1、专题23.2 解直角三角形及其应用【九大题型】【沪科版】【题型1 网格中解直角三角形】1【题型2 坐标系中解直角三角形】2【题型3 直接解直角三角形】4【题型4 化斜为直解非直角三角形】5【题型5 在四边形中解直角三角形】6【题型6 解直角三角形的应用（坡度坡比问题）】7【题型7 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】9【题型8 解直角三角形的应用（方向角问题）】11【题型9 解直角三角形的应用（实物建模问题）】13【知识点1 直角三角形的边角关系】（1） 两锐角关系： （2）三边关系：（勾股定理） （3）边角关系：， ，【知识点2 解直角三角形的类型和解法】已知条件图形解法对边邻边斜边ACBb
2、已知一直角边和一个锐角已知斜边和一个锐角已知两直角边已知斜边和一条直角边【题型1 网格中解直角三角形】【例1】（江苏省江阴市澄江片2022-2023学年九年级下学期期中考试数学试题）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角（O）为120，A、B、C都在格点上，则tanABC的值是_【变式1-1】（2022年四川省广元市万达实验学校中考模拟数学试题）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则APD的正切值为_【变式1-2】（2022年福建省中考数学模拟试卷（六）如图，ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格的格点上，则sinBAC
3、=_【变式1-3】（2022年中考数学一轮复习讲练测（北京）如图所示的正方形网格中，A，B，C是网格线交点，CAB的度数为_【题型2 坐标系中解直角三角形】【例2】（2022江苏九年级专题练习）如图，直线y=34x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=34x+3上，若N点在第二象限内，则tanAON的值为（）A17B16C15D18【变式2-1】（2022年黑龙江省佳木斯市前进区九年级中考三模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标是(0,-1)，点A1，A2，A3，A4，A5所在直线与x轴交于点B0(-2,0)，点B1，B2，B
4、3，B4都在x轴上，A1B1B2，A2B2B3，A3B3B4，都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形A2022B2022B2023的腰长A2022B2022为_【变式2-2】（2022四川泸州中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tanABE=43若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（）Ay=3xBy=-34x+152Cy=-2x+11Dy=-2x+12【变式2-3】（2022河南模拟预测）在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，ABO=60,CD为AOB的中位线，过
5、点D向x轴作垂线段，垂足为E，可得矩形CDEO将矩形CDEO沿着x轴向右平移，设斜边AB所在直线与矩形所围直角三角形的面积为S已知点B的坐标为(6,0)，当S=23时，矩形CDEO顶点D的坐标为_【题型3 直接解直角三角形】【例3】（2022年广东省深圳市宝安区中考数学备考冲刺题-模拟卷（四）如图，在RtABC中，C=90，ABC=60，BAC的角平分线EA与BCA的角平分线CD相交于点O，已知BD=4，OC=22，则OE=_【变式3-1】（2022-2023中考1年模拟数学分项汇编）如图，在RtABC中，AB=BC=4，以AB为边作等边三角形ABD，使点D与点C在AB同侧，连接CD，则CD=
6、_【变式3-2】（安徽省亳州市2022-2023学年九年级上学期教学质量调研三数学试题）如图，在RtABC中，ACB90，CE是斜边AB上的中线，过点E作EFAB交AC于点F若BC4，tanCEF=34，则AC的长为_【变式3-3】（2022湖北武汉一模）在RtABC中，ACB=90，点D为AB上一点（1）如图1，若CDAB，求证：AC2=ADAB；（2）如图2，若AC=BC，EFCD交CD于H，交AC于F，且FHHE=49，求ADBD的值；（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，AHD=45，CH=3DH，则tanACH的值为_【题型4 化斜为直解非直角三角形】【例4】（福建省泉州市第一中
7、学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，在等腰ABC中，AB=AC，AD平分BAC，点E在BA的延长线上，AEC=90，ED=EC，DE交AC于点K，若EC=10，tanAED=12，则AK=_【变式4-1】（2022湖北武汉中考真题）如图在ABC中，ACB=60，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点若DE平分ABC的周长，则DE的长是_【变式4-2】（2022江苏省洪泽县黄集中学一模）如图，在ABC中，C=150，AC=4，tanB=18（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15的值.【变式4-3】（2022四川广元模拟预测）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点
8、引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”（1）如图，在ABC中，CD为角平分线，A40，B60，求证：CD为ABC的“优美分割线”（2）在ABC中，A46，CD为ABC的“优美分割线”且ACD为等腰三角形，求ACB的度数（3）在ABC中，A30，AC6，CD为ABC的“优美分割线”，且ACD是等腰三角形，求线段BD的长【题型5 在四边形中解直角三角形】【例5】（2022年广东省深圳市南山区南山外国语学校中考二模质量检测数学试题（5月）如图，
9、在菱形ABCD中，AB30，BCD=120，点E在CD上，且DE10，BE交AC于点F，连接DF现给出以下结论：ABFADF；AF:CF=3:2；SDEF=303；sinAFD=55719正确的是（）ABCD【变式5-1】（2022广东深圳市海滨中学模拟预测）如图，在四边形ABCD中，ADBC，CEAB，且AE=BE，连接DE，若AB=CD=CE=2，则tanDEC=_【变式5-2】（2022上海市静安区教育学院附属学校九年级期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，A=60，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点FG分别在边ABAD上，则sinEFG=_ 【变式5-3】
10、（河南省郑州市中原区中原区第一中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，点E是线段AD上的一个动点，把BAE沿BE折叠，点A落在A处(A在矩形内部)，如果A恰在矩形的某条对称轴上，则AE的长为_【题型6 解直角三角形的应用（坡度坡比问题）】【例6】（2022重庆八中九年级期末）为了消防安全，学校在校园广场步行梯（折线ABCD）处新建了学生宿舍安全通道（折线AEF），其剖面示意图如图所示，广场步行梯AB，CD的坡角都是32，且AB=6米，CD=4米，水平部分BC=2.4米；新建安全通道中水平部分AE=3.9米，步梯EF的坡度i0.62（
11、即坡角的正切值）新建安全通道顶端点F到广场步行梯底部所在水平面DG的距离DF的长约为（）（结果精确到0.1米，参考数据：sin320.53，cos320.85，tan320.63）A8.8米B9.0米C9.4米D9.6米【变式6-1】（2022四川资阳九年级期末）如图，在操场上的A处，测得旗杆顶端N点的仰角是30，前进20米后到达旗台的底端B处，测得旗杆顶端N点的仰角是45，继续沿着坡比为1:3的斜坡BC上升到C处，此时又测得旗杆顶端N点的仰角是60，旗杆MN垂直于水平线AD，点A、B、D在同一直线上，CM/AD，求旗杆MN的高度【变式6-2】（2022浙江嘉兴九年级专题练习）为了监控危险路段
12、的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A 处时，电子眼的俯角为30，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70（A、B、P、Q在同一平面内）(1)求路段BQ的长；（sin700.94，cos700.34，tan702.75）(2)求路段AB的长；（31.7，结果保留整数）(3)如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当PA过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个测速路段车辆所用的时间是1.5秒该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？【变式6-3】（2022上海
13、市罗山中学九年级期中）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，A，D两点在地面上，已知AD40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为1：2.4点A左侧25m点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且
14、不能影响到古树的圆形保护区已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行表：轮椅坡道的最大高度和水平长度坡度1：201：161：121：101：8最大高度（m）1.200.900.750.600.30水平长度（m）24.0014.409.006.002.40【题型7 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】【例7】（2022重庆巴蜀中学九年级）如图，巴蜀中学旁边高36米的高楼AB正对着斜坡CD，点E在斜坡处已知斜坡的坡角DCG为30，ABBC，若点A、B、C、D、E在同一平面内，从点E处测得楼顶A的仰角为37，楼底B的俯角为24，现计划在斜坡中点E处挖去部分
15、斜坡，修建一个平行于水平线BC的平台EF和一条新的斜坡DF，使新斜坡DF的坡比为3：1某施工队承接这项任务，为尽快完成任务，增加了人手，实际工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，施工队原计划平均每天修建_米？（结果保留1位小数）（参考数据：cos370.80，tan370.75，tan240.45，cos240.91）【变式7-1】（2022四川广元中考真题）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15
16、3米（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内参考数据：tan75=2+3，tan15=2-3计算结果保留根号）【变式7-2】（2022山东聊城中考真题）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图）数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6和
17、76（点B，H，D三点在同一直线上）已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin26.60.45，cos26.60.89，tan26.60.50，sin760.97，cos760.24，tan764.01）【变式7-3】（2022四川自贡九年级专题练习）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中ABCD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角为31，渔船N的俯角为45已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米(1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；(
18、2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75，完成这项工程需填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan310.60，sin310.52）【题型8 解直角三角形的应用（方向角问题）】【例8】（2022河南漯河市郾城区第二初级实验中学一模）在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号，已知A、B相距1003+1海里，C在A的北偏东60方向上，C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75方向上
19、(1)求AC和AD（运算结果若有根号，保留根号）；(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：21.41，31.73）【变式8-1】（2022黑龙江大庆市庆新中学九年级阶段练习）如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60方向，向正东航行40海里后到达B处，此时测得小岛P位于南偏西75方向，求小岛P离观测点B的距离【变式8-2】（2022内蒙古乌海市第二中学九年级期末）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF平行MN综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑
20、物C、D，且CD30米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45方向，再沿河岸走10米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）【变式8-3】（2022山东泰安模拟预测）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15方向；当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60方向则临
21、皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离为 _（计算结果保留根号）【题型9 解直角三角形的应用（实物建模问题）】【例9】（2022浙江温州八年级期中）图1是一张可调节靠椅，调节示意图如图2，已知两支脚ABAC10分米，BC12分米，O为AC上固定连接点，靠背OD10分米档位为档时，ODAB档位为档时，ODAC当靠椅由档调节为档时，EF_分米【变式9-1】（2022浙江金华市南苑中学九年级期中）图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架AB-CE-EF和两个大小相同的车轮组成，已知CD=25cm，DE=17cm，cosACD=45，当A，E，F在同一水平高度上时，CEF=1
22、35，则AC=_cm；为方便存放，将车架前部分绕着点D旋转至AB/EF，如图3所示，则d1-d2为_cm【变式9-2】（2022江西景德镇九年级期中）如图1是一个水龙头的示意图，类似于字母“F”的形状，将其抽象成如图2所示的截面图形，线段BE是一根固定的轴，线段AB，CD均垂直于线段BE，出水口在点D处，AB为自来水开关，ABBC即为无水状态，将AB绕点B逆时针向上转动即是开水若已知BC=10cm，AB=20cm，CD=30cm（参考数据，精确到01，sin34=0.56，cos34=0.83，21.414，3=1.732，25.0792=629）(1)求出水龙头不开时，点A与出水口的距离；(
23、2)当BA向上旋转34时，即是最大出水量，求出最大出水量时，点A与出水口的距离【变式9-3】（2022江苏宿迁一模）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面结构示意图量得托板长AB=120mm，支撑板长CD=80mm，底座长DE=90mm托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动(1)若DCB=80，CDE=60，求点A到直线DE的距离；(2)为了观看舒适，在（1）的条件下，把AB绕点C逆时针旋转10后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上画出图形，并求CD旋转的角度；（参考数据：sin400.643，cos400.766，tan400.839，sin26.60.448，cos26.60.894，tan26.60.500，31.732计算结果均精确到0.1）
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