1、2024/5/30第二模块 函数 2024/5/30 第四讲 函数及其表示 2024/5/30回归课本1.函数的概念设集合A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对A中的任意一个数x,在集合B中,都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA.其中x叫做自变量,自变量的取值范围叫做这个函数的定义域.自变量取值a,则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值,记作y=f(a).所有函数值构成的集合y|y=f(x),xA叫做这个函数的值域.2024/5/302.构成函数的要素:定义域对应关系值域.3.两个函数的相等当两个函数的定义域
2、和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.4.常用的函数表示法(1)解析法;(2)列表法;(3)图象法.2024/5/305.分段函数在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.6.映射的概念设AB是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称f为从集合A到集合B的一个映射,记作“f:AB”.2024/5/30考点陪练1（2011湖南）给定kN*，设函数f：N*N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)nk.(1)设k1，则其中一个函数f在n1处的函数值为
3、_；(2)设k4，且当n4时，2f(n)3，则不同的函数f的个数为_2024/5/30解析：(1)由法则f是正整数到正整数的映射，因为k1，所以从2开始都是一一对应的，而1可以和任何一个正整数对应，故f在n1处的函数值为任意的a(a为正整数)；(2)因为2f(n)3，所以根据映射的概念可得到：1,2,3,4只能是和2或者3对应，1可以和2对应，也可以和3对应，有2种对应方法，同理，2,3,4都有两种对应方法，由乘法原理，得不同函数f的个数等于16.答案：(1)a(a为正整数)(2)16 2024/5/3022332A.()B.C.D.2.0下列函数中与函数相等的是yxyxyxyxx xyx20
4、24/5/30解析:当两个函数的解析式和定义域完全相同时,这两个函数相等.同时满足这两个条件的只有A,B中x0,C中xR,D中xR.答案:A2024/5/303.设集合M=x|0 x2,N=y|0y2,则在下面4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有()A.B.C.D.解析:由函数的定义易知成立,故选C.答案:C2024/5/30 222A.()1,()(1)4B.(),4.C.f xx2x1,g tt2t1D.f n2n1,g n2n1()22下列函数中是相等函数的为f xxxg xx xxf xg xxx2024/5/30解析:A中f(x)的定义域是x|x0,g(x)的定义域是x|x
5、0或x-1,f(x)与g(x)的定义域不同,f(x)与g(x)不是相等函数.B中f(x)=的定义域为x|xR,且x2,g(x)的定义域为R,f(x)与g(x)的定义域不同,f(x)与g(x)不是相等函数.C中f(x)、g(t)虽然自变量用不同的字母表示,但定义域对应关系都相同,所以f(x)、g(t)表示相同函数.242xx2024/5/30D中f(n)、g(n)的对应关系不同,所以不是相等函数.所以应选C.答案:C2024/5/30评析:根据函数的三要素,从定义域值域对应关系等方面对所给的函数进行分析判断.判断两个函数是否相同,只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同.即使定义域和值域都分
6、别相同的两个函数,它们也不一定是相等函数,因为定义域值域不能唯一地确定函数的对应关系.此外,两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关.2024/5/305.已知集合A=(x,y)|y=f(x),x-1,2,集合B=(x,y)|x=0,则AB的子集的个数是()A.0 B.1C.2 D.不确定解析:函数f(x)定义在-1,2上,所以由函数定义知当x=0时有唯一的y与之对应,即直线x=0与函数图象有唯一交点,故AB中有一个元素,有2个子集.故选C.答案:C2024/5/306.已知映射f:AB,其中集合B=-2,0,4,10,集合B中的元素都是集合A中的元素在映射f下的对应元素,且对任意的aA,在
7、B中和它对应的元素是(a+1)(a-2),那么集合A中元素的个数最多可能是()A.4 B.6C.8 D.102024/5/30解析:当(a+1)(a-2)=10时,得a=4,-3;当(a+1)(a-2)=4时,得a=3,-2;当(a+1)(a-2)=0时,得a=2,-1;当(a+1)(a-2)=-2时,得a=0,1,所以根据映射的定义知集合A中元素最多可能有4,-3,3,-2,2,-1,0,1,一共8个,故选C.答案:C2024/5/30类型一函数的基本概念解题准备:(1)函数是指两个非空数集AB之间的一种对应关系,它要求集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一的数f(x)与之对应;(2)两个
8、函数相等是指函数的三要素相同,由于函数的值域是由定义域和对应关系唯一确定,因此只需判定定义域与对应关系是否相同即可.2024/5/30【典例1】(1)函数y=f(x),xD与直线x=2交点个数为_.2p:f xx1f x;q:f xx1f xx1,pq_1,11_.,()1xxx x 已知命题与是相等函数 命题与是相等函数 则命题是命题填“真”或“假”2024/5/30解析 (1)当x=2D时,根据函数定义A中任何一个自变量在B中都有唯一元素和它对应,即有且只有一个交点;当x=2D时,无交点.(2)命题p中两函数的定义域不同,p是假命题,命题q中两函数对应关系不同,q也是假命题,所以pq是假命
9、题.反思感悟 两个函数的定义域值域和对应关系中有一个不同,它们就不表示相等的函数.答案 (1)0个或1个(2)假2024/5/30类型二求函数的解析式解题准备:求函数解析式的常用方法有:(1)配凑法;(2)换元法;(3)待定系数法;(4)消元法等.2024/5/30 3321(),f x;2()f x;3()f x,3f x12f x12x17,f x;4()1121,12(f x,f x.)3fxxxxflgxxf xfxx【典例】配凑法 已知求换元法 已知求待定系数法 已知是一次函数 且满足求方程思想 已知满足求2024/5/30 3333 1ff xx3x(x2x2).2f t3f xa
10、xb a0,3f x12f x13a11113,2221(1x3a3b2ax),2a2baxb5a2x17,a2,b7,f x,1122x7.()(1).1xxxxxxxxt txlgxttf xlgxx 解 或 令则设则2024/5/30 1131332(),1(0).4 2f x,x,23f x6xf x2xfxxxff xxxxxx 把中的 换成得得2024/5/30类型三分段函数解题准备:(1)对于分段函数,一定要明确自变量所属的范围,以便于选择与之相应的对应关系;(2)分段函数体现了数学的分类思想,相应的问题处理应分段解决.2024/5/30 222,(3f xf 21,f(f_1)
11、,2(5)_.xtxlogt xx【典例】设且则的值为分析 先根据f(2)=1求出解析式中参数t的值,再进一步求的值.(5)f f2024/5/30 2t2tt33log 4332323x2f xlogx1,f 21,log211,log 31,t3.f2 3,2,(5)(5)1(1),2xfloglog 4,log 42,f(f(f log 42 324.5)8.xxlogxx解析由于当 时且所以解得这时于是且所以答案 82024/5/30反思感悟 对于分段函数给定自变量求函数值时,应根据自变量的范围,利用相应的解析式直接求解;若给定函数值求自变量,应根据函数每一段的解析式分别求解,但应注意
12、检验该值是否在相应的自变量取值范围之内.2024/5/30探究 某市某种类型的出租车,规定3千米内起步价8元(即行程不超过3千米,一律收8元).若超过3千米,除起步价外,超过部分再按1.5元/千米收费计价,若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱,下车后乘客付了16元,则乘客乘车里程的范围是_.(单位:千米)2024/5/308,038(3)1.5,x,y,:15.58x31.516.5,6382x3.xyxx 解析 设乘客乘车里程为 千米 计价为 元 由题意可知由解得 268,3答案2024/5/30类型四抽象函数解题准备:抽象函数是一个难点,解决抽象函数问题,要全面应用所具有的性质展开解
13、题思路,通常方法是赋值法,并善于根据题目条件寻找该函数模型,帮助探求解题思路和方法.2024/5/30【典例4】已知函数对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值;(2)求证:(3)若f(2)=m,f(3)=n(m,n均为常数),求f(36)的值.1()0(0);ff xxx 2024/5/30解 (1)对a,bR,有f(ab)=f(a)+f(b),令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0.令a=b=1,得f(1)=0.2024/5/30 222x0,xf 13f 2m,f 3n,f 36f11,2f 32f 2211()0,1
14、()0f2 mn.3xfxf xfxxff xx 当时于是2024/5/30错源一换元不等价 22111f x.1,xxfxx【典例】若求的解析式 22221xf t2t1t2t3,f xf11111,11xx2x31111,xR.xtxxxtfxx 错解设则所以即所以的解析式为2024/5/30剖析 错解中采用了换元法,但换元前后变量取值范围不相等,所以错解中f(x)定义域为R是错的,f(x)定义域应为变量t的取值范围.2024/5/30 222211111,1111,t1,xf t2t1t2t3 t1,f x11f xx2x3 x1.1,xtxxxtfxx 正解设则所以即所以的解析式为评析
15、在应用换元法时应注意,换元后函数的形式变了但其实质并没有发生变化,所以新元的取值范围必须由原来的变量决定.2024/5/30错源二 解析式化简不等价导致函数定义域变大 2f xyf1,f x_1.x【典例】若函数则函数的定义域为 1111,111211f xf f xf,yf f xx|xR,x2.xxxxx 错解故函数的定义域是2024/5/30剖析 本题的错误在于盲目地对函数解析式进行化简,导致扩大了自变量x的取值范围.f xf f x,x1,x2,x|xR,x1x211,111110,1101.xxxx 正解 因为所以因此要使函数有意义 应满足即且于是函数的定义域是且答案 x|xR,x-
16、1且x-22024/5/30技法求函数解析式的方法一特殊值法【典例1】已知对一切x,yR,关系式f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y都成立,且f(0)=1,求f(x).解题切入点 由f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切x,yR都成立,可根据需要对x,y进行赋值,本题可令x=0.2024/5/30解 因为f(x-y)=f(x)-(2x-y+1)y对一切x,yR都成立.所以令x=0,得f(-y)=f(0)-(1-y)y,又f(0)=1,所以f(-y)=y2-y+1,再令x=-y,得f(x)=x2+x+1.2024/5/30方法与技巧 当所给函数的等式中有两个变量时,可对这两个变量
17、交替用特殊值代入或使这两个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知的函数.2024/5/30 22113.,2f x1xfxxx二配凑法【典例】已知求的解析式22,1131.xxxx 解题切入点由函数定义 通过恒等变形将已知式的右边配凑为的表达式2024/5/30 2222113211111111121(0,111)f xxx,x11.xfxxxxxxxxxx解 因为其中故所以2024/5/30方法与技巧 已知fg(x)=h(x),求f(x)的问题,可先用g(x)表示h(x),然后再将g(x)用x代替,即得f(x)的解析式.2024/5/30三换元法 3f(1)2x,f x.2 xx【典例】已知
18、求函数的解析式)f(121t,xt,t,2.xx解题切入点 把中的换成另一个字母来表示函数的自变量 再把 用 表示出来 代入已知式得到关于 的函数式 即是所求函数解析式2024/5/30 2222(1)(4(112t,xt1).f tt1),f)1(222x12x.txttttxx解 令则所以从而2024/5/30方法与技巧 若已知条件中没有给出函数的具体解析式,但给出了函数的某种关系,可结合整体思想采用换元法,把解析式的某一部分设为一个变量进行求解,注意新变量的范围.2024/5/30四待定系数法【典例4】已知f(x)是二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,求f(x).解
19、 设f(x)=ax2+bx+c,f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x+4.对应得a=1,b=-2,c=1.所以f(x)=x2-2x+1.方法与技巧 已知函数式的构造模式时可用.2024/5/30五转化法【典例5】设f(x)是定义在(-,+)上的函数,对一切xR,均有f(x)+f(x+2)=0,当-1x1时,f(x)=2x-1.求当1x3时,函数f(x)的解析式.2024/5/30解 设1x3,则-1x-21.又对任意的xR,有f(x)+f(x+2)=0.即f(x+2)=-f(x).所以f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x).又-1x-21时,f(x-2)
20、=2(x-2)-1=2x-5.所以f(x)=-f(x-2)=-2x+5(1x3).故当x(1,3时,f(x)=-2x+5.2024/5/30 2416f xx,3()3,f x.f xf xfx六消去法【典例】已知函数满足求并证明2024/5/30 22222224444x,2f13()1113()133113.211333xf,3.xf2xfxf xfxxff xxxxxxxxxx 解 因为以代替式中的得可得所以又因此2024/5/30七分段求解法 27f x2x1,0g x10f g x.,xxx【典例】已知函数求的解析式2024/5/30 2222,.x0,g xx,f g xf x2x1.x0,g x1,f g xf12113.f g x210,30.xxx 解题切入点 本题是求分段函数的解析式 应按分段函数的定义分段求解解 当 时当时所以2024/5/30 11f x,f x,(fx,),xx,fxf x.,1,fxxfx方法与技巧 若已知满足某个等式 这个等式除是未知量外 还出现其他未知量 如等 可以用等代替其中的 从而得到另一等式解它们组成的方程组 即消去或进而得到的解析式此法也称解方程组法