1、8.推理与证明、复数、算法1 推理方法(1)合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养问题1图1有面积关系：，则图2有体积关系：_.答案(2)演绎推理演绎推理是指如果推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：大前提；小前提；结论2 证明方法(1)直接证明综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，
2、经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法综合法又叫顺推法或由因导果法分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明方法叫分析法分析法又叫逆推法或执果索因法(2)间接证明反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法(3)数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0N*)时命题成立；(归纳递推)假设nk (kn0，kN*
3、)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法问题2用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设_答案三角形三个内角都大于603 复数的概念对于复数abi(a，bR)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b0时，复数abi(a，bR)是实数a；当b0时，复数abi叫做虚数；当a0且b0时，复数abi叫做纯虚数问题3若复数zlg(m2m2)ilg(m23m3)为实数，则实数m的值为_答案24 复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：(1)(1i)22
4、i；(2)i；i；(3)i4n1；i4n1i；i4n21；i4n3i；i4ni4n1i4n2i4n30；(4)设i，则01；2；31；120.问题4已知复数z，是z的共轭复数，则|_.答案15 算法(1)控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束(2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值问题5执行
5、如图所示的程序框图，如果输出a341，那么判断框中可以是()Ak5?Ck6? Dk7?答案C解析根据程序框图，第一次循环，a011，k112；第二次循环，a4115，k213；第三次循环，a45121，k314；第四次循环，a421185，k415；第五次循环，a4851341，k516.要使输出的a341，判断框中可以是k6？或k5？.故选C.易错点1复数的概念不明致误例1若zsin i是纯虚数，则tan的值为()A7 B7C D7或找准失分点本题常见的错误主要有两点：一是混淆复数的有关概念，忽视虚部不为0的限制条件，错得sin ，cos ，导致错选D.二是记错两角差的正切公式，导致计算有误
6、正解由z为纯虚数，知sin 0，且cos 0.则sin ，从而cos .所以tan .tan7.答案A易错点2循环次数把握不准致误例2执行下边的程序框图，若p0.8，则输出的n_.找准失分点容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错正解顺着框图箭头的走向列举出有关的输出数据，有S：0，0.875，n: 2, 3, 4.“0.8750.8”判断为“否”，输出n4.答案4易错点3数学归纳法未用归纳假设致误例3用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式Snna1d(nN)错解当n1时，S1a1，等式成立假设nk(kN，k1)时，等式成立，即Ska1kk(k1)d.当nk1时，Sk1a1a2a3
7、akak1a1(a1d)(a12d)a1(k1)d(a1kd)(k1)a1(d2dkd)(k1)a1k(k1)d(k1)a1(k1)(k1)1d，即当nk1时，等式成立由知，等式对任意的正整数n都成立找准失分点本题的错因在于从nk到nk1的推理中，没有用到归纳假设正解当n1时，S1a1，等式成立假设nk(kN，k1)时，等式成立，即Ska1kk(k1)d.当nk1时，Sk1a1a2akak1Skak1a1kk(k1)da1kd(k1)a1(k1)(k1)1d即当nk1时，等式成立由知，等式对任意的正整数n都成立1 已知集合A，则集合AR的子集个数为()A8 B7 C3 D2答案A解析A，所以A
8、R，故其子集个数为238.2 (2012山东)执行下面的程序框图，如果输入a4，那么输出的n的值为()A2 B3 C4 D5答案B解析a4，P0，Q1，n0时，PQ，P0401，Q2113，n1；PQ，P1415，Q2317，n2；PQ，P54221，Q27115，n3；PQ不成立，输出n3.3 复数z满足(1i)z(1i)2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析(1i)z(1i)22i，则zi(i1)1i，所以复数z在复平面上对应的点为(1，1)，则这个点位于第四象限4 i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a等于()A2 B
9、C. D2答案A解析由于为纯虚数，所以0，且0即a2.5 观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x) ()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)答案D解析观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数，所以g(x)g(x)，故选D.6 如图所示的程序框图中，若f(x)2x，g(x)x2，则h(3)的值等于()A8 B9 C1 D1答案B解析由程序框图，可知输出的h(x)为f(x)与g(x)中的较大者，f(3)238，g(3)329，显然f(3)g(3)，所以h(3
10、)g(3)9.故选B.7 若复数z1429i，z269i，其中i是虚数单位，则复数(z1z2)i的实部为_答案20解析(z1z2)i(220i)i202i，故(z1z2)i的实部为20.8 观察下列等式：11，2349，3456725，4567891049，照此规律，第n个等式为_答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)29 若三角形内切圆的半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积Sr(abc)根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R，四个面的面积分别是S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V_.答案(S1S2S3S4)R10(2012湖南)如果执行如图所示的程序框图，输入x1，n3，则输出的数S_.答案4解析当n3时，i312，满足i0，故S6(1)213.执行ii1后i的值为1，满足i0，故S(3)(1)115.再执行ii1后i的值为0，满足i0，故S5(1)014.继续执行ii1后i的值为1，不满足i0，故输出S4.