1、（全国卷）“超级全能生”2021届高三数学1月联考试题（丙卷）理注意事项：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，复数z在复平面内对应的点为(3，4)，则下列
2、等式错误的是A.zi43i B.(1)i34i C.|z|5 D.2.已知全集为R，集合Ax|2x3，Bx|log2(x3)2，则A(RB)A.x|1x2 B.x|1x3 C.x|1x2 D.x|1x33.记(xy)6a0x6a1x5ya2x4y2a3x3y3a4x2y4a5xy5a6y6，则a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6中最大的数为A.15 B.20 C.25 D.304.已知锐角，满足sin()，则sin()A. B. C. D.5.已知2a3b6，clogab，则a，b，c的大小关系为A.abc B.bac C.cba D.cab100 B.a1024b11 C.a10b5 D
3、.a99b97.如图，二面角l为60，A，B，C，D，El，BCD45，AED30，AE2BC，l平面ABD，则直线AB与所成的角为A.45 B.60 C.90 D.308.已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.2048 B.1024 C.2046 D.409410.已知三棱锥PABC中，ABC是等腰直角三角形，ABAC，AB，PA2，PABPAC，三棱锥PABC的体积为1，则三棱锥PABC外接球的表面积为A.36
4、B.32 C.24 D.1611.已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2(如图)，过F2的直线交E于P，Q两点，且PF1x轴，|PF2|13|F2Q|，则E的离心率为A. B. C. D.12.已知函数f(x)，若x20，x10，使f(x1)f(x2)0成立，则a的取值范围为A.(， B.，) C.(， D.(，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知单位向量a，b满足|a2b|2，则a与2ab夹角的余弦值为 。14.已知数列an的前n项和为Sn，a12，且3Snan120，设bn(1)nan，数列bn的前n项和为Tn，则Tn 。15.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，
5、F2，直线yxm与C交于P，Q两点，当|PQ|最小时，四边形F1PF2Q的面积为 。16.九章算术第五章“商功”主要是土石工程、体积计算，除给出了各种几何体体积公式外，还有工程分配方法，其中题十八今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？其中“刍甍”(ch mng)是茅草屋顶形状的几何体，已知有一刍甍ABCDEF如图所示，四边形CDEF为矩形，CD4，DE2，AB/CD，ABCD，若该刍甍高(AB到底面CDEF的距离)为1，体积为，则AB 。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考
6、生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(12分)已知ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足sin(AB)sinAsinC。(I)求B；(II)若点D为BC上一点，DC2，C，DE平分ADC交AC于点E，求BD。18.(12分)某电商平台准备今年的周年庆典活动，为了更精准地投放优惠券以提高销售额，对去年周年庆典活动中的优惠券使用情况和用户消费金额进行了统计分析，统计结果显示，去年老用户的消费金额满足正态分布，设消费金额为X(单位：元)，XN(600，16)，如图所示，经计算得P(600X720)0.3。(I)求P(X480)；(II)根据去年的统计结果，该电商平台今年预备推出
7、“消费金额每满300元减30元”和“消费金额每满800元减90元”两种优惠券，为了进一步了解用户的购买意向，计划把去年的用户按消费金额分成四组(0，480)，480，600)，600，720)，720，)，用分层抽样抽取10位去年的老用户作为幸运用户，赠送礼品并进行问卷调查。(i)计算各组应抽的老用户数；(ii)为了了解用户对今年的两种优惠券的意见，确定两种优惠券的投放比例，从480，600)，600，720)两组的幸运用户中随机抽取3人进行面对面访谈，记从480，600)一组中抽取的人数为，求的分布列和数学期望。19.(12分)已知三棱锥PABC中，PAPBPC1，三棱锥QABC中QAB，Q
8、BC，QCA为全等的等边三角形，QA。(I)证明：PQ平面ABC；(II)求直线QB与平面APQ所成角的正弦值。20.(12分)在平面直角坐标系中，已知点A(2，t)，B(2，t)，若点P同时满足：PAB的面积为S1，以P为圆心的圆过点F(2，0)，且圆P的面积为S2，若S1。(I)求P的轨迹E的方程；(II)若过F的直线l与E交于M，N两点，点Q(2，0)，求证：。21.(12分)已知函数f(x)lnxmx2(2m1)x，其中m0恒成立，证明：n3m0。(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.选修44：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，直线l经过定点(1，1)，倾斜角为。以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为22cos4sin40。(I)求l的参数方程和C的直角坐标方程；(II)设l与C的交点为M，N，求CMN的面积。23.选修45：不等式选讲(10分)设函数f(x)2sinx|a1|a2|。(I)若f()7，求a的取值范围；(II)若a0，在(I)的条件下，记a的最小正整数为m，且正实数b，c，d满足bcdm，证明：。