1、专题24.6 圆内接四边形【六大题型】【沪科版】【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】1【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】5【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】9【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】13【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】16【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】20【知识点1 圆内接四边形】圆的内接四边形对角互补四边形是的内接四边形 【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】【例1】（2022自贡）如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，ABD20，则BCD的度数是（）A90B100C110D120【分析】方法一：根据圆周
2、角定理可以得到AOD的度数，再根据三角形内角和可以求得OAD的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到BCD的度数方法二：根据AB是O的直径，可以得到ADB90，再根据ABD20和三角形内角和，可以得到A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到BCD的度数【解答】解：方法一：连接OD，如图所示，ABD20，AOD40，OAOD，OADODA，OAD+ODA+AOD180，OADODA70，四边形ABCD是圆内接四边形，OAD+BCD180，BCD110，故选：C方法二：AB是O的直径，ADB90，ABD20，A70，四边形ABCD是圆内接四边形，A+BCD180，BCD110，故选：
3、C【变式1-1】（2022云州区一模）如图，四边形ABCD内接于O，连接OB，OD当四边形OBCD是菱形时，则OBA+ODA的度数是（）A65B60C55D50【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出OBABAO，ODADAO，求出OBA+ODABAD，根据菱形的性质得出BCDBOD，根据圆周角定理得出BOD2BAD，求出BCD2BAD，根号圆内接四边形的性质得出BAD+BCD180，求出BAD，再求出答案即可【解答】解：连接OA，OAOB，OAOD，OBABAO，ODADAO，OBA+ODABAO+DAOBAD，四边形OBCD是菱形，BCDBOD，由圆周角定理得：BOD2BAD，BCD2B
4、AD，四边形ABCD是O的内接四边形，BAD+BCD180，3BAD180，BAD60，OBA+ODABAD60，故选：B【变式1-2】（2022蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，BE是O的直径，连接AE若BCD2BAD，若连接OD，则DOE的度数是 60【分析】根据圆内接四边形的性质得出BCD+BAD180，根据BCD2BAD求出BAD60，根据圆周角定理求出BAE90，求出DAE的度数，再根据圆周角定理得出DOE2DAE即可【解答】解：四边形ABCD是O的内接四边形，BCD+BAD180，BCD2BAD，BAD60，BE是O的直径，BAE90，DAEBAEBAD9060
5、30，DOE2DAE60，故答案为：60【变式1-3】（2022秋包河区期末）如图，四边形ABCD内接于O，1+264，3+464【分析】利用圆内接四边形的性质，得出DAC+DCB180，B+D180，推出1+2+3+4+25180，再利用圆周角定理和三角形的内角和定理求出3+4的度数【解答】解：如图，四边形ABCD内接于O，DAB+DCB180，B+D180，又AOC为等腰三角形，5OCA，1+2+3+4+25180，1+264，3+4180642511625，1+2+B180，B+D180，D1+264，O2D128，在等腰三角形AOC中，25180O18012852，3+41165264
6、，故答案为64【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】【例2】（2022碑林区校级四模）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，A45，BC4，CD22，则弦BD的长为（）A25B35C10D210【分析】如图，过点D作DEBC交BC的延长线于E解直角三角形求出CE，ED，再利用勾股定理求出BD即可【解答】解：如图，过点D作DEBC交BC的延长线于EA+BCD180，A45，BCD135，DCE45，E90，CD22，CEED2，BECE+BC6，在RtBED中，E90，BE6，DE2，BD=BE2+DE2=62+22=210，故选：D【变式2-1】（2022延边州二模）如图，四边形A
7、BCD内接于O，过B点作BHAD于点H，若BCD135，AB4，则BH的长度为（）A2B22C32D不能确定【分析】首先根据圆内接四边形的性质求得A的度数，然后根据斜边长求得等腰直角三角形的直角边长即可【解答】解：四边形ABCD内接于O，BCD135，A18014545，BHAD，AB4，BH=AB2=42=22，故选：B【变式2-2】（2022宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，D经过A，B，O，C四点，ACO120，AB4，则圆心点D的坐标是（）A(3，1)B(-3，1)C(-1，3)D(-2，23)【分析】先利用圆内接四边形的性质得到ABO
8、60，再根据圆周角定理得到AB为D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB2，OA=23，所以A（-23，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标【解答】解：四边形ABOC为圆的内接四边形，ABO+ACO180，ABO18012060，AOB90，AB为D的直径，D点为AB的中点，在RtABO中，ABO60，OB=12AB2，OA=3OB=23A（-23，0），B（0，2），D点坐标为（-3，1）故选：B【变式2-3】（2022秋汉川市期中）已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB
9、的长度是 2x+1（用含有x的代数式表示）【分析】延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，由M是弧CAB的中点，可得BDMCDM，又因为MP垂直于弦AB于P，可得BPDEPD90，然后由ASA定理可证DPEDPB，然后由全等三角形的对应角相等，对应边相等可得：BE，PBEP，然后由圆内接四边形的性质可得：ECAB，进而可得：EECA，然后根据等角对等边可得AEAC，进而可得PBPEEA+APAC+AP，然后将ACx，APx+1，代入即可得到PB的长【解答】解：延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，M是弧CAB的中点，BDMCDM，MP垂直于
10、弦AB于P，BPDEPD90，在DPE和DPB中，BPD=EPDPD=PDBDP=EDP，DPEDPB（ASA），BE，PBEP，四边形ABDC是圆内接四边形，ECAB，EECA，AEAC，PBPEEA+APAC+AP，ACx，APx+1，PB2x+1故答案为：2x+1【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】【例3】（2022贺州模拟）如图，四边形ABCD内接于O，ABC：ADC2：1，AB2，点C为BD的中点，延长AB、DC交于点E，且E60，则O的面积是（）AB2C3D4【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质得到ABC120，ADC60，进而得出ADE为等边三角形，证明ABBE，进而求出
11、圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案【解答】解：连接AC，四边形ABCD内接于O，ABC+ADC180，ABC：ADC2：1，ABC120，ADC60，E60，ADE为等边三角形，BCE为等边三角形，ADAE，BCBE，BCAD，点C为BD的中点，DACBAC，ACDE，AD为O的直径，BCAD，DACACB，CABACB，ABBC，ABBE，O的半径为2，O的面积4，故选：D【变式3-1】（2022秋青山区期中）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，AOD+BOC180若AD2，BC6，则BOC的面积为（）A3B6C9D12【分析】延长BO交O于E，连接CE，可得COE+BOC180，B
12、CE90，由AOD+BOC180，AODCOE，推出ADCE2，根据三角形的面积公式可求得BEC的面积为6，由OBOE，可得BOC的面积=12BEC的面积【解答】解：延长BO交O于E，连接CE，则COE+BOC180，BCE90，即CEBC，AOD+BOC180，AODCOE，AD=CE，ADCE2，BC6，BEC的面积为12BCCE=12626，OBOE，BOC的面积=12BEC的面积=1263，故选：A【变式3-2】（2022鹿城区模拟）如图，圆内接四边形ABCD中，BCD90，ABAD，点E在CD的延长线上，且DEBC，连接AE，若AE4，则四边形ABCD的面积为8【分析】如图，连接AC
13、，BD由ABCADE（SAS），推出BACDAE，ACAE4，SABCSADE，推出S四边形ABCDSACE，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接AC，BDBCD90，BD是O的直径，BAD90，ADE+ADC180，ABC+ADC180，ABCADE，ABAD，BCDE，ABCADE（SAS），BACDAE，ACAE4，SABCSADE，CAEBAD90，S四边形ABCDSACE=12448故答案为8【变式3-3】（2022碑林区校级一模）如图，已知AC22，以AC为弦的O上有B、D两点，且BACDAC，则四边形ABCD的面积最大值为4【分析】如图，将ACB绕点C顺时针旋转得到TCDS四
14、边形ABCDSACT，因为ACCT22，所以当ACCT时，SACT的面积最大【解答】解：如图，将ACB绕点C顺时针旋转得到TCDB+ADC180，BCDT，ADC+CDT180，S四边形ABCDSACT，ACCT22，当ACCT时，SACT的面积最大，最大值=122222=4故答案为：4【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】【例4】（2022银川模拟）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（）A14B1+2+3+5180C47DADC2+5【分析】根据圆周角定理，三角形内角和定理进行判断即可【解答】解：1，4所对的弧
15、都是弧CD，14，2，7所对的弧都是弧BC，27，5，8所对的弧都是弧AB58，1+2+3+8180，ADC8+7，1+2+3+5180，ADC2+5，故A，B，D都正确，BC和DC不一定相等，BC与DC不一定相等，4与7不一定相等，故C错误，故选：C【变式4-1】（2022秋西湖区校级期中）若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（）AA：B：C：D1：2：3：4BA：B：C：D2：3：1：4CA：B：C：D3：1：2：4DA：B：C：D4：3：2：1【分析】利用圆内接四边形的对角互补判断即可【解答】解：四边形ABCD内接于O，A+C180B+D，故选：C【变式4-2】（202
16、2南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于O，点D在AC的延长线上，CE平分BCD交O于点E，则下列结论中一定正确的是（）AABAEBABBECAEBEDABAC【分析】只要证明ECBBAE，ECDABE，再根据角平分线定义即可解决问题【解答】解：连接ECEC平分BCD，ECBECD，ECBBAE，ECDABE，BAEABE，EAEB故选：C【变式4-3】（2022碑林区校级模拟）如图，A，P，B，C是O上的四个点，APCCPB60，CP交AB于点E（1）判断ABC的形状，证明你的结论；（2）若P是AB的中点，求证：PCPA+PB；若点P在AB上移动，判断PCPA+PB是否成立，证明你的结论
17、【分析】（1）根据圆周角定理得到ABCCPB60，BACCPB60，根据等边三角形的判定定理证明；（2）在PC上截取PHPA，得到APH为等边三角形，证明APBAHC，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可【解答】（1）解：ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，ABCCPB60，BACCPB60，ABC是等边三角形；（2）P是AB的中点，PB=PA，PAPB，CACB，PC垂直平分线段AB，PC是直径，PACPBC90，PCAPCB30，PC2PA2PB，PA+PBPCPCPA+PB成立；证明：在PC上截取PHPA，APC60，APH为等边三角形，APAH，AHP60，在APB和AHC
18、中，APE=ACHAPB=AHC=120AP=AH，APBAHC（AAS）PBHC，PCPH+HCPA+PB【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】【例5】（2022思明区校级一模）已知四边形ABCD内接于O，D90，P为CD上一动点（不与点C，D重合）（1）若BPC30，BC3，求O的半径；（2）若A90，AD=AB，求证：PBPD=2PC【分析】（1）连接AC，得到AC是O的直径，解直角三角形即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质得到四边形ABCD为矩形推出矩形ABCD为正方形，根据全等三角形的性质得到PCCE，得到CPE为等腰直角三角形，即可得到结论【解答】解：（1）连接AC，D9
19、0，AC是O的直径，BACP30，AC2BC6，所以圆O的半径为3；（2）A90，C90，AC为圆O直径，DB90，四边形ABCD为矩形AD=AB，ABAD，矩形ABCD为正方形，在BP上截取BEDP，BCEDPC，PCCE，CPE为等腰直角三角形，PE=2PC，PBPD+2PC【变式5-1】（2022秋陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角如图1，E是ABC中A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E求证：BEC是ABC中BAC
20、的遥望角【分析】延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到FDC+FBC180，得到ABFFBC，根据圆周角定理得到ACDBFD，进而得到ACDDCT，根据遥望角的定义证明结论【解答】证明：如图2，延长BC到点T，四边形FBCD内接于O，FDC+FBC180，FDE+FDC180，FDEFBC，DF平分ADE，ADFFDE，ADFABF，ABFFBC，BE是ABC的平分线，AD=BD，ACDBFD，BFD+BCD180，DCT+BCD180，DCTBFD，ACDDCT，CE是ABC的外角平分线，BEC是ABC中BAC的遥望角【变式5-2】（2022龙岩模拟）如图，四边形ABCD内接于O，AC平
21、分BAD，延长DC交AB的延长线于点E（1）若ADC86，求CBE的度数；（2）若ACEC，求证：ADBE【分析】（1）根据圆内接四边形的性质计算即可；（2）证明ADCEBC即可【解答】（1）解：四边形ABCD内接于O，ADC+ABC180，又ADC86，ABC94，CBE1809486；（2）证明：ACEC，ECAE，AC平分BAD，DACCAB，DACE，四边形ABCD内接于O，ADC+ABC180，又CBE+ABC180，ADCCBE，在ADC和EBC中，ADC=EBCDAC=EAC=EC，ADCEBC，ADBE【变式5-3】（2022天津）如图，O和O都经过A、B两点，过B作直线交O于
22、C，交O于D，G为圆外一点，GC交O于E，GD交O于F求证：EAF+G180【分析】连接AB，根据圆内接四边形的性质可知GEAABC，GFAABD，再由ABC+ABD180，可得出GEA+GFA180，由四边形AEGF的内角和为360即可得出结论【解答】证明：连接AB四边形ABCE与四边形ABDE均为圆内接四边形，GEAABC，GFAABD，ABC+ABD180，GEA+GFA180四边形AEGF的内角和为360，EAF+G180【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】【例6】（2022春涟水县校级期末）如图1，已知ABC，ABAC，以边AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，
23、连接DE（1）求证：DEDC（2）如图2，连接OE，将EDC绕点D逆时针旋转，使EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G试探究线段DF、DG的数量关系【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得到DECB，然后利用等角对等边得到结论（2）利用旋转的性质及圆内接四边形的性质证得EDFCDG后即可得到结论【解答】（1）证明：四边形ABDE内接于O，B+AED180DEC+AED180DECBABACCBDECCDEDC（2）证明：四边形ABDE内接于O，A+BDE180EDC+BDE180AEDC，OAOEAOEA，OEACEFACEFEDCCEF，EDC+DEC+DCE180CEF+D
24、EC+DCE180即DEF+DCE180，又DCG+DCE180DEFDCG，EDC旋转得到FDGEDCFDGEDCFDCFDGFDC即EDFCDG，DEDCEDFCDG（ASA），DFDG【变式6-1】（2022赤峰）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，ABAC（1）若BAC40，求ADC的度数；（2）若BDAC交AC于点E，请判断BAC 和DAC之间的数量关系，并证明【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得ACBABC70，再根据圆内接四边形的性质可求解；（2）由可得直角三角形的性质ABE90BAC，ACB90CBE，结合圆周角定理可求解【解答】解：（1）ABAC，ACB
25、ABC，ACB+ABC+BAC180，BAC40，ACBABC70，ADC+ABC180，ADC110；（2）BAC2DAC证明：BDAC，AEBCEB90，BAC+ABE90，ACB+CBE90，ABE90BAC，ACB90CBE，ABCACB，ABE+CBEABC，90BAC+CBE90CBE，BAC2CBE，BAC2DAC【变式6-2】（2022秋香洲区校级期中）画A，在A的两边分别取点B，点C，在A的内部取一点P，连接PB，PC探索BPC与A，B，C之间的数量关系，并证明你的结论【分析】先过点A、B、C作O，分类讨论：当点P在O上，根据圆内接四边形的性质得BPC+AB+C180；当点P
26、在O内，即P点落在P1的位置，根据三角形外角性质易得BPCA+B+C；当点P在O内，即P点落在P2的位置，则根据四边形的内角和得到BPC+A+B+C360【解答】解：过点A、B、C作O，如图，当点P在O上，则BPC+AB+C180；当点P在O内，即P点落在P1的位置，则BPCA+B+C；当点P在O内，即P点落在P2的位置，则BPC+A+B+C360【变式6-3】（2022阜宁县二模）我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边形对角互补下面我们进一步研究（1）在图（1）中ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角请你探究DCE与A的关系并说明理由（2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD，AD 延长线上的点如果DE平分FDC求证：ABAC【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义证明结论；（2）根据圆内接四边形的性质和圆周角定理证明ABCACB，根据等角对等边得到答案【解答】解：（1）DCEA，A+DCB180，DCE+DCB180，DCEA；（2）已知ABCD是圆内接四边形，ABC2，ADBACB，ADB1，ACB1，DE平分FDC，12，ABCACB，ABAC
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