1、共 42 页1第二讲 证明不等式的基本方法共 42 页2回归课本共 42 页31.比较法(1)比差法的依据是:a-b0ab.步骤是:作差变形判断差的符号.变形是手段,变形的目的是判断差的符号,常用的变形方法有:配方法通分因式分解等,变形到可判断符号为止.(2)比商法:若B0,欲证AB,只需证1,其步骤是:作商变形判断商值与1的大小.AB共 42 页42.直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法(1)综合法定义:利用已知条件和某些数学定义公理定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.框图表示:共 42 页5(2)分析法定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,
2、直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件定理定义公理等)为止.框图表示:共 42 页63.反证法的证明步骤第一步 作出与所证不等式相反的假设;第二步 从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立.在证明不等式时,有时我们要把所证不等式的一边适当地放大(或缩小)以利化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证不等式成立,这种方法称为放缩法.共 42 页7考点陪练1.已知a0,-1babab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a答案:D共 42 页82.要证明下列证明方法中,最为合理的是()A.综合法B.归纳
3、法C.分析法D.反证法答案:C372 5,共 42 页93.已知a+b+c0,ab+bc+ac0,abc0,用反证法求证a0,b0,c0时的反设为()A.a0,b0,c0,c0C.a、b、c不全是正数D.abc0,a20,an0),当且仅当a1=a2=an时等号成立;柯西不等式:(a1b1+a2b2+anbn)2(a21+a22+a2n)(b21+b22+b2n)(aibiR,i=1,2,n),当且仅当a1=a2=an=0或bi=kai时(k为常数,i=1,2,n)等号成立.这两个不等式是证明其他不等式和求多元函数值的有力工具,使用时要注意等号成立的条件.使用柯西不等式的重要技巧就是通过常数构
4、造使用柯西不等式成立的条件.共 42 页35错源二忽视柯西不等式中等号成立的条件【典例2】已知x0,且满足3x+4y=13,求x2+4y2的最小值.错解 由柯西不等式可知:(32+22)x2+(2y)2(3x+4y)2=169.13(x2+4y)2169.x2+4y213.x2+4y2的最小值为13.共 42 页36剖析 本题错误的原因在于应用柯西不等式解题时忽视了公式中等号成立的条件.事实上等号成立需满足三点:x0;3x+4y=13;32y=2x,即x=3y.解得x=3,显然不满足x0.共 42 页3722222222222in22m23x4y13,2yx4yx2yxx6x13x34x313
5、.x133,213321313130,x0,x4y031444313169.4416x4y9.4xx正解又当时的最小值为共 42 页38技法均值不等式法22221116 3a,b,c,:abca,b,c,.abc【典例】已知均为正数证明并确定为何值时 等号成立共 42 页392313223222232223221113(:a,b,c,abc3 abc,),1119()1113()9(abc)abcabcabcabcabcabcabc解 解法一 因为均为正数 由均值不等式得所以故共 42 页4022332233143()9()2 276 33()9()3,.abc,.,.abc,.abcabcabcabc又所以原不等式成立当且仅当时式和式等号成立当且仅当时 式等号成立即当且仅当时原式等号成立共 42 页41解法二:因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac.所以a2+b2+c2ab+bc+ac共 42 页42222222214222abcabbcac3111111111111.abc,abc,abbcac3,.a336 33bc,.abcabbcacabcbcabac同理故所以原不等式成立当且仅当时式和式等号成立 当且仅当时式等号成立即当且仅当时原式等号成立