1、第31章曼海姆定理曼海姆定理一圆切的两边、及外接圆于点，则必通过的内心（还可证内心为的中点）证法l如图，设已知圆与的外接圆的圆心分别为，的中点为，则，三点共线设直线交于点，注意到、共线，记过点的直径的另一端点为，则由相交弦定理，有由，有注意到，得作的直径，由，有由、，并注意，知又为弧的中点，于是，知为的内心，且在上证法2如图，设过点，的圆交直线于点，交直线于点，则由（为与的交点），知设直线交于点，则知为的中点（读者可自证或参见下面的证法4）同理，知为的中点，从而的内心为与的交点又由，知由，知于是，知与位似，且为位似中心故在直线上证法3同证法1所设，延长交于点，则平分及弧设，分别为，的半径此时，
2、点关于的幂为，且，则设交于，则于是，由三角形内心的判定知为的内心且在直线上证法4如图，设直线交的外接圆于点，联结，则点平分（也可这样证：过点作公切线，由，有)设直线交的外接圆于点，同理，知平分在圆内接六边形中，应用帕斯卡定理，知三双对边与的交点，与的交点，与的交点三点共线，而为为内心，则知内心在上（若注意到，的平分线交于其中点，即知为中点）下面给出定理的应用实例例l（数学通报数学问题1163）已知与内切于点，上的任意一点，弦，切于，弦过且交于，交于求证：证明如图31-2，联结，由曼海姆定理，知为的内心，从而由，知亦有从而故例2（2003年土耳其数学奥林匹克题）已知一个圆与的边，相切，也和的外接
3、圆相切于点若是的内心，证明：证明当时，结论显然成立，不妨设如图，过点作公切线，设已知圆圆心为，它与边，分别切于点，由曼海姆定理，知在上，且为中点显然，三点共线，联结，则，且从而，即有注意：到故例3（2004年中国国家集训队培训题）设与的外接圆内切并与边、相切的圆为，记为圆的半径，类似地定义，是的内切圆的半径，证明：证明如图，设圆上与，分别切于点，由曼海姆定理知的内心在上，即的中点为其内心设的圆心为，则同理，同理，注意到，即因此，故例4（2006年亚太地区数学奥林匹克题）从上任取，两点，为线段的中点，与相切于点且与相切过点作不同于的的切线，点是与的不同于点的交点，设的的中点，与相切于点且与线段相
4、切求证：与相切证明如图，设，分别与直线（即弦）相切于点，则由曼海姆定理知的中点为的内切圆圆心，从而点在的平分线上延长交于于点，则为优孤的中点令与内切于点，由圆与圆相切的性质5知，、共线，从而知为优弧的中点设与交于点，联结，由，知于是有联结、，由，知，即有，以及于是，有由知，即知为线段的中点从而，以为圆心，为半径的圆过点，且即切于点故知与重合，即与内切于点下面再看定理的演变及应用例5(试题)在中，边，有一个圆内切于的外接圆，并且与，分别相切于，求证：，两点连线的中点是的内切圆圆心显然，这是曼海姆定理的特殊情形该定理的4种证明都可移过来证明该题，下面，另给一种特殊证法证明如图，设已知圆与的外接圆内
5、切于点，交于点，交于点显然，在直线上，且为的中点考虑以为中心的位似变换，以为圆心的圆经过位似变换后变为的内切圆因此，只需证明的像是即可，亦即证即可事实上，这由即得若考虑定理的逆命题，则有例6（1992年台湾地区数学奥林匹克题）如图，设是的内心，过作的垂线分别交边，于点、求证：分别与、相切于点，的圆必与的外接圆圆相切证明延长交圆于，设圆的半径为，则点对圆的幂为于是， 因为，所以从而，因此，圆与圆相切下面，考虑定理的推广，则有例7如图，设为的边上一点，一圆切的边，分别于，点，又与的外接圆内切于点，则必通过的内心显然，当与重合时，此例即为曼海姆定理证明设直线，分别交的外接圆于，过作公切线，如图6由，
6、知联结，分别交已知小圆于，亦可证，即知，从而推知为的中点亦即平分设直线交于点由，知从而，由，知，四点共圆设直线交圆于，则，于是，注意到可证得平分，有，由弦切角定理的逆定理，知与相切于是，由，知由内心的判定结论知为的内心，且在上故必通过的内心（为上一点时，同样可证结论成立）例8（2007年中国国家集训队测试题）凸四边形内接于圆，与边相交的一个圆与圆内切，且分别与，相切于点，求证：的内心与的内心皆在直线上证明如图，设与交于点对而言，在上，已知圆与，分别切于点，由例6的结论，知的内心必在直线上同理，的内心必在直线上注：在图中，设两圆内切于点，直线，分别交圆于，点，则可推证，分别为弧，的中点，且可推证
7、（可参见例7的证明）若利用这个结论，再去掉内部的小圆，则得到如下竞赛题：例9（2011年中国数学奥林匹克题）如图，设是锐角外接圆上弧的中点，点在弧上，是弧的中点，是弧上一点直线交交于点，与交于点证明：若，则的内心在直线上证明如图，过点作圆的切线由，知，由弦切角定理的逆定理，知过、三点的圆与直线相切于点亦即该圆与圆内切于点过点作圆的切线，因为弧的中点，知注意到，有由弦切角定理的逆定理，知过，三点的圆与直线相切于点同理，过，三点的圆与直线相切于点联结，则图变成了图的情形，于是由例8的结论知本题结论成立例10（例2的推广）如图，已知与内切（在的内部）于点，点，在上分居两侧，过，分别作的切线（与在直线
8、异侧）交于点若的内心为， 则证明如图，设，分别与切于点，与直线，的另一交点分别为，直线，分别与交于点，联结，分别与交于点，则由例7的证法及结论，知为的内心，为的内心过点作公切线，则，于是，知，四点共圆注意到，分别平分，知、三线共点于，且，即有，四点共圆于是，五点共圆同理，五点共圆故例11(塞巴尔特定理）设是的边上任意一点，是的内心，与，均相切，同时与的外接圆相切；与，均相切，同时与的外接圆相切，则，三点共线证明如图，设与，分别切于点，与，分别切于点，由例6的结论，知直线与的交点即为的内心注意到，则知从而，知为的直径又为的直径，所以点对与的幂相等因而点在与的根轴上同理，点也在与的根轴上因此，直线
9、即为与的根轴故点在这两圆的根轴上，亦即，三点共线练习题三十一1（2008年四川省竞赛题）已知与的边，分别相切于和，与的外接圆内切于点，是的中点，求证：2与的边，分别切于点，又与的外接圆内切于点，不含点的弧，的中点分别为，设的外接圆与的外接圆的第二个交点为，求证：四边形为平行四边形给出本章如下例题的另证3（2006年第18届亚太地区数学奥林匹克题）从上任取，两点，为线段的中点，与相切于点且与相切，过点作不同于的的切线，点是与的不同于点的交点设是的中点，与相切于点且与线段相切，求证：与相切4设为的边上一点，一圆切的两边，于点，又知的外接圆内切于点，则必通过的内心5（2007年国家集训队测试题）凸四边形内接于圆，与边相交的一个圆与圆内切，且分别与，相切于点，求证：的内心与的内心皆在直线上6（2011年中国数学奥林匹克题）设是锐角外接圆上弧的中点，点在弧上，是弧的中点，是弧上一点，直线与交于点，与交于点证明：若，则的内心在直线上