1、（全国卷）“超级全能生”2021届高三数学5月联考试题 理（丙卷）（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知集合Ay|y，Bx|y，则AB（）A（0，+）B0，+）C（1，+）D1，+）2复数z满足z（1+i）（1i）2，则z的虚部为（）A2iB2C2D2i3若aln0.4，b0.23，clog23，则a，b，c的大小关系正确的是（）AbacBacbCbcaDabc4随着我国智慧城市建设加速和园区信息化发展趋向成熟，智慧园区建设需求将持续增大，市场规模恢复较高增长态势，未来发展空间广阔下面是20172020年中国智慧园区市场规模统计表，则下列结论错误的是（）年份20172
2、01820192020规模（亿元）1888210122702417A2017年到2020年我国智慧园区市场规模逐年增长B2017年到2020年我国智慧园区市场规模增长率逐年增大C2017年到2020年我国智慧园区市场规模的平均值约为2169亿元D2017年到2020年我国智慧园区市场规模与年份成正相关5数列an满足am+nam+an（m，nN*），a11，a20+a22+a24+a40（）A300B330C630D6006在ABC中，3，D是BE上的点，若x+，则实数x的值为（）ABCD7若过函数f（x）lnx2x图象上一点的切线与直线y2x+1平行，则该切线方程为（）A2xy10B2xy2l
3、n2+10C2xy2ln210D2x+y2ln2108如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）AB4CD89阳春三月，春暖花开，某学校开展“学雷锋践初心向建党百年献礼”志愿活动现有6名男同学和4名女同学，分派到4个“学雷锋志愿服务站”参加志愿活动，若每个志愿服务站至少有男、女同学各1名，共有不同的分配方案数为（）A65B1560C25920D3744010双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，F1PF2，则双曲线的离心率为（）AB2CD311如图，四边形ABCD，A1ADD1，C1CDD1均
4、为正方形动点E在线段A1C1上，F，G，M分别是AD，BE，CD的中点，则下列选项正确的是（）AGMCEBBM平面CC1FC存在点E，使得平面BEF平面CC1D1DD存在点E，使得平面BEF平面AA1C1C12已知函数f（x）3x+1，且f（a2）+f（3a4）2，则实数a的取值范围是（）A（4，1）B（3，2）C（0，5）D（1，4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若x，y满足约束条件，则z2x+y的最大值为 14设正项等比数列an的前n项和为Sn，且a52a3+8a1，S430，则a6 15已知函数f（x）sin（x+）+在0，m上恰有10个零点，则m的取值范围是 16
5、函数f（x）x2lnx（aR）在内不存在极值点，则a的取值范围是 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知atanB4bsin（B+C）（）求cosB；（）若AB4，BC3，D为AC上一点，且AD2DC，求BD18如图，在圆柱OO1中，CE是圆柱的一条母线，ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，CDAB（）若ADCD，求证：AD平面CEO；（）若CDCEAB1，求直线BE与平面ADE所成角的正弦值19
6、某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示：年份2020年2021年月份9月10月11月12月1月2月月份代码x123456市场占有率y（%）111316152021（）用相关系数说明月度市场占有率y与月份代码x之间的关系是否可用线性回归模型拟合？（）求y关于x的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过30%？（）根据市场供需情况统计，得到该公司产品2020年的平均月产量X（单位：万件）的分布列为X11.2P0.60.42020年的该公司产品的平均市场价格y（单位：万元/件）对应的概率分布为P（Y）假设生产每件产品的每月固定成
7、本为200万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望参考数据：，参考公式：相关系数，回归直线方程为，其中：，20函数f（x）xlogax（a0，a1）（）当a4时，求证：函数g（x）f（x）1有两个零点；（）若ae，求证：af（x）e021已知椭圆C：1（ab0）和圆O：x2+y21C的焦距为，过C的右顶点作圆O的切线，切线长为（）求椭圆C的方程；（）设圆O的切线l与椭圆C交于A，B两点，求OAB面积的最大值（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修4-4：坐标系与参数方程22以坐标原
8、点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22asin+a230，直线l的极坐标方程为（R）（）求曲线C的参数方程，若曲线C过原点O，求实数a的值；（）当a1时，直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|x+1|+|xa|（）当a3时，求不等式f（x）3x+1的解集；（）若f（x）2a3对任意xR恒成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知集合Ay|y，Bx|y，则AB（）A（0，+）B0，+）C（1，+）D1，+）解：因为Ay|y0，+），Bx|y（，11，+），所以AB1，+）故选：D
9、2复数z满足z（1+i）（1i）2，则z的虚部为（）A2iB2C2D2i解：z（1+i）（1i）2（1+i）（12i1）（1+i）（2i）22i，故z的虚部为2，故选：B3若aln0.4，b0.23，clog23，则a，b，c的大小关系正确的是（）AbacBacbCbcaDabc解：aln0.4ln10，b0.230.008，clog23log221，故选：D4随着我国智慧城市建设加速和园区信息化发展趋向成熟，智慧园区建设需求将持续增大，市场规模恢复较高增长态势，未来发展空间广阔下面是20172020年中国智慧园区市场规模统计表，则下列结论错误的是（）年份2017201820192020规模（
10、亿元）1888210122702417A2017年到2020年我国智慧园区市场规模逐年增长B2017年到2020年我国智慧园区市场规模增长率逐年增大C2017年到2020年我国智慧园区市场规模的平均值约为2169亿元D2017年到2020年我国智慧园区市场规模与年份成正相关解：对于A，由表中的数据可以看出，2017年到2020年我国智慧园区市场规模逐年增长，故选项A正确；对于B，2017年到2018年市场规模增长率为，2018年到2019年场规模增长率为，因为8%11.3%，故选项B错误；对于C，2017年到2020年我国智慧园区市场规模的平均值为亿元，故选项C正确；对于D，2017年到202
11、0年我国智慧园区市场规模与随着年份的增大而增大，故两者呈正相关，故选项D正确故选：B5数列an满足am+nam+an（m，nN*），a11，a20+a22+a24+a40（）A300B330C630D600解：数列an满足am+nam+an（m，nN*），当m1时，则an+1an1，数列an是首项为1，公差为1的等差数列，ana1+（n1）d1+n1n，a20+a22+a24+a4020+22+24+40，故选：B6在ABC中，3，D是BE上的点，若x+，则实数x的值为（）ABCD解：3，x+，x+x+，B，D，E三点共线，x+1，x故选：D7若过函数f（x）lnx2x图象上一点的切线与直线y
12、2x+1平行，则该切线方程为（）A2xy10B2xy2ln2+10C2xy2ln210D2x+y2ln210解：由题意，求导函数可得y2，切线与直线y2x+1平行，22，x，切点坐标为（，2ln2），过点P且与直线y2x+1平行的切线方程为y+2ln2+2（x），即2xy2ln210故选：C8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）AB4CD8解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是半径为2的半球内部挖去一个圆锥，圆锥的底面与半球的大圆面重合，圆锥的高为半球的半径则该几何体的体积V故选：C9阳春三月，春暖花开，某学校开展“学雷锋践初心向建党百年献
13、礼”志愿活动现有6名男同学和4名女同学，分派到4个“学雷锋志愿服务站”参加志愿活动，若每个志愿服务站至少有男、女同学各1名，共有不同的分配方案数为（）A65B1560C25920D37440解：先把女同学分到4个学雷锋志愿服务站有A种，然后把6个男同学分到4个学雷锋志愿服务站，每站至少一个，有2种分配方案，每个志愿服务站男生数为1、1、1、2，有CA种方法，每个志愿服务站男生数为1、1、2、2，有CCA种方法，则共有A（CA+CCA）37440种方案故选：D10双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，F1PF2，则双曲线的离心率为（）AB2
14、CD3解：双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，由双曲线定义知|PF1|4a，|PF2|2a，|F1F2|2c，F1PF2，（2c）2（2a）2+（4a）22，解得c，e故选：C11如图，四边形ABCD，A1ADD1，C1CDD1均为正方形动点E在线段A1C1上，F，G，M分别是AD，BE，CD的中点，则下列选项正确的是（）AGMCEBBM平面CC1FC存在点E，使得平面BEF平面CC1D1DD存在点E，使得平面BEF平面AA1C1C解：对于A，取BC的中点N，连接CG，因为G是BE的中点，所以GNCE，若GMCE，则GMGN，这与GMGN
15、G矛盾，故选项A错误；对于B，因为平面ABCD平面CC1D1D，平面ABCD平面CC1D1DCD，C1CCD，所以C1C平面ABCD，又BM平面ABCD，所以CC1BM，又BMCF，且CC1CFC，CC1，CF平面CC1F，则BM平面CC1F，故选项B正确；对于C，因为直线BF与平面CC1D1D有交点，所以不存在点E，使得平面BEF平面CC1D1D，故选项C错误；对于D，连接BD，因为四边形ABCD为正方形，所以ACBD，因为CC1平面ABCD，CC1平面ACC1A1，所以平面ABCD平面ACC1A1，又平面ABCD平面AA1C1CAC，ACBD，则BD平面ACC1A1，记ACBDH，则BH平
16、面AA1C1C，且H不在平面BEF，所以不存在点E，使得平面BEF平面AA1C1C，故选项D错误故选：B12已知函数f（x）3x+1，且f（a2）+f（3a4）2，则实数a的取值范围是（）A（4，1）B（3，2）C（0，5）D（1，4）解：令g（x）3x，则f（x）g（x）+1，f（a2）+f（3a4）2，g（a2）+g（3a4）0，g（x）3（x）（3x），g（x）是R上的奇函数，g（a2）+g（3a4）0可化为g（a2）g（43a），又g（x）3x13x在R上是减函数，a243a，解得，4a1，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若x，y满足约束条件，则z2x+y的
17、最大值为 4解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（）化z2x+y为y2x+z，由图可知，当直线y2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为故答案为：414设正项等比数列an的前n项和为Sn，且a52a3+8a1，S430，则a664解：设等比数列an的共比为q（q0），由a52a3+8a1，得a1q42a1q2+8a1，即q42q280（q2+2）（q24）0，解得q2或q2（舍去），又S430，则30，解得a12，所以a62252664故答案为：6415已知函数f（x）sin（x+）+在0，m上恰有10个零点，则m的取值范围是 ，）解：f（x）sin（x+）+sin（x+）+
18、1cos（x+）2sin（x），f（x）02sin（x）0，由sin（x）0，得xk（kZ），即xk+（kZ），f（x）在0，m上恰有10个零点，sin（x）0在0，m上恰有10个解，9m10，解得m，故答案为：，）16函数f（x）x2lnx（aR）在内不存在极值点，则a的取值范围是 解：函数f（x）x2lnx（aR）在内不存在极值点，函数f（x）在内单调递增或单调递减，f（x）0或f（x）0在内恒成立，f（x），令g（x）4x2xa，二次函数的对称轴为，当f（x）0时，需满足，即a，当f（x）0时，需满足3a0，即a3，综上所述，a的取值范围为故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说
19、明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知atanB4bsin（B+C）（）求cosB；（）若AB4，BC3，D为AC上一点，且AD2DC，求BD解：（）因为atanB4bsin（B+C）4bsin（A）4bsinA，所以asinB4bsinAcosB，由正弦定理可得sinAsinB4sinAsinBcosB，因为sinAsinB0，所以可得cosB（）因为cosB，AB4，BC3，所以由余弦定理可得AC，因为AD2DC，所以AD，DC，设BDx，
20、则+0，解得x，即BD18如图，在圆柱OO1中，CE是圆柱的一条母线，ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，CDAB（）若ADCD，求证：AD平面CEO；（）若CDCEAB1，求直线BE与平面ADE所成角的正弦值解：（）证明：因为 CDAB，所以 ADBC又因为 ADCD，所以 ADCDBC因为 AB 是圆 O 的直径，连接 OD，所以AODDOCCOB60，所以OAD，OCD，OBC 均为正三角形，所以DAOCOB60，所以 ADOC又因为 OC平面 CEO，AD平面 CEO，所以 AD平面 CEO（）以 O 为坐标原点，分别以 CA，CB，CE 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图
21、所示的空间直角坐标系 Cxyz因为 CDAB，所以 ，则点 所以 设平面 ADE 的法向量为 ，则 即 令 ，可得 设直线 BE 与平面 ADE 所成角为 ，所以直线 BE 与平面 ADE 所成角的正弦值为 19某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示：年份2020年2021年月份9月10月11月12月1月2月月份代码x123456市场占有率y（%）111316152021（）用相关系数说明月度市场占有率y与月份代码x之间的关系是否可用线性回归模型拟合？（）求y关于x的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过30%？（）根据
22、市场供需情况统计，得到该公司产品2020年的平均月产量X（单位：万件）的分布列为X11.2P0.60.42020年的该公司产品的平均市场价格y（单位：万元/件）对应的概率分布为P（Y）假设生产每件产品的每月固定成本为200万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望参考数据：，参考公式：相关系数，回归直线方程为，其中：，解：（）因为r，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可以用线性回归模型拟合两变量之间的关系；（）由题意可得，又，所以1623，59，故y关于x的线性回归方程为，令30，即2x+930，解得x10.5，又xN，所以x11，故从2021年7月开始，该种产品的市场占有率超过30%
23、；（）设该产品平均每月利润为Z万元，则Z的可能取值为2800，3300，3400，4000，故P（Z2800）0.60.80.48，P（Z3300）0.60.20.12，P（Z3400）0.40.80.32，P（Z4000）0.40.20.08，所以Z的分布列为： Z2800330034004000 P0.480.120.320.08故E（Z）28000.48+33000.12+34000.32+40000.083148万元20函数f（x）xlogax（a0，a1）（）当a4时，求证：函数g（x）f（x）1有两个零点；（）若ae，求证：af（x）e0【解答】证明：（）当a4时，g（x）f（x）
24、1xlog4x1（x0），则，当时，g（x）0，则g（x）单调递减，当时，g（x）0，则g（x）单调递增，又g（1）0，g（）0，所以存在使得g（x0）0，则函数g（x）存在两个零点x0，1，所以函数g（x）f（x）1有两个零点；（）当ae，af（x）e0等价于，由题意可知，令f（x）0，可得，当时，f（x）0，则f（x）单调递减，当时，f（x）0，则f（x）单调递增，所以当时，f（x）取得最小值，且，由题意，只需证明+ln（lna），令tlna（t1），则aet，则只需证明，即1+lnt，令（t）1+lnt，t1，故只需证明（t）0（t1）即可，则（t），当t1时，et1t0，故（t）0，所
25、以（t）在1，+）上单调递增，因为t1，所以（t）（1）0，故af（x）e0成立21已知椭圆C：1（ab0）和圆O：x2+y21C的焦距为，过C的右顶点作圆O的切线，切线长为（）求椭圆C的方程；（）设圆O的切线l与椭圆C交于A，B两点，求OAB面积的最大值解：（）设椭圆的半焦距为c，由题意可得，解得a2，b，所以椭圆C的方程为+1（）当切线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，|AB|2，SOAB|AB|r211，当切线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx+m，由题意可得1，即k2+1m2，联立，得（1+3k2）x2+6kmx+3m240，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2
26、，x1x2，所以|AB|22222，当且仅当k时，等号成立，所以（SAOB）max，综上所述，OAB面积的最大值为（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修4-4：坐标系与参数方程22以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22asin+a230，直线l的极坐标方程为（R）（）求曲线C的参数方程，若曲线C过原点O，求实数a的值；（）当a1时，直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|解：（）将2x2+y2，ysin代入22asin+a230，得曲线C的直角坐
27、标方程为x2+（ya）23，曲线C的参数方程为（为参数）曲线C过原点O，a23，得a；（）当a1时，曲线C的极坐标方程为22sin20，将代入22sin20，得220设A、B两点对应的极径分别为1，2，1+21，122，|AB|选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|x+1|+|xa|（）当a3时，求不等式f（x）3x+1的解集；（）若f（x）2a3对任意xR恒成立，求实数a的取值范围解：（）当a3时，f（x），因为f（x）3x+1，当x1时，由2x+23x+1，解得x1；当1x3时，由43x+1，解得1x1；当x3时，由2x23x+1，解得x；综上，f（x）3x+1的解集为（，1）；（）因为f（x）2a3对任意xR恒成立，等价于f（x）min2a3，因为f（x）|x+1|+|xa|1+a|，当且仅当（x+1）（xa）0时，等号成立，所以只需|1+a|2a3，即或，解得1a4或a1，所以实数a的取值范围是（，4