1、第四章 指数函数与对数函数课标A版数学必修第一册指数函数与对数函数第四章第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册4.5函数的应用(二)第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册4.5.2用二分法求方程的近似解第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册课前自主预习 第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册1理解二分法的原理及其适用条件2掌握二分法的实施步骤3体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想1二分法的定义对于在区间a，b上图象_且_的函数 yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间_，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法连续不断f(a)f(b
2、)0一分为二第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2二分法求函数零点的一般步骤给定精确度，用二分法求函数 f(x)零点近似值的一般步骤如下：第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册(1)确定 x0 的初始区间a，b，验证_；(2)求区间(a，b)的中点 c；(3)计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间若 f(c)0(此时 x0c)，则_就是函数的零点；若 f(a)f(c)0(此时零点 x0_)，则令 bc；若 f(c)f(b)0(
3、此时零点 x0_)，则令 ac.(4)判断是否达到精确度：即若_，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤(2)(4)f(a)f(b)0c(a，c)(c，b)|ab|第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册1在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条 10 km 长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难得多，每查一点要爬一次电线杆子，10 km 长的线路，大约有 200 多根电线杆子(如下图)：(1)维修线路的工人师傅怎样工作最合理？(2)在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障？第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册答案(1)首先从
4、 AB 的中点 C 查，随带话机向两端测试，若发现 AC 正确，断定故障在 BC 段，再取中点 D，再测 CD 和BD(2)能第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有函数的零点都可以用二分法来求()(2)函数 f(x)|x|可以用二分法求其零点()(3)精确度 就是近似值()(4)由|ab|，可知区间a，b中任意一个值都是零点 x0 的满足精确度 的近似值()答案(1)(2)(3)(4)第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册课堂互动探究 第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册题型一二分法的概念【典例 1】(1)下列函数中，
5、必须用二分法求其零点的是()Ayx7By5x1Cylog3xDy12xx第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册(2)下列图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()思路导引 依据二分法的定义进行判断第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册解析(1)选项 A、B、C 中的函数可以直接求得零点，而选项 D 中的函数不可直接求得，必须用二分法求得(2)按定义，f(x)在a，b上是连续的，且 f(a)f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点故结合各图象可得选项 B、C、D 满足条件，而选项 A不满足，在 A 中，图象经过零点 x0 时
6、，函数值不变号，因此不能用二分法求解故选 A.答案(1)D(2)A第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册 二分法的 2 个适用条件(1)函数图象在零点附近连续不断(2)在该零点左右函数值异号第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册针对训练1用二分法求如图所示的函数 f(x)的零点时，不可能求出的零点是()Ax1Bx2Cx3Dx4第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册解析 能用二分法求零点的函数必须满足在区间a，b上连续不断，且 f(a)f(b)0.而 x3 两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选 C.答案 C第四章4.5 4.5.2课标A版数学必
7、修第一册题型二用二分法求方程的近似解【典例 2】用二分法求方程 2x33x30 的一个正实数近似解(精确度 0.1)思路导引 确定初始区间，再用二分法求解第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册解 令 f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数 f(x)在(0,1)内存在零点，即方程 2x33x3 在(0,1)内有解取(0,1)的中点 0.5，经计算 f(0.5)0，所以方程 2x33x30 在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册由于|0.68750.75|0.06250.1，所
8、以方程 2x33x30 的一个精确度为 0.1 的正实数近似解可取为 0.6875.第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册变式 若本例中的方程改为“lgx2x”，其他条件不变，如何求解？解 第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册在同一坐标系中，作出 ylgx，y2x 的图象如图所示，可以发现方程 lgx2x 有唯一解，记为 x0，并且解在区间(1,2)内设 f(x)lgxx2，则 f(x)的零点为 x0.用计算器计算得 f(1)0 x0(1,2)；第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册f(1.5)0 x0(1.5,2)；f(1.75)0 x0(1.75,2)，f(1.7
9、5)0 x0(1.75,1.875)；f(1.75)0 x0(1.75,1.8125)|1.81251.75|0.06250.1，方程的近似解可取为 1.8125.第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册 利用二分法求方程近似解的步骤(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n1)，nZ.(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间 M.(3)区间 M 内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间 M的一个端点第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册针对训练2求3 3的近似值(精确度 0.1)解 令3 3x，则 x33；令 f(x)x33，则3 3就
10、是函数f(x)x33 的零点因为 f(1)20，所以可取初始区间(1,2)，用二分法计算列表如下：第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册由于|1.51.4375|0.06250.1，所以3 3的近似值可取为 1.4375.第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册题型三二分法的实际应用【典例 3】现有 12 个小球，从外观上看完全相同，除了 1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同且合标准，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重如何称？解 先在天平左右各放 4 个球，有两种情况：(1)若平，则“坏球”在剩下的 4 个球中取剩下的 4 个
11、球中的 3 个球放天平的一端，取 3 个好球放天平的另一端第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册若仍平，则“坏球”为 4 个球中未取到的那个球，将此球与 1 个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；若不平，则“坏球”在天平一端的 3 个球之中，且知是轻还是重任取其中 2 个球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”(2)若不平，则“坏球”在天平上的 8 个球中，不妨设天平右端较重从右端 4 个球中取出 3 个球，置于一容器内，然后从左端 4个球中取 3 个球移到右端，再从外面好球中取 3 个补到左端，看天平，有三种可能若平，则“坏球”是容器内 3 个球之一且偏重；第四章4.5
12、 4.5.2课标A版数学必修第一册若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的 3 个球中，并且偏轻；若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册 二分法在实际问题中的应用(1)二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用(2)本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过巧妙
13、取区间，巧妙分析和缩小区间，从而以最短的时间和最小的精力达到目的第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册针对训练3在 26 枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称_次就可以发现这枚假币第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册解析 将 26 枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那 13 枚金币里面从这 13 枚金币中拿出 1枚，然后将剩下的 12 枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那 6 枚金币里面，将这 6 枚金币平均分
14、成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那 3 枚金币里面，从这3 枚金币中任拿出 2 枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币综上可知，最多称 4 次就可以发现这枚假币答案 4第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册课堂归纳小结1二分就是平均分成两部分二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号3求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.第四章4.5 4.5.2课标A版数学必修第一册请做：随堂巩固验收