1、2021年宁夏中卫市海原一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分）.1已知集合，则AB（）Ax|1x2B1，0，1，2C2，1，0，1，2D0，1，22复数z12+i，若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z1z2（）A5B5C3+4iD34i3图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，A16，图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A6B10C91D924被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割
2、比的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18，则（）A4BC2D5已知，下列向量中，与反向的单位向量是（）ABCD6已知锐角满足3cos21+sin2，则cos（）ABCD7已知函数f（x）2x2，则函数y|f（x）|的图象可能是（）ABCD8我国古代九章算术将上下两面为平行矩形的六面体称为刍薨如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍薨的表面积为（）AB40CD9已知抛物线y24x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点若|MF|+|NF|5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A3BC5D10某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的
3、“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有（）A36种B54种C58种D72种11已知数列an的前n项和，则下列结论正确的是（）A数列an是等差数列B数列an是递增数列Ca1，a5，a9成等差数列DS6S3，S9S6，S12S9成等差数列12已知函数（a0，且a1）在区间（，+）上为单调函数，若函数y|f（x）|x2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13函数f（x）1+lnx的
4、图像在处的切线方程为 14已知双曲线1（a0，b0）的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为 15ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bsinC+csinB4asinBsinC，b2+c2a28，则ABC的面积为 16下列说法正确的是 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；过空间中任意三点有且仅有一个平面；若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；若直线l平面，直线m平面，则ml三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于
5、0，已知a1b12，b2a2，b3a2+4（1）求an和bn的通项公式；（2）记，nN*，求数列cn的前n项和Sn18某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以160，180），180，200），200，220），220，240），240，260），260，280），280，300）分组的频率分布直方图如图所示（1）根据频率分布直方图的数据，求直方图中x的值并估计该市每户居民月平均用电量的值；（2）用频率估计概率，利用（1）的结果，假
6、设该市每户居民月平均用电量X服从正态分布N（，2）（）估计该市居民月平均用电量介于240度之间的概率；（）利用（）的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于240度之间的户数为，求的分布列及数学期望E（）19如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为直角梯形，并且ADC，ADBC，PA底面ABCD已知ADCD2，四边形ABCD的面积为6（1）证明：直线AC平面PAB；（2）点E为棱PB的中点，当直线PB与平面ABCD所成的角为时，求直线PD与AE所成角的余弦值20顺次连接椭圆C：1（ab0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为2的菱形（1）求椭圆C的方程；（2）设M（3，0）
7、，过椭圆C右焦点F的直线l交C于A，B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式（R）恒成立，求的最小值21设函数f（x）ex+aex，aR（）判断f（x）的单调性，并求极值；（）若a1，且对所有x0都f（x）mx成立，求实数m的取值范围选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为+4sin0（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知定点P（4，0），直线l与曲线C相交于M，N两点，求
8、|PM|PN|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）2x+1（1）解关于x的不等式g（x）|x1|；（2）如果对xR，不等式|g（x）|c|x1|恒成立，求实数c的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则AB（）Ax|1x2B1，0，1，2C2，1，0，1，2D0，1，2解：因为xZ且，所以0x+26，解得2x4，所以x的取值为1，0，1，2，3，4，故集合A1，0，1，2，3，4，因为x|222x22x|2x2，由集合交集的定义可知，AB1，0，1，2故选：
9、B2复数z12+i，若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z1z2（）A5B5C3+4iD34i解：由题意可知z22+i，所以z1z2（2+i）（2+i）415故选：A3图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，A16，图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A6B10C91D92解：程序框图的意思是：输出学生考试成绩的中，90及90分以上的人数，从茎叶图中不难发现一共有10，n10故选：B4被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应
10、用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18，则（）A4BC2D解：由题意，2sin18m，m24sin218，则故选：C5已知，下列向量中，与反向的单位向量是（）ABCD解：根据题意，设要求向量为，且，（0），则（，），（0），为单位向量，则（）2+（）21，解可得：，又由0，则，故（，）；故选：B6已知锐角满足3cos21+sin2，则cos（）ABCD解：3cos21+sin2，3（cos2sin2）（cos+sin）2，3（cossin）（cos+sin）（cos+sin）2，为锐角，可得cos+sin0，3（cossin）cos+sin，可得cos2sin
11、，即tan，cos故选：A7已知函数f（x）2x2，则函数y|f（x）|的图象可能是（）ABCD解：先做出y2x的图象，在向下平移两个单位，得到yf（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y|f（x）|的图象故选：B8我国古代九章算术将上下两面为平行矩形的六面体称为刍薨如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍薨的表面积为（）AB40CD解：三视图对应的几何体的直观图如图，梯形的高为：，几何体的表面积为，216+12故选：D9已知抛物线y24x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点若|MF|+|NF|5，则线段MN的中点到
12、y轴的距离为（）A3BC5D解：由抛物线方程得，准线方程为：x1，设M（x，y），N（x，y），由抛物线的性质得，MF+NFx+x+px+x+25，中点的横坐标为，线段MN的中点到y轴的距离为：，故选：B10某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有（）A36种B54种C58种D72种解：由题意可知54，故选：B11已知数列an的前n项和，则下列结论正确的是（）A数列an是等差数列B数列an是递增
13、数列Ca1，a5，a9成等差数列DS6S3，S9S6，S12S9成等差数列解：由，n2时，anSnSn1n2+n+3（n1）2+（n1）+3n+n1时，a1S1n1时，ann+，不成立数列an不是等差数列a2a1，因此数列an不是单调递增数列2a5a1a920，因此a1，a5，a9不成等差数列S6S3（4+5+6）+3S9S6（7+8+9）+3S12S9（10+11+12）+30，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列故选：D12已知函数（a0，且a1）在区间（，+）上为单调函数，若函数y|f（x）|x2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）ABCD解：由题意，当x1时，f（x）|1+l
14、oga|x2|与函数yx+2恒有一个交点，f（x）的最大值的端点坐标为（1，1）函数y|f（x）|x2有两个不同的零点，即函数yx+2与f（x）（x1）2+5a且有一个交点；当x1时，函数yx+2的函数值为3，即坐标为（1，3），若5a3，即直线与抛物线相切，则x+2（x1）2+5a只有一个解，即0，94（5a1）0，可得a，若5a3，要使函数yx+2与f（x）（x1）2+5a且有一个交点，则5a1，综上可得实数a的取值范围是故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13函数f（x）1+lnx的图像在处的切线方程为yex1解：f（x）1+lnx的导数为f（x），可得在处的切线的斜
15、率为ke，由f（）1+ln0，则切线的方程为y0e（x），即为yex1故答案为：yex114已知双曲线1（a0，b0）的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为解：取双曲线的右焦点F（c，0），取双曲线的渐近线yx，即bxay0，依题意得，即ba，该双曲线的离心率e，故答案为：15ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bsinC+csinB4asinBsinC，b2+c2a28，则ABC的面积为解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，cbsinC+csinB4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB4sinAsinBsinC，由于0B，0C，所以
16、sinBsinC0，所以sinA，则A由于b2+c2a28，则：，当A时，解得bc，所以当A时，解得bc（不合题意），舍去故：故答案为：16下列说法正确的是两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；过空间中任意三点有且仅有一个平面；若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；若直线l平面，直线m平面，则ml解：对于，如图，两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，故正确；对于，过空间中不在同一直线上的三点有且仅有一个平面，故错误；对于，若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，故错误；对于，若直线l平面，直线m平面，则m1，故正确正确的是故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说
17、明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0，已知a1b12，b2a2，b3a2+4（1）求an和bn的通项公式；（2）记，nN*，求数列cn的前n项和Sn解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则q0由题意，得，解得：，故an2+2（n1）2n，（2），得：，18某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度
18、），以160，180），180，200），200，220），220，240），240，260），260，280），280，300）分组的频率分布直方图如图所示（1）根据频率分布直方图的数据，求直方图中x的值并估计该市每户居民月平均用电量的值；（2）用频率估计概率，利用（1）的结果，假设该市每户居民月平均用电量X服从正态分布N（，2）（）估计该市居民月平均用电量介于240度之间的概率；（）利用（）的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于240度之间的户数为，求的分布列及数学期望E（）解：（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）2
19、01，得x0.0075，1700.04+1900.19+2100.22+2300.25+2500.15+2700.1+2900.05225.6（2）（）P（225.6X240）12P（X240）（）B（3，），P（Yi），i0，1，2，3的分布列为：0123PE（）319如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为直角梯形，并且ADC，ADBC，PA底面ABCD已知ADCD2，四边形ABCD的面积为6（1）证明：直线AC平面PAB；（2）点E为棱PB的中点，当直线PB与平面ABCD所成的角为时，求直线PD与AE所成角的余弦值【解答】（1）证明：根据题意，S梯形6，解得BC4过点A作AMBC于点
20、M，则AMMCMB2，并且ACAB，因此BC216AC2+AB2，所以ACAB又PA底面ABCD，AC底面ABCD，所以ACPA又PAABA所以，AC平面PAB（2）解：由PA底面ABCD，则AD为PD在平面ABCD内的投影，从而PDA即为直线PD与平面ABCD所成的角，因此PDA，从而tanPDA，所以PA2根据（1），以点A为坐标原点，射线AB，AC，AP的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），D（，0），B（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），所以（，0，），（，2），因此 cos，所以直线PD与AE所成角的余弦值为20顺次连接椭圆C：1（ab
21、0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为2的菱形（1）求椭圆C的方程；（2）设M（3，0），过椭圆C右焦点F的直线l交C于A，B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式（R）恒成立，求的最小值解：（1）有题意可得解得：a，b1，椭圆的标准方程：+y21；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则（x1+3，y1）（x2+3，y2）（x1+3）（x2+3）+y1y2，当直线l垂直于x轴时，x1x21，y1y2，且y12，此时，（4，y1），（4，y2），当直线l不垂直于x轴时，设直线l：yk（x1），由消去y，整理得（1+2k2）x24k2x+2k220，x1+x2，x1x2，x1x2+3（
22、x1+x2）+9+k2（x11）（x21），（1+k2）x1x2+（k2+3）（x1+x2）+9k2，（1+k2）+（k2+3）+9k2（31），要使（R）恒成立，只需（）max，的最小值为21设函数f（x）ex+aex，aR（）判断f（x）的单调性，并求极值；（）若a1，且对所有x0都f（x）mx成立，求实数m的取值范围解：（I）f（x）exaex，当a0时，f（x）0，函数f（x）在R上单调递增当a0时，由f（x）0，解得xln，在x（，ln），f（x）0，函数f（x）单调递减在x（ln，+），f（x）0，函数f（x）单调递增xln时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln）2（II）令
23、F（x）f（x）mxexexmx，F（0）0x0F（x）ex+exm，F（0）2m令H（x）ex+exmH（x）exex0函数H（x）在（0，+）上单调递增F（x）在0，+）上单调递增若m2，F（x）2m0，得F（x）在0，+）上单调递增，有F（x）F（0）0，符合题意若m2，令F（x）0，解得0xlnF（x）在（0，ln）上单调递减，有F（x）F（0）0，不符合题意，舍去实数m的取值范围是（，2选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，
24、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为+4sin0（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知定点P（4，0），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|PN|的值解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为，整理得ytan（x4）曲线C的极坐标方程为+4sin0，整理得2+4sin0，根据，转换为直角坐标方程为x2+y2+4y0，整理得x2+（y+2）24（2）把直线的参数方程（t为参数），代入x2+y2+4y0，得到t2+（8cos+4sin）t+160，（t1和t2为M、N对应的参数），所以t1t216，所以|PM|PN|t1t2|16选修4-5：不等式
25、选讲23已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）2x+1（1）解关于x的不等式g（x）|x1|；（2）如果对xR，不等式|g（x）|c|x1|恒成立，求实数c的取值范围解：（1）由函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）2x+1，则y2（x）+1，所以y2x1；所以g（x）2x1，所以不等式g（x）|x1|化为2x1|x1|，当x1时，不等式化为2x1x1，解得x0，所以x1；当x1时，不等式化为2x11x，解得x，所以x1；综上所述，不等式的解集为，+）；（2）对xR，不等式|g（x）|c|x1|恒成立，即|2x1|c|x1|，所以c|2x1|x1|，令h（x）|2x1|x1|，则h（x），所以h（x）的最小值为h（），则实数c的取值范围是c