1、6.3等比数列及其前n项和2014高考会这样考1.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定；2.运用基本量法求解等比数列问题；3.考查等比数列的应用问题复习备考要这样做1.注意方程思想在解题中的应用；2.使用公式要注意公比q1的情况；3.结合等比数列的定义、公式，掌握通性通法1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母_q_表示2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.3等比中项若G2ab_(ab0)，那么G叫作a与b的等比中项4等比数
2、列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm，(n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn (k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_qn_.难点正本疑点清源1等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数2等比数列中的函数观点利用函数、方
3、程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小3两个防范(1)由an1qan，q0并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形导致解题失误1(2012辽宁)已知等比数列an为递增数列，且aa10，2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.答案2n解析先判断数列的项是正数，再求出公比和首项aa100，根据已知条件得25，解得q2.所以aq8a1q9，所以a12，所以an2n.2在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a54
4、1，a4a85，则a4a8_.答案解析由a6a10a3a541及a6a10a，a3a5a，得aa41.因为a4a85，所以(a4a8)2a2a4a8a412551.又an0，所以a4a8.3已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则_.答案2解析令a1，b3，c9，则由题意，有x2，y6.此时2.4(2011广东)已知an是递增等比数列，a22，a4a34，则此数列的公比q_.答案2解析由a22，a4a34，得方程组q2q20，解得q2或q1.又an是递增等比数列，故q2.5(2012课标全国)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于()A7 B5
5、 C5 D7答案D解析方法一由题意得或a1a10a1(1q9)7.方法二由解得或或a1a10a1(1q9)7.题型一等比数列的基本量的计算例1等比数列an的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.思维启迪：(1)由S1，S3，S2成等差数列，列方程求出q.(2)由a1a33求出a1，再由通项和公式求出Sn.解(1)依题意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于a10，故2q2q0.又q0，从而q.(2)由已知可得a1a123.故a14.从而Sn.探究提高等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，a
6、n，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解 等比数列an满足：a1a611，a3a4，且公比q(0,1)(1)求数列an的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn21，求n的值解(1)a3a4a1a6，又a1a611，故a1，a6可看作方程x211x0的两根，又q(0,1)，a1，a6，q5，q，ann1n6.(2)由(1)知Sn21，解得n6.题型二等比数列的性质及应用例2在等比数列an中，(1)若已知a24，a5，求an；(2)若已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值思维启迪：注意巧用性质，减少计算如：对于等比数列an，若mnpq (m、n、p、qN*)，则amanap
7、aq；若mn2p(m，n，pN*)，则amana.解(1)设公比为q，则q3，即q3，q，ana5qn5n4.(2)a3a4a58，又a3a5a，a8，a42.a2a3a4a5a6a2532.探究提高在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度 (1)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6等于 ()A5 B7 C6 D4答案A解析把a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第1项，第4项和第7项，这里的第4项刚好是第
8、1项与第7项的等比中项因为数列an的各项均为正数，所以a4a5a65.(2)已知Sn为等比数列an的前n项和，且S38，S67，则a4a5a9_.答案解析根据等比数列的性质，知S3，S6S3，S9S6成等比数列，即8,78，S97成等比数列，所以(1)28(S97)解得S97.所以a4a5a9S9S378.题型三等比数列的判定例3已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式思维启迪：(1)由anSnn及an1Sn1n1转化成an与an1的递推关系，再构造数列an1(2)由cn求a
9、n再求bn.(1)证明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列又a1a11，a1，首项c1a11，c1，公比q.又cnan1，cn是以为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n.当n2时，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.探究提高注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n1时是否符合n2时的通项公式，能合并的必须合并 已知数列an的前n项和Sn2an1，求证：an是等比数列，并求出通项公式证明Sn2an1，Sn12an11.an1Sn1Sn(2an11)
10、(2an1)2an12an.an12an，又S12a11a1，a110.又由an12an知an0，2.an是以1为首项，2为公比的等比数列an12n12n1.等差与等比数列综合性问题的求解典例：(12分)(2011湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列审题视角设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列bn的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问规范解答(1)解设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad，依题意，得
11、adaad15，解得a5.2分所以bn中的b3，b4，b5依次为7d,10,18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)4分故bn的第3项为5，公比为2.由b3b122，即5b122，解得b1.所以bn是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn2n152n3.6分(2)证明数列bn的前n项和Sn52n2，即Sn52n2.8分所以S1，2.因此是以为首项，2为公比的等比数列12分求解等差和等比数列综合性问题的一般步骤：第一步：设等比数列、等差数列的基本量；第二步：根据条件列方程，解出基本量；第三步：根据公式求通项或前n项和；第四步：根据定义证明等差、等比数列；对于等
12、比数列，一定要说明首项非零温馨提醒关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量.方法与技巧1等比数列的判定方法有以下几种：(1)定义：q (q是不为零的常数，nN*)an是等比数列(2)通项公式：ancqn1 (c、q均是不为零的常数，nN*)an是等比数列(3)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列2方程观点以及基本量(
13、首项和公比a1，q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二3在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意性质的应用，以减少运算量而提高解题速度失误与防范1特别注意q1时，Snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情况而导致解题失误A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2011辽宁)若等比数列an满足anan116n，则公比为 ()A2B4C8D1
14、6答案B解析由anan116n，知a1a216，a2a3162，后式除以前式得q216，q4.a1a2aq160，q0，q4.2等比数列中，|a1|1，a58a2.a5a2，则an等于 ()A(2)n1 B(2)n1C(2)n D(2)n答案A解析|a1|1，a11或a11.a58a2a2q3，q38，q2.又a5a2，即a2q3a2，a20.而a2a1qa1(2)0，a11.故ana1(2)n1(2)n1.3在等比数列an中，a12，前n项和为Sn，若数列an1也是等比数列，则Sn等于()A2n12 B3n C2n D3n1答案C解析由已知得数列an的前三项分别为2,2q,2q2.又(2q1
15、)23(2q21)，整理得2q24q20，解得q1，Sn2n.4在等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为 ()A1 B C1或 D1或答案C解析根据已知条件得3.整理得2q2q10，解得q1或q.二、填空题(每小题5分，共15分)5在等比数列an中，a1a230，a3a460，则a7a8_.答案240解析a1a2a1(1q)30，a3a4a1q2(1q)60，q22，a7a8a1q6(1q)a1(1q)(q2)3308240.6在数列an中，已知a11，an2(an1an2a2a1) (n2，nN*)，这个数列的通项公式是_答案an解析由已知n2时，an2Sn1当n3时，a
16、n12Sn2整理得3 (n3)，an7设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则q的值为_答案2解析由已知条件得2SnSn1Sn2，即2Sn2Sn2an1an2，即2.三、解答题(共22分)8(10分)已知等差数列an满足a22，a58.(1)求an的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d，则由已知得.a10，d2.ana1(n1)d2n2.(2)设等比数列bn的公比为q，则由已知得qq2a4，a46，q2或q3.等比数列bn的各项均为正数，q2.bn的前n项和Tn2n1.9
17、(12分)已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn(an1)(an2)若a2，a4，a9成等比数列，求数列an的通项公式解因为Sn(an1)(an2)，所以当n1时，有S1a1(a11)(a12)，解得a11或a12；当n2时，有Sn1(an11)(an12)并整理，得(anan1)(anan13)0 (n2)因为数列an的各项均为正数，所以anan13 (n2)当a11时，an13(n1)3n2，此时aa2a9成立当a12时，an23(n1)3n1，此时aa2a9不成立所以a12舍去故an3n2.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1已
18、知an是首项为1的等比数列，若Sn是an的前n项和，且28S3S6，则数列的前4项和为 ()A.或4 B.或4 C. D.答案C解析设数列an的公比为q.当q1时，由a11，得28S328384.而S66，两者不相等，因此不合题意当q1时，由28S3S6及首项为1，得.解得q3.所以数列an的通项公式为an3n1.所以数列的前4项和为1.2已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于()A. B.或 C. D以上都不对答案B解析设a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根，不妨设acdan，且a32是a2与a4的等差中项，则数列an的通项公式是_
19、答案an2n解析因为a32是a2与a4的等差中项，所以2(a32)a2a4.因为a2a3a428，所以2(a32)a328.所以a38，a2a420.设数列an的公比为q，则解得或因为数列an满足an1an，所以a12，q2.所以数列an的通项公式为an2n.5在等比数列an中，若a9a10a (a0)，a19a20b，则a99a100_.答案解析因为an是等比数列，所以a9a10，a19a20，a99a100成等比数列，从而得a99a100.6已知数列xn满足lg xn11lg xn(nN*)，且x1x2x3x1001，则lg(x101x102x200)_.答案100解析由lg xn11lg
20、 xn(nN*)，得lg xn1lg xn1，10，数列xn是公比为10的等比数列，xn100xn10100，x101x102x20010100(x1x2x3x100)10100，lg(x101x102x200)lg 10100100.三、解答题7(13分)已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)解得d2 (d0). an1(n1)22n1.又b2a23，b3a59，数列bn的公比为3，bn33n23n1.(2)由an1得当n2时，an.两式相减得：n2时，an1an2. cn2bn23n1 (n2)又当n1时，a2，.c1c2c3c2 01333(332 013)32 013.