1、尚义一中20202021学年第一学期高二年级期中考试试卷数 学 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，全卷满分150 分，考试时间120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用0.5mm黑色签字笔在答题卡相应栏内填写自己的班级、姓名、考场、准考证号，并用2B铅笔将考试科目、准考证号涂写在答题卡上。2II卷内容须用0.5mm黑色签字笔写在答题卡相应空格或区域内。3考试结束，将答题卡交回。第I卷（选择题，共60分）一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分每小题选出答案后，请填在答题卡上）1. 直线的倾斜角为()A. B. C. D. 2. 若点到直线的距离为，则直线的方程为
2、()A. B. C. 或D. 或3. 已知,则与的夹角为( )A. B. C. D. 4. 设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围（ ）A. B. C. D. 5. 已知,(其中，是两两垂直的单位向量)，则与的数量积等于( )A. B. C. D. 6. 以下四组向量: ,其中,为直线,的方向向量,则它们互相平行的是( )A. .B. C. D. 7. 直线关于直线对称的直线方程是( )A. B. C. D. 8. 已知,是夹角为的两个单位向量,则与的夹角是( )A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9. 已知向量,则下列结论正确的是( )A. B. C. D.
3、 10. 如果,且,那么直线通过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限11. 一条直线和平面所成角为,那么的正弦值可能是( )A. B. C. D. 12. 如图,空间四边形中,分别是的中点,下列结论正确的是( )A. B. 平面C. 平面D. 是一对相交直线第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分，每小题做出答案后，请写在答题卡上）13. 已知，点在轴上，则当点坐标为_时，.14. 已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面ABCD是直角梯形，A为直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，则异面直线BC1与DC所成角的余弦值
4、为_.15. 若实数满足关系，则式子的最小值为_.16. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，点在上，且，则的长为_四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 根据下列条件求直线的方程： （1）过点，且在两坐标轴上的截距之和为； （2）过点，且在两坐标轴上的截距之差为； （3）过点，且在两坐标轴上的截距相等.18. 如图所示,在长方体中,为线段上一点.(1)求证:; (2)当为线段的中点时,求点到平面的距离.19. 如下图，在平行四边形中，点，过点作于点 (1)求所在直线的方程；(2)求点坐标20. 直棱柱
5、中，底面是直角梯形，若为的中点，求证：平面，且平面21. 在长方体中，是的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题： （1）求直线与所成的角的余弦值； （2）作于，求点到点的距离.22. （2018全国II理）如图,在三棱锥中,为的中点. (1)证明:平面; (2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值.附试题答案第1题： 【答案】B【解析】，倾斜角为. 第2题： 【答案】C【解析】由，化简得，所以或，所以，直线的方程为或 第3题： 【答案】C【解析】由题意可知,设,则,. 第4题： 【答案】D【解析】直线的倾斜角为，则，由，即，.故选D. 第5题： 【答案】A【解析】设则. 第
6、6题： 【答案】D【解析】,.,.,.,. 第7题： 【答案】D【解析】根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线处,故选D. 第8题： 【答案】B【解析】, , 第9题： 【答案】B,C【解析】, ,. ,. 第10题： 【答案】A,B,D【解析】由已知得直线在轴上的截距,在轴上的截距,故直线经过第一、二、四象限,所以不经过第三象限. 第11题： 【答案】A,B,C【解析】直线与平面所成的角范围是,由线面角的定义知的正弦值取值范围是,所以A、B、C正确. 第12题： 【答案】B,C【解析】点平面,点直线,点平面,点平面,则是异面直线,是异面直线,答案A、D
7、错,由直线与平面平行的判定定理可得平面,答案B对,由直线与平面平行的判定定理可得平面,答案C对. 第13题： 【答案】【解析】设点，因为， 所以直线的斜率存在 则由知，所以，解得. 第14题： 【答案】【解析】以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)， ，, . 异面直线DC与BC1所成的角的余弦值为. 第15题： 【答案】【解析】解法一： ，上式可看成是一个动点到一个定点的距离的平方. 从而即为点与直线上任意一点的距离.的最小值应为点到直线的距离， 即. 解法二：
8、，. ，时，. 第16题： 【答案】【解析】以为原点，建立如图空间直角坐标系因为正方体棱长为，所以由于为的中点，取中点，所以因为，所以为的四等分点，从而为的中点，故根据空间两点间的距离公式，可得. 第17题： 【答案】（1）（2）或（3）或【解析】（1）在轴上的截距为，所以在轴上的截距为，利用截距式可得方程为. （2）在轴上的截距为，所以在轴上的截距为或，利用截距式可得方程为或. （3）若直线在坐标轴上的截距不为零（或者说直线不过原点），则可设直线方程为，由已知过点，即，解得，的方程为，即；若直线在两坐标轴上的截距为零（或者说直线过原点），则可设直线的方程为，代入点的坐标，得.的方程为，即，所
9、求直线的方程为或. 第18题： 【答案】见解析【解析】(1)证明:连接,因为是长方体,且, 所以四边形是正方形,所以, 因为在长方体中,平面,平面, 所以, 因为平面,平面, 且, 所以平面, 因为平面,所以.(2)点到平面的距离,的面积, 所以, 在中,所以,同理. 又,所以的面积. 设三棱锥的高为,则因为,所以, 所以,解得,即三棱锥的高为. 所以点到平面的距离为. 第19题： 【答案】(1);(2)【解析】（1）由题意可得直线的斜率为，的斜率为，的方程为：， 化为一般式可得； （2）由题意可得，直线的斜率与的斜率相等，的方程为：，联立方程，解得， 第20题： 【答案】略【解析】为的中点，连接，, 所以, 因为，得到平行四边形， 所以， 因为面，面，面, 所以平面,平面 第21题： 【答案】（1）； （2）.【解析】（1)由题意得，. ， ， 与所成的角的余弦值为. （2）由题意得， ，设， ， 解得， . 第22题： 【答案】(1)见解析 (2)【解析】(1)因为,为的中点,所以,且.连接,因为,所以为等腰直角三角形,且,.由知.由,知平面. (2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系. 由已知得,.取平面的法向量.设(),则.设平面的法向量为,由,得,可取,所以.由已知可得,所以,解得或(舍去),所以.又,所以,所以与平面所成角的正弦值为.
