1、3.1.1 椭圆及其标准方程教学设计本小节内容选自普通高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）第二章圆锥曲线的方程的第一节椭圆。以下是本节的课时安排：第三章 圆锥曲线的方程课时内容3.1.1椭圆及其标准方程3.1.2椭圆的简单几何性质所在位置教材第105页教材第109页新教材内容分析椭圆是生产生活中的常见曲线，教材在用细绳画椭圆的过程中，体会椭圆的定义，感知椭圆的形状，为选择适当的坐标系，建立椭圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺垫。通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具
2、有的程序化、普适性特点。核心素养培养通过椭圆的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对椭圆的定义理解，培养数学抽象的核心素养。通过椭圆的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与椭圆的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。教学主线椭圆的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。 1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义，培养数学抽象的核心素养2.掌握椭圆的标准方程，培养数学运算的核心素养3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程，培养逻辑推理的核
3、心素养.重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程 难点：运用标准方程解决相关问题 （一）新知导入椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。探究 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1,F2 ，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ （二）椭圆及其标准方程知识点一 椭圆的
4、定义椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距集合语言表示：PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|【思考】(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？【提示】线段；轨迹不存在【做一做】下列说法正确的是（ ）A到点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B到点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C到点的距离之和等于
5、12的点的轨迹是椭圆D到点距离相等的点的轨迹是椭圆答案：C知识点二 椭圆的标准方程【探究2】根据椭圆的形状，我们怎样建立坐标系可能使椭圆的方程形式简单呢？你能推导出椭圆的标准方程吗？【提示】如果椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足，PF1+PF2=2a其中ac0. 以F1F2 所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时,椭圆的焦点分别为F1（-c,0）和F2（ c,0），椭圆的标准方程(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a. 为了化简方程，我们将其左边一个根式移到右边，得(x+c)2+y2=2a-(x-c)2+y2，对方程两边平方，得
6、(x+c)2+y2=4a2 -4ax-c2+y2+(x-c)2+y2，整理得a2-cx=ax-c2+y2， 对方程两边平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得 a2-c2x2+a2y2= a2a2-c2 ， 将方程两边同除以a2a2-c2，得x2a2+y2a2-c2=1. 由椭圆的定义可知2a2c0 ，即ac0，所以a2-c20.观察下图，你能从中找出表示a，c，a2-c2的线段吗？由图可知，PF1=PF2=a，OF1=OF2=c, PO=a2-c2令b=PO=a2-c2,那么方程就是x2a2+y2b2=1 (ab0) 称焦点在x轴上的椭圆方程.类似
7、的方法，将焦点置于y轴时，可得焦点在y的椭圆的标准方程：1(ab0).椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2ca、b、c的关系c2a2b2【做一做1】已知椭圆中a5, c3, 焦点在x轴上，则椭圆标准方程为_解析：由a2b2c2，得b252324216, 所以椭圆的方程为1.答案：1【做一做2】椭圆1的焦点坐标是()A(4,0) B(0，4)C(3,0) D(0，3)解析：焦点在y轴上，且c3，故焦点坐标为(0，3)答案：D【做一做3】(教材P109练习1改编)设P是椭圆1上的点若
8、F1，F2是椭圆的两个焦点，若P到焦点F1的距离是3，则P到另一焦点F2的距离等于()A10 B8 C7 D5（三）典型例题1.求椭圆的标准方程例1.求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F1(4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，2)，(0,2)，经过点(4,3)；(3)经过两点(2，)，.解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c4,2a10，所以a5，b3，所以椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为1(ab0)法一：由椭圆的定义知2a12，解得a6.又c2，所以b4.所以椭圆的标准方
9、程为1.法二：因为所求椭圆过点(4,3)，所以1.又c2a2b24，可解得a236，b232.所以椭圆的标准方程为1.(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得则a2b2，与ab0矛盾，舍去综上可知，所求椭圆的标准方程为1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)分别将两点的坐标(2，)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.【类题通法】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还
10、是两个坐标轴都有可能(2)设方程：根据上述判断设方程1(ab0)或1(ab0).(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c的方程组(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求2求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为1(m0，n0，且mn)再根据条件确定m、n的值3当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2By21(A0，B0，且AB)将点的坐标代入解方程组求得系数【巩固练习1】求与椭圆1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程 解法一：因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c225916.设所求椭圆的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2
11、b2，故a2b216.又点(3，)在所求椭圆上，所以1，即1.由得a236，b220，所以所求椭圆的标准方程为1.法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为1.又椭圆过点(3，)，将x3，y代入方程得1，解得11或21(舍去)故所求椭圆的标准方程为1.2.椭圆标准方程的判定例2.若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A9m16B9mC.m解析：依题意可得解得m16.答案：C【类题通法】方程1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是【巩固练习2】命题p：方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是()A3m5 B4m5C1m1解析
12、：若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m15m0，解得3m5.所以p成立的充要条件是3m5.结合四个选项可知，p成立的充分不必要条件是4mb0)上任一点，且F1PF2，则F1PF2的面积Sb2tan .在选择题、填空题中可以直接使用此公式求椭圆焦点三角形的面积(3)对于椭圆上的点P，F1PF2随着点P从长轴端点向短轴端点的移动而变大，当点P在短轴端点时，F1PF2最大【巩固练习3】如图所示，已知椭圆的方程为1，若点P在第二象限，且PF1F2120，求PF1F2的面积分析由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解解由已知a2，b，得c1
13、，|F1F2|2c2，在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.代入解得|PF1|.所以SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202，即PF1F2的面积是.4. 与椭圆有关的轨迹问题例4.如图，一动圆过定点A(2,0)，且与定圆B：x24xy2320内切，求动圆圆心M的轨迹方程分析根据两圆内切的特点，得出|MA|MB|6|AB|4，所以点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，进而求出a2，b2即可得点M的轨迹方程解设|MA|r，圆
14、B方程化为(x2)2y236，则B(2,0)圆M与圆B内切，|MB|6r，即|MB|MA|6(大于|AB|4)点M轨迹是以A，B为焦点的椭圆2a6,2c4.b2a2c2945.圆心M的轨迹方程是1.【类题通法】定义法求轨迹方程如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法【巩固练习4】已知B、C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长为18，求这个三角形顶点A的轨迹方程解以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系由|BC|8
15、，可知点B(4,0)，C(4,0)由|AB|BC|AC|18，得|AB|AC|10|BC|8.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a10，即a5，且点A不能在x轴上由a5，c4，得b29.所以点A的轨迹方程为1(y0)（四）操作演练 素养提升1.已知点A(3,0)，B(0,2)在椭圆1上，则椭圆的标准方程为()A.1B.1 C.y21 D.12.椭圆y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A5B6C7D83.若方程1表示椭圆，则实数m满足的条件是_4.如图所示，圆C：(x1)2y225及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直
16、平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程答案：1.B 2.D 3.m且m1 4. 解由垂直平分线的性质可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|，|CM|MA|5.点M的轨迹为椭圆，其中2a5，焦点为C(1,0)，A(1,0)，a，c1 ，b2a2c21.所求点M的轨迹方程为1，即1.【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第109页 练习 第1，2，3,4题 第115 页 习题3.1 第1,2,5,6,9，10题
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