1、第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第2课时 正弦定理（2）学习目标：1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点).2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点)自 主 预 习探 新 知1正弦定理及其变形(1)定理内容：_.asin A bsin B csin C2R(R 为外接圆半径)(2)正弦定理的常见变形：sin Asin Bsin C；;asin A bsin Bcsin Cabcsin Asin Bsin C；.a，b，c；abc2Rsin A2Rsin B2Rsin Csin A_
2、，sin B_，sin C_.2Ra2R b2R c2R思考：在ABC中，已知acos Bbcos A你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?提示：可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos Bcos Asin B0.2对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例说明图形关系式解的个数 absin A；ab _ bs
3、in Aab_A为锐角_无解一解两解absin A思考：在ABC中，a9，b10，A60，判断三角形解的个数提示 sin Bbasin A109 32 5 39，而 32 5 39 1，所以当B为锐角时，满足sin B5 39 的角有60B90，故对应的钝角B有90B120，也满足ABa，所以BA，故B60或120.(3)当bsin Aab时，ABC有两解2在ABC中，sin Asin C，则ABC是()【导学号：91432015】A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形D钝角三角形B 由正弦定理可得sin Asin C a2R c2R，即ac，所以ABC为等腰三角形3在ABC中，下列式子与si
4、n Aa 的值相等的是()A.bcB.sin Bsin AC.sin CcD.csin CC 由正弦定理可得sin Aa sin Bb sin Cc，故选C.4在ABC中，A30，a3，b2，则这个三角形有()【导学号：91432016】A一解B两解C无解D无法确定A 由ba和大边对大角可知三角形的解的个数为一解合 作 探 究攻 重 难三角形解的个数的判断 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(2)a2 3，b6，A30.【导学号：91432017】解(1)a10，b20，ab，A8020sin 6010 3，absin A，
5、本题无解(2)a2 3，b6，ab，A30bsin A，bsin Aab，三角形有两解由正弦定理得sin Bbsin Aa6sin 302 3 32，又B(0，180)，B160，B2120.当B160时，C190，c1asin C1sin A 2 3sin 90sin 304 3；当B2120时，C230，c2asin C2sin A 2 3sin 30sin 302 3.B160时，C190，c14 3；B2120时，C230，c22 3.规律方法 已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或
6、者根据该正弦值(不等于1时)在0180范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.跟踪训练1ABC中，ax，b2，B45.若该三角形有两解，则x的取值范围是_2x2 2 由asin Bba，得 22 x2x，2x2，AC2，BC2；AB2A2Bsin Acos B，cos Asin B.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C.(1)求C的大小；(2)若c2 3，A6，求ABC的面积.【导学号：91432019】思路探究：(1)由mnsin 2C，利用三角恒等变换求出C的大小；(2
7、)由正弦定理可得b的大小利用三角形的面积公式求解解(1)由题意，mnsin Acos Bsin Bcos Asin 2C，即sin(AB)sin 2C，sin C2sin Ccos C.由0C0.所以cos C12.C23.(2)由C23，A6，得BAC6.由正弦定理，bsin Bcsin C，即bsin 6 2 3sin 23，解得b2.所以ABC的面积S12bcsin A1222 3sin 6 3.母题探究：(变条件，结论)将例题中的条件“m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C”换为“若ac2b,2cos 2B8cos B50”求角B的大小并判断ABC
8、的形状解 2cos 2B8cos B50，2(2cos2B1)8cos B50.4cos2B8cos B30，即(2cos B1)(2cos B3)0.解得cos B12或cos B32(舍去)0B，B3.ac2b.由正弦定理，得sin Asin C2sin B2sin 3 3.sin Asin23 A 3，sin Asin 23 cos Acos 23 sin A 3.化简得32sin A 32 cos A 3，sinA6 1.0A23，6A656，A62.A3，C3.ABC是等边三角形规律方法 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，
9、确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式.当 堂 达 标固 双 基1满足a4，b3和A45的ABC的个数为()A0 B1C2 D无数多B 因为A453b，所以ABC的个数为1.2在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a4，b3，C60，则ABC的面积为()【导学号：91432020】A3 B3 3C6 D6 3B 由S12absin C1243 32 得S3 3，故选B.3在ABC中，A23，a 3c，则bc_.1 由 asin Acsin C得sin Ccsin Aa 13 32 12，又0C3，所以C6，B(AC)6.所以bcsin Bsin Csin 6si
10、n 61.4在ABC中，若b5，B 4，tan A2，则sin A_，a_.【导学号：91432021】2 55 2 10 由tan A2，得sin A2cos A，由sin2Acos2A1，得sin A2 55，b5，B4，由正弦定理 asin A bsin B，得absin Asin B 2 5222 10.5在ABC中，若abc135，求2sin Asin Bsin C的值解 由条件得acsin Asin C15，sin A15sin C.同理可得sin B35sin C.2sin Asin Bsin C215sin C35sin Csin C15.课时分层作业（二）点击上面图标进入 谢谢观看
