1、241.2垂直于弦的直径1进一步认识圆是轴对称图形2能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题3认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代开皇大业年间(605618)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径吗？二、
2、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】垂径定理的理解 如图所示，O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD6cm，则直径AB的长是()A2cm B3cmC4cm D4cm解析：直径ABDC，CD6，DP3.连接OD，P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在RtDOP中，根据勾股定理列方程32x2(2x)2，解得x.OD2，AB4.故选D.方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题【类型二】垂径定理的实际应用 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OCAB，垂足为D，AB300m，CD50
3、m，则这段弯路的半径是_m.解析：本题考查垂径定理，OCAB，AB300m，AD150m.设半径为R，根据勾股定理可列方程R2(R50)21502，解得R250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答探究点二：垂径定理的推论【类型一】利用垂径定理的推论求角 如图所示，O的弦AB、AC的夹角为50，M、N分别是、的中点，则MON的度数是()A100 B110C120 D130解析：已知M、N分别是、的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OMAB、ONAC，所以AEOAFO90，而BAC50，由四边形内角和定理得MON360AE
4、OAFOBAC360909050130.故选D.【类型二】利用垂径定理的推论求边 如图，点A、B是O上两点，AB10cm，点P是O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OEAP于E，OFPB于F，求EF的长解析：运用垂径定理先证出EF是ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题解：在O中，OEAP，OFPB，AEPE，BFPF，EF是ABP的中位线，EFAB105cm.方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手【类型三】动点问题 如图，O的直径为10
5、cm，弦AB8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围解析：当点P处于弦AB的端点时，OP最长，此时OP为半径的长；当OPAB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长解：作直径MN弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得ADDBAB4cm.又O的直径为10cm，连接OA，OA5cm.在RtAOD中，由勾股定理，得OD3cm.垂线段最短，半径最长，OP的长度范围是3OP5(单位：cm)方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解容易出错的地方是不能确定最值时的情况三、板书设计教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用.
