1、28.2 解直角三角形及其应用一、解直角三角形1任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做_解直角三角形_.2在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c.（1）两锐角互余，即AB_._；（2）三边满足勾股定理，即a2b2_；（3）边与角关系sin Acos B_，cos Asin B_，tan A_，tan B_.二、解直角三角形在实际问题中的应用（一）俯角、仰角在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做_；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做_.(二)方向角1方向角是以观察点为中心(方向角的顶
2、点)，以正_或正_为始边，旋转到观察目标的方向线所成的_，方向角也称象限角2如图，我们说点A在O的北偏东30方向上，点B在点O的南偏西45方向上，或者点B在点O的西南方向(三)坡度、坡角1坡度通常写成1_的形式坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，有i_.2一斜坡的坡角为30，则它的坡度为_.(四)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；2根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；3得到数学问题的答案；4得到实际问题的答案题型一：解直角三角形1（2023秋上海浦东
3、新九年级校考期末）在中，则下列结论正确的是（）ABCD2（2023秋河南郑州九年级校考期末）如图，在中，于点D，那么的长为（）ABCD63（2023秋河北石家庄九年级校考期末）如图，点，分别在反比例函数与的图像上，连接，且，则的值为（）ABCD题型二：解非直角三角形4（2022陕西西安西安市中铁中学校考三模）如图，在中，平分交于点，则线段的长为A +1B2CD-5（2022秋九年级单元测试）如图，AOB中，OA4，OB6，AB2，将AOB绕原点O旋转90，则旋转后点A的对应点A的坐标是（）A（4，2）或（4，2）B（2，4）或（2，4）C（2，2）或（2，2）D（2，2）或（2，2）6（202
4、2春九年级课时练习）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则APD的余弦值为（）ABCD题型三：构造直角三角形求边长或面积7（2022春全国九年级专题练习）在ABC中，BC1，B45，C30，则ABC的面积为（）AB1CD18（2022秋江苏苏州九年级校考期中）如图，护林员在离树8m的A处测得树顶B的仰角为45，已知护林员的眼睛离地面的距离AC为1.6m，则树的高度BD为()A8mB9.6mC(4+1.6)mD(8+1.6)m9（2022春全国九年级专题练习）如图，AC10，则的面积是（）A42B43C44D45题型四：仰角俯角问题1
5、0（2023秋河北邯郸九年级校考期末）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼的高度，工程师在D得用高的测角仪，测得楼顶端A的仰角为，然后向楼前进到达E，又测得楼顶端A的仰角为，楼的高为（）ABCD11（2023秋河南南阳九年级校考期末）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房顶部点D的仰角为45，向前走20米到达处，测得点D的仰角为67.5，已知测倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为（）（结果精确到0.1米，）A34.14米B34.1米C35.7米D35.74米12（2022秋山东济南九年级统考期末）某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”小聪所在小
6、组想测量古塔的高度，经研究得出一个测量方案如下：在点A用距离地面高度为h米的测角器测出古塔顶端的仰角为，然后沿方向前进a米到达点B，用同样的测角器测出古塔顶端的仰角为，小聪小组计算出的古塔高度约为（）米ABCD题型五：方向角问题13（2023秋山东济南九年级期末）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟，小亮在龙舟竞渡中心广场点P处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西方向上，终点B位于点P的北偏东方向上，米，求点P到赛道AB的距离（）（结果保留整数，参考数据：）ABC87D17314（2022河北保定统考三模）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西
7、方向的A处，若渔船沿北偏西方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东方向上，则B、C之间的距离为（）A15海里B30海里C海里D海里15（2022秋安徽滁州九年级校考阶段练习）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东方向，则这段河的宽度为（）A米B米C米D米题型六：解直角三角形实际应用16（2023秋河北保定九年级校考期末）琪琪周末与爸爸妈妈一起到保定新建黄花沟公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，她在A处测得
8、B在北偏西方向上，C在北偏东方向上，她从A处走了40米到达B处，又在B处测得C在北偏东方向上(1)求的度数(2)求两棵银杏树B，C之间的距离（结果保留根号）17（2023秋湖南长沙九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为（参考数据：）(1)求证：；(2)若学生的身高忽略不计，求该塔的高度？（结果精确到）18（2023秋陕西西安九年级校联考期末）如图，小明所在的数学小组打算测量学校旁边一栋住宅楼的高度由于
9、住宅楼底部无法到达，小明在C处测得住宅楼顶端A的仰角为，后退适当距离后，在D处测得顶端A的仰角为，两次测量地点的距离米，已知侧倾器高度米，点B、C、D在同一直线上，求住宅楼的高度（结果精确到0.1米）（参考数据：）一、单选题19（2023秋河北保定九年级校考期末）如图所示，塔底B与观测点A在同一水平线上为了测量铁塔的高度，在A处测得塔顶C的仰角为，塔底B与观测点A的距离为80米，则铁塔的高为（）A米B米C米D米20（2023秋河北保定九年级校考期末）在中，若，则这个三角形一定是（）A直角三角形B等腰三角形C钝角三角形D锐角三角形21（2023秋河南南阳九年级南阳22中统考期末）如图，在中，点是
10、上一点，连接若，则的长为（）ABCD22（2023秋河北邯郸九年级统考期末）已知从点B观测热气球A的俯角为，从点C观测热气球A的仰角为，则两条视线的夹角的度数是（）ABCD23（2023秋河北邯郸九年级邯郸市翰光学校校考期末）为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点、共线，点、共线，坐垫可沿射线方向调节已知，车轮半径为20cm，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（结果精确到，参考数据：，A80cmB72cmC76cmD70cm24（2023秋重庆北碚九年级重庆市兼善中学校考期末）如图，是某一景区雕像，雕像底部
11、前台米，台末端点有一个斜坡长为米且坡度为，与坡面末端相距米的地方有一路灯，雕像顶端测得路灯顶端的俯角为，且路灯高度为米则，约为（）米（精确到米，）ABCD25（2023秋福建泉州九年级泉州五中校联考期末）油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为乡村旅游的一张靓丽名片我校初二年数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，当时，伞完全打开，此时请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留根号）26（2023秋上海青浦九年级校考期末）如图，在距某输电铁塔（垂直地面）的底部点H左侧水平距离45米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度，
12、山坡坡底点B到坡顶A的距离等于30米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30（铁塔与山坡在同一平面内）(1)求山坡的高度；(2)求铁塔的高度（结果保留根号）一：选择题27（2023秋湖南邵阳九年级统考期末）如图，A、D、B在同一条直线上，电线杆的高度为，两根拉线与相互垂直，则拉线的长度为()ABCD28（2023秋山西太原九年级山西大附中校考期末）如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为，那么这两棵树在坡面上的距离为（）ABCD29（2023浙江九年级专题练习）为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到地面的
13、距离米，小明身高米，他在点A测得点D的仰角是在点B测得点D仰角的2倍，已知小明在点B测得的仰角是a，则体温监测有效识别区域的长为（）米（）ABCD30（2022秋吉林长春九年级校考期末）如图，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群众进行核酸采集，沿修了一条近路，已知米，新修小路与的夹角为，则走这条近路的长可以表示为（）米ABCD31（2023秋河北石家庄九年级校联考期末）如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与平行的直线上点A处测得，已知河宽18米，则B，C两点间的距离为（）（参考数据：，）A米B米C米D米32（2022湖北省直辖县级单位校考二模）如
14、图，已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿翻折至，延长交边于点，连接，则下列给出的判断：；若，则；若为的中点，则的面积为；若，则，其中正确的是（）ABCD二、填空题33（2023秋福建泉州九年级泉州五中校联考期末）如图，每个小正方形的边长均相等，则的值为_34（2023秋上海青浦九年级校考期末）如图，已知在中，正方形的顶点G、F分别在、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_35（2023秋河北秦皇岛九年级秦皇岛市第七中学校考期末）如图，某人在山坡坡脚 处测得电视塔尖点 的仰角为 ，沿山坡向上走到 处再测得点 的仰角为 ，已知 米，山坡坡度为，且 ， 在同一条直线上，则此人所在
15、位置点 的铅直高度为_米36（2023秋江苏徐州九年级统考期末）如图，在中，已知是BC边上的高，则的值为_37（2023秋重庆江北九年级字水中学校考期末）如图是某景区登山路线示意图，其中是缆车游览路线，折线ABCD是登山步道，步道与水平面的夹角为，步道与水平面的夹角为，是半山观景平台，现测得，缆车路线其中点A，B，C，D，E在同一平面内，（1）求点B到水平面的距离为_；（不要带单位）（2）求半山观景平台的长度_ （结果保留整数）（参考数据：）38（2023春内蒙古包头九年级统考期末）如图，坡角为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为m，则大树
16、的高为_（请用含m，的式子表示）39（2023秋河南郑州九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在x轴、y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的点F处，已知，则的长为_三、解答题40（2023秋上海青浦九年级校考期末）如图，已知在中，点D在边上，连接，(1)求边的长；(2)求的值41（2023全国九年级专题练习）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，机械臂端点到工作台的距离m(1)求、两点之间的距离；(2)求长42（2023秋河南周口九年
17、级校考期末）如图，是的中线，是锐角，(1)求的长(2)求的值43（2023秋陕西西安九年级校考期末）为了测量学校旗杆（垂直于地面）的高度，班里一个兴趣小组设计了如下的测量方案如图：在测量中，线段表示旗杆的高度，线段、表示测角仪的髙度，点A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内，CE表示两次测角仪摆放位置之间的距离，测角仪测得旗杆顶端A的仰角，米，米，请你利用测量的数据计算旗杆的高度（参考数据：）44（2023秋上海闵行九年级统考期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度米，货物仓的直径可达
18、3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角，顶部B处的仰角为，求此时观测点A到发射塔的水平距离（结果精确到0.1米）（参考数据：）45（2023陕西西安校考一模）一个足球场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，灯杆垂直于地面，已知看台的长为10m，的坡度，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角，最近端的光线恰好与地面交于看台的底端C处，且与地面的夹角，A、B、C、D在同一平面内，求的长度（结果精确到1m，参考数据：）1B【分析】首先利用勾股定理求得的长，然后利用
19、三角函数的定义求解，即可作出判断【详解】解：在直角中，则，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误故选：B【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边2A【分析】先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答【详解】解：在中，故选A【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键3C【分析】过点分别作轴，轴，垂足为，证明，根据，求出，从而得到相似比，进而求出两个三角形面积比，得到的值，即可得解【详解】解：，设，则：，过点分别作轴，轴，垂
20、足为，则：，即：，即：；故选C【点睛】本题考查反比例函数值的几何意义，以及相似三角形的判定和性质，解直角三角形本题的综合性较强，利用数形结合的思想，构造相似三角形，是解题的关键4B【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果【详解】如图，作于，作于，在Rt中，在Rt中，在Rt中，设，在Rt中，由得，故答案为：B【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形5C【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A的坐
21、标【详解】过点A作于点C在RtAOC中， 在RtABC中， OA4，OB6，AB2，点A的坐标是根据题意画出图形旋转后的位置，如图，将AOB绕原点O顺时针旋转90时，点A的对应点A的坐标为；将AOB绕原点O逆时针旋转90时，点A的对应点A的坐标为故选：C【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质（a，b）绕原点顺时针旋转90得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90得到的坐标为（b，a）6C【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得APDABE，在RtABE中可求cosABE，从而结论可得【详解】解：取格
22、点E，连接AE、BE，如图：设网格中的小正方形的边长为1，则BE，AE，AB=BE2+AE22+810，AB210，BE2+AE2AB2AEB90由题意：EBDCDB45APDCDB+PBD45+PBD，ABEDBE+PBD45+PBD，APDABE在RtABE中，cosABEcosAPD故选：C【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键7C【分析】过点A作ADBC，垂足为D在RtABD中和RtACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积【详解】如图，过点A作ADBC，垂足为D在RtABD中，B45，BDAD在RtAC
23、D中，C30，CDADBDCDBC，ADAD1即AD1SABCBCAD（1）故选：C【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决.8B【分析】过点C作CEBD于E,证明CEB是等腰直角三角形,利用矩形性质即可解题.【详解】解：过点C作CEBD于E,BCE=45,CEB是等腰直角三角形,CE=BE=8,四边形ACED是矩形,AC=DE=1.6,BD=8+1.6=9.6米,故选B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形和矩形的性质,属于简单题,正确作辅助线是解题关键.9A【分析】过点A作ADBC于点D，根据锐角三角函数的定义，求出AD、BD和CD的长度【详解】过点A
24、作ADBC于点D，sinC ，ADACsinC6，由勾股定理可知：BC8，cosB ，B45，BDAD6，BC14，ABC的面积为BCAD61442故选A【点睛】考查解直角三角形，解题的关键是根据锐角三角函数求出AD与BC的长度.10A【分析】利用的正切值可表示出长，进而利用的正切函数求长，加上即为这幢教学楼的高度【详解】解：在中，在中， 又，即，故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法11C【分析】过点B作于F，过点作于E，证明，利用角平分线的性质得到，解得到，再解得到，由此即可得到答案【详解
25、】解：如图所示，过点B作于F，过点作于E，由题意得四边形是矩形，又，在中， 在中，故选C【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键12D【分析】设，在中根据，可知，在中根据可得出的值，由即可得出结论；【详解】解：过点作于，则四边形是矩形，设，在中，在中，即，答：古塔的高度为，故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键13D【分析】过点P作，垂足为P，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据米，列出关于x的方程，进行计算即可解答【详解】解：过点P作，垂足为C
26、，设米，在中，（米），在中，（米），米，米，点P到赛道的距离约为173米，故选D【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键14C【分析】由路程等于速度乘以时间可求出AC，再由平行线性质可得出是等腰直角三角形，进而可求出答案【详解】解：由题意得：（海里）如图所示： ， ， ， ，在 中， ，则可得： ，解得： （海里）故选C【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键15B【分析】作交的延长线于，设，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可【详解】解：作交的延长线于，设，则
27、，解得，答：这段河的宽约为米故选：B【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键16(1)(2)米【分析】（1）根据平行线的性质得到，于是得到；（2）过点作于根据垂直的定义得到，在中，根据三角函数的定义得到米，在中，于是得到结论【详解】（1）解：设与交于点，由题意得，且，且，；（2）解：过点作于，在中，米，(米)，在中，(米)，(米)，(米)，米，答：两棵银杏树、之间的距离为米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是构建含特殊角的直角三角形17(1)见解析；(2)【分析】（1）由题意易得：，即可证得是等腰三角形，（
28、2）然后利用三角函数，求得答案【详解】（1）证明：根据题意得：，（2），【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题注意证得是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键18米【分析】如图延长交于，在中用表示，求出，在中用表示，建立方程求解即可【详解】解：如图延长交于则由题意可知：，在中：在中：解得：米【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形的实际应用；灵活运用三角函数表示相应线段并正确求解是解题的关键19C【详解】解：根据题意得：，(米)故选：C【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的实际应用，理解正切的含义是解答关键20B【分析】根据特殊角的三角函数值求出的度数和的值，然后利用三角形内角和
29、定理求出的值，即可判断出三角形的形状【详解】， ， ，为等腰三角形，故选：B【点睛】本题主要考查三角形形状的判断，能够根据三角函数值求出角度是解题的关键21B【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点作于点，依据三角函数值可得从而得，再由得，由勾股定理得【详解】解：在中， 由勾股定理得， 过点作于点，如图， ， ， ， ， ， ，在中，故选：B【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出的长是解答本题的关键22C【分析】由题可知，过点A作，即可得出，即可得出的度数【详解】解：由题可知，过点A作，故选：C【点睛】本题考查了仰角、俯角的概念，以及平行线的性质，熟
30、练掌握仰角、俯角的概念是本题的关键23C【分析】作于，作地面于，如图所示，利用三角函数求出，求出即可得到答案【详解】解：作于，作地面于，如图所示：由题知，坐垫离地面高度约为，故选：C【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意，准确构造直角三角形，熟练掌握三角函数定义是解题的关键24B【分析】如图，作于，延长交于，作于求出，即可解决问题；【详解】解：如图，作于，延长交于，作于，根据题意，四边形是矩形，四边形是矩形，和为直角三角形，斜坡长为米且坡度为，在中，解得：或（不合题意，舍去），在中，（米）故选：B【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出
31、直角三角形是解答此题的关键25【分析】作于点，根据三角函数求出和，再利用等腰直角三角形的性质得出，再根据比例关系求出的长度即可【详解】解：作于点，平分，即，解得，最少需要准备长的伞柄【点睛】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键26(1)山坡的高度为15米(2)米【分析】（1）过点A作，交的延长线于点D，由坡度的定义计算出与的关系，根据勾股定理求出即可得到答案；（2）过点A作于点H，则四边形是矩形，解直角三角形即可得到结论【详解】（1）解：如图，过点A作，交的延长线于点D，山坡AB的坡度，米，；又，即，米，山坡的高度为15米；（2）解：过点A作于点H，则四边形是矩形
32、， 由题意可知：米，米，米，在中，米，又米，米，答：铁塔的高度为米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，掌握锐角三角函数、坡度的意义是解题的关键27A【分析】根据同角的余角相等得，由知【详解】解：，在中，故选：A【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键28B【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离【详解】解：坡角为，相邻两树之间的水平距离为米，两树在坡面上的距离（米）故选：B【点睛】此题主要考查解直角三角形中的坡度坡角问题及三角函数的运用能力,掌握以上知识是解题的关键29B【分析】首先由题意可知四边形是矩形，可得，米，再由解直
33、角三角形可求得、的长，据此即可解答【详解】解：由题意可知：四边形是矩形，米，米，（米），在中，（米），在中，（米），(米)，故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键30D【分析】根据锐角三角函数的定义求解即可【详解】解：由题意，在中，米，米，故选：D【点睛】本题考查解直角三角形的应用，理解锐角三角函数的定义是解答的关键31C【分析】根据题意和题目中的数据，利用平行线的性质和锐角三角函数，可以表示出和，然后即可得到的长【详解】解：作于点D，如图，米，解得米，米，米，故选：C【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是作出合适的辅助线，
34、利用数形结合的思想解答32B【分析】根据定理先证，得出即可；设，根据勾股定理求出，再求出的值即可；同样利用特殊值法计算得不出相应的关系即可证明结论不正确；根据已知关系先求证是等腰直角三角形，设，根据，则有，解出即可【详解】将沿翻折至，四边形是正方形，四边形是正方形，故正确；设，在中，即，解得，故正确；同理可得，为的中点，过作的高线，即，解得，故错误；，为等腰直角三角形，设，则有，解得，故正确；故选：B【点睛】本题主要考查了图形的翻折，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练利用特殊值法解选择题是解本题的关键33【分析】要求的值，必须把放在直角三角形中，所以想到连
35、接，然后证明是等腰直角三角形即可解答【详解】解：连接，由题意得：，是直角三角形，故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键346【分析】根据，结合勾股定理求出和的长度，过点C作于点M，交于点N，根据相似三角形高的比等于相似比即可进行解答【详解】解：，设，则，根据勾股定理可得：，即，解得：，（舍），过点C作于点M，交于点N，即，解得：，四边形为正方形，即，设正方形边长为y，即，解得：，正方形的边长为6故答案为：6【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理和解直角三角形等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定
36、理和性质定理是解题的关键35#【分析】过点作，设，则根据坡度得出，进而求得，根据，建立方程，解方程即可求解【详解】解：过点作，如图所示，四边形为矩形，设，则山坡坡度为，米，由题意知为等腰直角三角形，解得：，所以点的铅直高度为米故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键36【分析】由是边上的高，可以得到，由得， 求出的长，从而可以得到的长【详解】解：在中，是边上的高， ，解得，故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是由三角函数的定义得到37 150 90【分析】（1）过点B作，垂足为F，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）
37、过点C作，垂足为E，过点C作，垂足为H，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答【详解】解：（1）过点B作，垂足为F，在中， ，点B到水平面的距离为150m；（2）过点C作，垂足为G，过点C作，垂足为H，则，在中，在中，在中，半山观景平台的长度约为故答案为150；90【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键38【分析】延长交水平地面于点D，过点C作于点E，设的延长线与水平地面交于点O，由题意可得，再根据锐角三角函数可求出，又可证，即得出【详解】如图
38、，延长交水平地面于点D，过点C作于点E，设的延长线与水平地面交于点O，结合题意可知，故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用利用数形结合的思想是解题关键3910【分析】根据矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，证明，得到，结合，可求出，设，在中，利用勾股定理列出方程，解之可得【详解】解：在矩形中，由折叠可得：，又，即，设，则，在中，解得：，即，故答案为：10【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理与折叠问题，解题的关键是证明，进一步得到线段之间的关系40(1)(2)【分析】（1）设，解直角三角形得到，再解得到，则，由此得到，解方程即可得到答案；（2）先
39、利用勾股定理得到，解得到，再解，得到，则，即可得到【详解】（1）解：设，在中，在中，解得，；（2）解：如图所示，过点D作于E，由（1）得，在中，在中，【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知相应的锐角三角函数的定义是解题的关键41(1)(2)【分析】（1）延长AB，过点C作，在中，求出、的长，再在中求出（2）过点A，作于点F，则四边形为矩形，求出，在中，求出【详解】（1）如图，延长AB，过点C作，在中，在中，、两点之间的距离为（2）过点A，作于点F，则四边形为矩形，在中，【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形并求解42(1)(2)【分析】（1）过点作于点，根
40、据勾股定理解，求得，再由的值可得为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，则可求；（2）由中线的性质可得，再求出，则可根据正切的定义求【详解】（1）解：过点作于点，在中，在中，为等腰直角三角形，；（2）解：为边上的中线，【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键43旗杆的高度为米【分析】连接交于点，易得：四边形，四边形为矩形，进而得到米，米，解直角三角形求出的长，根据，即可得解【详解】解：连接交于点，由题意，可知：，四边形为矩形，米，四边形为矩形，米，在中，；在中，；，米，米旗杆的高度为米【点睛】本题考查解直角三角形的应用添辅助线，构造三角形，是解题的关键44此时观测点A到发射塔的水平距离为32.1米【分析】设此时观测点A到发射塔的水平距离为米，在中根据得到，之后在中根据得到，根据进而得到答案【详解】解：设此时观测点A到发射塔的水平距离为米由题意，得在中，在中，即；（米）答：此时观测点A到发射塔的水平距离为32.1米【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形的方法是解题的关键45的长约为【分析】如图所示，延长交于E，先解求出，再解，求出，最后解在求出的长即可得到答案【详解】解：如图所示，延长交于E，在中，的坡度，在中，在中，的长约为
