a、b满足|a|2，|b|3，|ab|4，求|ab
11、|.解 由已知，|ab|4，|ab|242，a22abb216.(*)|a|2，|b|3，a2|a|24，b2|b|29，代入(*)式得42ab916，即2ab3.又|ab|2(ab)2a22abb243910，|ab|10.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页与向量垂直、夹角有关的问题探究问题1设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？提示：abab0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角？提示：|ab|a|b|，设a与b的夹角为，则ab|a|b|co
12、s.两边取绝对值得：|ab|a|b|cos|a|b|.当且仅当|cos|1，即cos 1，0或时，取“”，所以|ab|a|b|，cos ab|a|b|.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_(2)已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角.【导学号：84352244】思路探究(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a与b的夹
13、角课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)(0,1)(1，)(1)e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，(e1ke2)(ke1e2)ke21ke22(k21)e1e22k0，k0.当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去综上，k的取值范围为k0且k1.(2)由已知条件得a3b7a5b0，a4b7a2b0，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页即7a216ab15b20，7a230ab8b20，得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos ab|a|b|12b2|b|212.0，3.课时分层作业当堂达标
14、固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.将例3(1)中的条件“锐角”改为“钝角”其他条件不变，求k的取值范围解 e1ke2与ke1e2的夹角为钝角，(e1ke2)(ke1e2)ke21ke22(k21)e1e22k0，k0.当k1时e1ke2与ke1e2方向相反，它们的夹角为，不符合题意，舍去综上，k的取值范围是k0且k1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2将例3(1)中的条件“锐角”改为“3”，求k的值解 由已知得|e1ke2|e212ke1e2k2e22 1k2，|ke1e2|k2e212ke1e2e22 k21，(e1ke2)(ke1e2)ke2
15、1ke22(k21)e1e22k，则cos3e1ke2ke1e2|e1ke2|ke1e2|2k1k2，即 2k1k212整理得k24k10解得k4 1222 3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.求向量夹角的方法：(1)求出ab，|a|，|b|，代入公式cos ab|a|b|求解(2)用同一个量表示ab，|a|，|b|代入公式求解(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角2要注意夹角的范围0，当cos 0时，0，2；当cos 0时，2，当cos 0时，2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1(2018全
16、国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4 B3 C2 D0B 因为|a|1，ab1，所以a(2ab)2|a|2ab212(1)3，故选B.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a3e12e2，b3e14e2，则ab等于()A2 B1C1D2B 因为|e1|e2|1，e1e20，所以ab(3e12e2)(3e14e2)9|e1|28|e2|26e1e2912812601.故选B.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b的方向上的投影为_.【
17、导学号：84352245】125 设a与b的夹角为，因为ab|a|b|cos 12，又|b|5，所以|a|cos 125，即a在b方向上的投影为125.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4若ab0，则a与b的夹角的取值范围是_2，因为ab|a|b|cos 0，所以cos 0，又0，所以2，.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5已知|a|b|5，向量a与b的夹角为3，求|ab|，|ab|.【导学号：84352246】解 ab|a|b|cos 5512252.|ab|ab2|a|22ab|b|2252252 255 3.|ab|ab2|a|22ab|b|2252252 255.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（二十一）点击上面图标进入 谢谢观看