1、24.6-24.7平面向量的线性运算一、单选题1已知非零向量，则下列说法正确的是（ ）A，则B，则C，则D以上说法都不正确【答案】A【分析】由向量的等式关系，可得到两个向量的方向相同，从而得到答案【解析】，则与方向相同，即，故选项A正确，选项B错误；，无法判断和的方向，故选项C错误；选项A正确，故选项D错误故选：A【点睛】本题考察了向量的知识；求解的关键是熟练掌握向量的性质，从而完成求解2与的长度与方向的关系是（ ）A长度相等，方向相同B长度相等，方向相反C长度不等，方向相同D长度不等，方向相反【答案】A【分析】根据向量的线性运算解题即可.【解析】与相等向量长度相等，方向相同故选：A【点睛】本
2、题考查向量的线性运算，其中涉及向量的长度和方向，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.3下列说法错误的是（ ）A如果，那么A与B重合B若，则B是OA的中点C若，则 若DB是OA的中点则 【答案】C【分析】根据共线向量的倍数关系和方向判断即可【解析】因为=且方向相同，所以A与B重合，此选项正确；B、因为且方向相同，所以B是OA的中点，此选项正确，C、因为，但方向不明确，所以或，此选项错误；D、因为B是OA的中点，所以，此选项正确，符合题意的选项是C，故选：C【点睛】本题考查共线向量的表示，熟练掌握共线向量的表示，注意两个共线向量的方向是解答的关键4对于非零向量与，下列命题是假命题的是（ ）A若，则
3、B若，则C若，则D若，则【答案】B【分析】根据向量的概念可得出正确答案【解析】解：根据向量的概念，知：A、C、D正确；B、两个向量的长度相等，但两个向量不一定方向相等，故错误故选：B【点睛】本题考查了向量的概念，熟练掌握理解向量的概念是解题的关键5以下说法错误的是（ ）A零向量与任一非零向量平行B零向量与单位向量的模不相等C平行向量方向相同D平行向量一定是共线向量【答案】C【分析】A根据平行向量定义解题；B根据单位向量定义解题；C根据平行向量定义解题；D根据平行向量定义解题【解析】A.零向量与任一非零向量平行，故A.正确；B. 零向量与单位向量的模不相等, 故B.正确；C. 平行向量方向相同，
4、平行向量方向可能相同也可能相反，故C错误.；D. 平行向量一定是共线向量，满足向量共线与平行的定义，故D.正确，故选C【点睛】本题考查单位向量、平行向量与共线向量等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键6如果，而且，那么与是（ ）A与是相等向量；B与是平行向量；C与方向相同，长度不同；D与方向相反，长度相同【答案】B【分析】首先根据二元一次方程组的求解方法，可以得到，又由向量的意义，可得与方向相反，长度不同，是平行向量【解析】，与方向相反，长度不同，是平行向量故选：B【点睛】本题考查了向量的知识解题的关键是对向量知识的理解7在中，与相交于点，那么等于（ ）ABCD【答案】D【分析】由四边形A
5、BCD是平行四边形，可得，又由，即可求得的值【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，OB=OD=BD，=故选：D【点睛】此题考查了向量的知识解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的8下面四个命题中正确的命题个数为（ ）对于实数和向量、，恒有对于实数、和向量 ，恒有若（是实数）时，则有若（、是实数，），则有A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】根据平面向量的性质依次判断即可.【解析】对于实数和向量、，恒有，正确；对于实数、和向量 ，恒有，正确；若（是实数）时，则有，错误，当m=0时不成立；若（、是实数，），则有，正确；故选C.【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基
6、本性质是解决本题的关键9在平行四边形中，与交于点，若设，则下列选项与相等的向量是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可.【解析】解:在平行四边形中, ，,M分别为AC、BD的中点,，故A不符合题意；，故B不符合题意；，故C不符合题意；，故D符合题意.故选D.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.10如图，在ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，那么向量用向量、表示为（）ABCD【答案】A【分析】利用三角形法则求出，再根据三角
7、形中心的性质解决问题即可【解析】解：，AD，BE是ABC的中线，G是ABC的重心，BGBE，故选A【点睛】本题主要考查了平面向量计算的三角形法则及三角形重心的知识，解题的关键是熟练掌握这些基本知识二、填空题11计算_【答案】【分析】根据实数与向量相乘法则依次计算即可.【解析】解：原式=，故答案为.【点睛】本题是对实数与向量相乘的考查，熟练掌握实数与向量相乘法则是解决本题的关键.12化简：（1）_（2）_（3）_【答案】 【分析】（1）根据向量的运算法则进行计算，即可求出答案（2）根据向量的运算法则进行计算，即可求出答案（3）根据向量的运算法则进行计算，即可求出答案【解析】解：（1）；（2）；（
8、3）；故答案为：；【点睛】本题考查了向量的运算法则，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则进行计算13如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E、F分别是OA、OD的中点，如果=，=，那么=_【答案】【分析】根据平行四边形法则表示出，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可【解析】解：由向量的平行四边形法则得，所以，点E、F分别是OA、OD的中点，EFAD且EF=AD，EFBC且EF=BC，故答案为： 【点评】本题考查了平面向量，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的关键，要注意方向14如图，D、E是
9、ABC边AB、AC上的两点，AD：DB=2：1，DEBC，记=，=，那么=_（用，表示）【答案】【分析】由=，=，利用三角形法则即可求得，然后由AD：DB=2：1，DEBC，根据平行线分线段成比例定理，可求得，继而求得答案【解析】解：=，=， ，DEBC，DE：BC=AD：AB，AD：DB=2：1，DE：BC=2：3，故答案为：【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行线分线段成比例定理，注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键15如图，在中，点D是边BC的中点，设 ， ，用、的线性组合表示是 _【答案】【分析】先根据向量运算求出，再根据线段中点的定义可得，然后根据向量运算即可得【解析】，点D是边
10、BC的中点，故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算，掌握向量的运算法则是解题关键16已知平行四边形中，点、分别是边、的中点，那么关于、的分解式是_.【答案】【分析】首先由点M、N分别是边DC、BC的中点，可以得到MN=BD，又由 ，代入数值即可求得结果【解析】解：如图：连接BD，点M、N分别是边DC、BC的中点，MN=BD，即 ，又，故答案为：【点睛】此题考查向量的知识注意向量是有方向的17如图，在中，点在边上， ，设， ，那么_ （用向量，的式子表示）【答案】【分析】根据AA，ACDB，可证，则有，可得AB3，BD1，可求得，然后根据 求解即可【解析】解：AA，ACDB，AB3，BD1， ，
11、 故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平面向量等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键18如图，在梯形ABCD中，ABCD，C=90，BC=CD=4，AD=2 ，若，用、表示=_【答案】【分析】过点A作AEDC，利用向量知识解题.【解析】解：过点A作AEDC于E，AEDC，BCDC，AEBC，又ABCD，四边形AECB是矩形，ABEC，AEBC4，DE=2，AB=EC=2=DC，故答案为.【点睛】向量知识只有使用沪教版(上海)教材的学生才学过，全国绝大部分地区将向量放在高中阶段学习.19如图，在口ABCD中，点F是AB的中点，点E在BC上，且BC3BE，设，那么将下列向量表示、的分
12、解式：（1）_；（2）_；（3）_；（4）_【答案】 【分析】先利用平行四边形的性质求出各边之间的关系，再利用向量混合运算法则一一求出即可.【解析】由平行四边形ABCD可知：AD=BC，OC=AC，因为点F是AB的中点，BC=3BE，所以BA=2BF，BC=3BE.(1) ；(2) ；(3) ；(4) ， .【点睛】本题考查向量的混合运算及其几何意义，是基础题解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用20如图，梯形中，、分别是、上的点，且，若，则向量可用、表示为_【答案】【分析】过点A作交EF于点G，交BC于H，可得AD=GF=CH，然后用BH表示出CH，再求出，根据相似三角形对应边成比例可
13、得，再用BH表示出EG、EF，根据向量的三角形法则求出BH，即可得解【解析】解：如图，过点A作交EF于点G，交BC于H四边形ADFG、GFCH、ADCH均为平行四边形，若，则故答案为：【点睛】本题考查了平面向量、梯形、平行四边形与相似三角形相结合，关键在于作平行线表示出BH，熟记向量的平行四边形法则和三角形法则是解题的关键三、解答题21计算： 【答案】【分析】根据向量的计算法则与实数运算基本相同，先去括号，再合并同类项即可解答【解析】【点睛】本题考查了向量的运算，熟练掌握向量的运算法则是解答的关键22如图，是以点O为起点的两个非零向量，且，在图中作，并求的模长【答案】作图见解析；的模长为3【分
14、析】如图1：过点A作=，连接OC，则即为所求；如图2，作=，过点A作=，连接DC，则即为所求；首先连接AB，由，易得OAB是等边三角形，OAC是等腰三角形，然后由三角函数的性质，求得答案【解析】解：如图1：过点A作=，连接OC，则=，即为所求；如图2，作=，过点A作=，连接DC，则=，即为所求；连接AB，则=，OA=OB=AB=，AOB=60，ACOB，AC=OB，C=COB，OA=OB，OA=OC，C=AOC，AOC=COB=AOB=30，ODAB，OD=OAcosAOD=，CD=ACcosC=，OC=3，的模长为3【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量等知识，解题的关键是理解向量的定义以及
15、向量和差定义，属于中考常考题型23如图，在平行四边形ABCD中，点M是CD中点，BM与AC相交于N，如果，求的值，并试用表示【答案】；【分析】根据平行线分线段成比例定理，已经三角形法则即可解决问题；【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，CDAB，CD=AB，DM=CM，AB=2CM，MN=MB，【点睛】本题考查平面向量、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型24如图，已知平行四边形ABCD，=，=（1）=；（用，的式子表示）（2）=；（用，的式子表示）（3）若ACBD，|=4，|=6，则|+|=【答案】（1）+；（2）+；（3）2【分析
16、】（1）（2）根据平面向量的加法法则计算即可解决问题；（3）利用勾股定理计算即可；【解析】解：（1）=+；（2）=+；（3）ACBD，|=4，|=6，|+|=故答案为（1）+；（2）+；（3）2【点睛】本题考查平行四边形的性质平面向量的加法法则等知识，解题的关键是熟练掌握三角形加法法则，属于中考常考题型25如图，已知点M、N分别是ABCD的边CD、BC上的中点 设，求向量、关于、的分解式 【答案】；【分析】根据三角形法则求出即可解决问题【解析】解析：M、N分别是ABCD的边CD、BC上的中点MNDB，MN=【点睛】本题考查平面向量、平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则解决问题，
17、学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题26如图，O为ABC内一点，点D、E分别在AB、AC上，且；若，求：用向量，表示【答案】【分析】根据三角形法则和平行线分线段成比例来求【解析】解：DEBC；【点睛】此题考查了平面向量的知识此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用27如图已知点M是ABC边BC上一点，设=，=（1）当=2时，=；（用与表示） （2）当=m（m0）时，=；（用、与m表示）（3）当=+时，=【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由=，=，根据三角形法则即可求得，又由=2，即可求得的值，继而求得答案；（2）由=，=，根据三角形法则即可求得，又由
18、=m，即可求得的值，继而求得答案；（3）根据（2）的结论，可得，继而求得m的值【解析】解：（1）=，=，=，=2，=（）=，=+=+（）=（2）=，=，=，=m，=（）=，=+=+（）=+；（3）=+，解得：m=，=故答案为：（1）；（2）；（3）【点评】此题考查了平面向量的知识此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用28已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，点E是边BC的中点，AE、BD相交于点F，过点F作FGBC，交边DC于点G（1）求FG的长；（2）设，用、的线性组合表示【答案】（1）；（2）见解析. 【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例，可得成比例的关系式，进而可求出FG的长；（2）根据比例关系和线性向量可代入可求解.【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，AD=BC=2，ADBC，BE=EC，FGBC，FG=BC=（2） BEAD，AF：AE=DF：DB=2：3，
