1、共 42 页1第三十六讲 直接证明与间接证明 共 42 页2回归课本证明1.证明分为直接证明与间接证明.直接证明包括综合法分析法等;间接证明主要是反证法.2.综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义定理公理,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.共 42 页33.分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件定义定理公理等)为止.这种证明方法叫做分析法.4.反证法:一般地,由证明pq转向证明 qrt,t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定q为假,推出q为真的方法,叫反证法
2、.共 42 页4考点陪练 1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的()A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.等价条件 解析:根据分析法的要求,只要能找到一个条件使结论成立即可,并不需要是等价条件(充要条件),只需要是充分条件即可.答案:A 共 42 页52.用P表示已知,Q表示要证的结论,则综合法的推理形式为()A.PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ B.PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ C.QQ1Q1Q2Q2Q3QnP D.QQ1Q1Q2Q2Q3QnP 答案:A 共 42 页63.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是()A.假设至少有一个钝角 B.假设至少
3、有两个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 解析:此题实际是一个命题的否定问题,“至多有一个”“至少有两个”是对应的,此题极易错选为C或A.答案:B 共 42 页74.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是()与已知矛盾;假设矛盾;与定义公理定理法则矛盾;与事实矛盾.A.B.C.D.答案:D 共 42 页85.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,三边abc应满足什么条件()A.a2b2+c2 D.a2b2+c2 答案:C 222222222:,A02,.0bcacosAbcbcaabc解析 由余弦定理知 若 为钝角 则共 42 页9类
4、型一 综合法 解题准备:1.用P表示已知条件、已有的定义、定理等,Q表示所要证的结论,则综合法可用框图表示为:11223nPQQQQQQQ共 42 页102.综合法是“由因到果”,即由已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论.综合法又叫做顺推证法或由因到果法.3.综合法格式:从已知条件出发,顺着推证,由“已知”得“推知”,由“推知”得“未知”,逐步推出求证的结论,这就是顺推法的格式,它的常见书面表达是“,”或“”.共 42 页112.221abc,:ablgbccalglglgalgblgc【典例】若、是不全相等的正数 求证共 42 页120,0,0.222222,222.222a,b,
5、c(0,),.,abbcacabbcacab bc caabcab bc calglgabcabbccalglglglgalgblgc 证明又上述三个不等式中等号不能同时成立成立上式两边同时取得常用对数共 42 页13 反思感悟 用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围是:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式等.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型.共 42 页14类型二 分析法 解题准备:1.用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为 11223QPPPPP 得到一个明显成立的条件共 42 页152.分
6、析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件,因此分析法又叫做逆证法或执果索因法.3.分析法格式:与综合法正好相反,它是从要求证的结论出发,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐靠近已知(已知条件,已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的,它的常见书写表达式是“要证只需”或“”.4.综合法和分析法均属于直接证明的方法,经常要把两种方法结合起来用,也就是说“两头凑”,会使问题容易解决.共 42 页162(0,),:2sin2.1sincos【典例】已知求证,.2sin2,4sin cos0,sin0.4cos111.1sincoss
7、incoscos证明 统一为角利用弦函数公式化简要证明成立只要证明只要证明共 42 页1744 1 cos.1 cos0,4(1 cos)cos.4(1 cos).2sin111124(1)4,1121,2.31411coscoscoscoscossincos上式可变形为 当且仅当即时取等号成立不等式成立共 42 页18反思感悟在解决问题时,根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q,根据结论的特点转化得到中间结论P,归结为证明PQ之间的关系,通常用分析法寻找思路,综合法完成证明.共 42 页19类型三 反证法 解题准备:1.反证法是间接证明的一种方法,在数学研究和考试中有着重要的作用.一般
8、地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题的成立,这样的证明方法叫做反证法.2.反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律:一个事物是A或 ,二者必居其一,反证法即证明结论的反面错误,从而结论正确.A共 42 页203.用反证法证明问题的步骤:(1)分清命题的条件和结论,假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;(3)从矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.4.适宜用反证法证明的数学命题:(1)结论本身是以否定形式出现的命题;(2)关于唯一性、存在性命题;(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题;
9、(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.共 42 页21【典例3】已知a,b,c是互不相等的实数.求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点),共 42 页22由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得 1=(2b)2-4ac0,2=(2c)2-4ab0,3=(2a)2-4bc0.共 42 页23同向不等式求和得,4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0,
10、2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca0,(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20,a=b=c,这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而命题得证.反思感悟本题是“至少”型命题,直接证明比较困难,因此可用反证法,即否定命题寻找矛盾命题得证.共 42 页24 错源 逻辑不严密 【典例】如图,设四面体P-ABC中,ABC=90,PA=PB=PC,D是AC中点,求证:PD平面ABC.共 42 页25错解PA=PC,D是AC的中点,PDAC.又BCAB,BCPD.又ACBC=C,PD平面ABC.剖析本题错误的原因在于证明PDBC时没有理论依据,完全凭感觉,没有逻辑感.共 42 页2
11、6正解连接BD,因为BD是 RtABC斜边上的中线,所以DA=DC=DB.又PA=PB=PC,而PD是公共边,PADPBDPCD,PDA=PDC=PDB=90,PDAC,PDBD,又AC,BD为平面ABC内两相交的直线.PD平面ABC.共 42 页27(abmRab)amabmb技法不等式、且的多种证法及推广和应用1.横向联系,多解求优:()abmR,:am ba bm,bmam,ba.ba,.,amabmbamabmb证法一分析法、为了证明只需证明即只需证明成立共 42 页28:()ab,mR,mamb,abmaabmb,a bmb am.abmR,am,bmR,:()ab,abR,m0,a
12、0.11.,11,bm0.,.amabmbabmmmmambmabababamabmb 证法二综合法、证法三综合法、又即又共 42 页29:()abmR,ab,ambm,abam0,0.()1abbm,.()aambbmaa bmabamaambamb amabbmbbmbm证法四 作商比较法、又共 42 页30 ()0,().()(:()ab,ba0.abmR,bm0),()1R,ba m0,:()f x,m0,f(0),.0f m,amaba mbmbb bmamabmbaxf xxbxbaf xxbxaambbm 证法五作差比较法又、作差证法六函数法 构造函数则易知在其定义域上是单调递增
13、的 当时即共 42 页31(),0:()abR,ab,x:x bx0,x0 xb.,b0,R,.:().(y,(),10,1,y1,ab)(1)0,1.m0,axaba xbxb b bxamybmabymyabyayyybab 证法七解不等式法、关于 的不等式等价于或又原不等式成立证法八求值域 令将命题转化为函数的值域若则不合题意1,.amaybmb共 42 页32111111212221121:(),tantantantan,:Rt ABC,ACb,BCa,ACBC,CA CBABAABBm,.AA B/ABCBB,1,BBAAm,BBB,tantan0abambmBBabAAabambm
14、证法九三角法 欲证的不等式为分式 可考虑令构造图形 在中且分别延长到、使如图所示又过作交于则即点在之间 而显然tann.2a,.tamabmb即共 42 页33:().:A b,a,Bm,m,0ab,m0(),()0,0,.0.4,.,OA,OAABABOAamambmbmaabbakbamkbmAOxACxamatan ACxtan AOxkkbmb 证法十解析法可考虑斜率公式建立直角坐标系 取点如图 则由知射线倾斜角满足由于正切函数在此区间内为增函数共 42 页34:(),CF/AE,DF,.1,m,CDa,A,Bb.CFOCCDamaAEOAABbBEbmODaBEmBEOBbamama
15、ambBEbmbbm 证法十一几何法 如图所示 设又即共 42 页35:()mbR,ABC,C,.0,BAD,.mbACm BCbABmbbaCDaADmaBACDACsin BACsin DACbaamabmbbmam 证法十二几何法、构造以为直角边的如图所示则故在上可截取连接则即、共 42 页36:()ba,b1at,t0,m,1.,aR,.tbmatmtbattamamam aaattbmbamaamaamabmb 证法十三增量法设则、可知即共 42 页372.,1:abmRab,2:abmRmab,3:abmRab,4:ab1;2;2,cdR;aambbmamaambmbbmaamam
16、bbmbmacaaccbdbbdd纵向深入 引申推广命题若、且则命题设、且则命题设、且则命题设、且则共 42 页381212121112121212121212,(1,2,),;,5:n,6:.,0(*),ninnnnnnknknminmaxnnnaaaabiRibbbaaaaanbbbbbaaaaSkbbbbNabaaaSSbbbbbab“”命题对任意正整数若、则命题设有限分数集其中则当且仅当时成立3.巧用结论,妙法解题 共 42 页3910mba,(.)bmbbmAcoscoscosamaambbmbmB coscoscosaamambmbbmC coscoscosamaambmbmbD coscoscosamama【典例】已知则下列各式正确的是共 42 页400mba01A.,2,2:bmbamabmam 解析由推广命题 有由余弦函数的单调性可知 正确答案A 共 42 页41111111352122,12:.nnn【典例】对一切正明整数证共 42 页4245 6(),34 57221,62124 6 824 5 6 722123 5 7213 4 5 62122121,344 6221,3 521211121111.35212amabbmabbmbaamnnnnnnnnnnnnnnnnn证明可变形为有即