1、第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语第一章14充分条件与必要条件14.2充要条件课前自主预习 1掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法2能够写出命题的充分条件、必要条件及充要条件3会对某些命题的充要条件进行证明充要条件如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有，又有 qp，记作 pq.此时 p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件我们说 p 是 q 的，简称为充要条件如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件，即如果pq，那么 p 与 q 互为pq充分必要条件充要条件温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若
2、 pq，则称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件若 pq，则 p 是 q 的充要条件若 pq，且 q/p，则称 p 是 q 的充分不必要条件若 p/q，且 qp，则称 p 是 q 的必要不充分条件若 p/q，且 q/p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件(2)“”的传递性若 p 是 q 的充要条件，q 是 s 的充要条件，即 pq，qs，则有 ps，即 p 是 s 的充要条件1通常我们把两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，即“四边形的两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的什么条件，你还能写出“四边形是平行四边形”的其他充要条件吗？答案 充要条件 两组对边分别相等的四
3、边形、对角线互相平分的四边形等2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当 p 是 q 的充要条件时，也可说成 q 成立当且仅当 p 成立()(2)符号“”具有传递性()(3)若 p/q 和 q/p 有一个成立，则 p 一定不是 q 的充要条件()(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件()答案(1)(2)(3)(4)课堂互动探究 题型一充要条件的判断【典例 1】在下列各题中，试判断 p 是 q 的什么条件(1)p：a5 是无理数，q：a 是无理数；(2)若 a，bR，pa2b20，q：ab0；(3)p：ABA，q：UBUA.思路导引 判断是否 pq，qp.解(1)因为 a5 是无理数a
4、是无理数，并且 a 是无理数a5 是无理数，所以 p 是 q 的充要条件(2)因为 a2b20ab0，并且 ab0a2b20，所以 p 是 q 的充要条件(3)因为 ABAABUAUB，并且UBUABAABA，所以 p 是 q 的充要条件变式 已知 p 是 q 的充分条件，q 是 r 的必要条件，也是 s的充分条件，r 是 s 的必要条件，问：(1)p 是 r 的什么条件？(2)s 是 q 的什么条件？(3)p，q，r，s 中哪几对互为充要条件？解 作出“”图，如右图所示，可知：pq，rq，qs，sr.(1)pqsr，且 rq，q 能否推出 p 未知，p 是 r 的充分条件(2)srq，qs，
5、s 是 q 的充要条件(3)共有三对充要条件，qs；sr；rq.判断 p 是 q 的充分必要条件的 2 种思路(1)命题角度：判断 p 是 q 的充分必要条件，主要是判断 pq及 qp 这两个命题是否成立(2)集合角度：当不容易判断 pq 及 qp 的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的情形如下：记命题 p：集合 A，命题 q：集合 B.若 AB，则 p 是 q 的充分条件，若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件若 BA，则 p 是 q 的必要条件，若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件若 AB，则 p，q 互
6、为充要条件若 AB 且 BA，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件此外，对于较复杂的关系，常用，等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度针对训练1指出下列各题中，p 是 q 的什么条件？(1)p：ABA，q：ABB；(2)已知实数 a，b，p：a0 且 b0，q：ab0 且 ab0；(3)p：2，2，q：4，4.解(1)因为 ABABA，而 ABBBA，所以 ABAABB，所以 p 是 q 的充要条件(2)由 a0 且 b0ab0 且 ab0，并且由 ab0 且 ab0a0 且 b0，所以 p 是 q 的充要条件(3)由2，2，根据不等式的性质可得4，4.即 pq
7、，而由4，4不能推出2，2.如：1，5 满足4，4，但不满足 2.所以 p 是 q 的充分不必要条件.【典例 2】已知 ab0，求证：ab1 是 a3b3aba2b20 的充要条件思路导引 从充分性、必要性两方面证明证明 充分性：ab1，b1a，a3b3aba2b2a3(1a)3a(1a)a2(1a)2a313a3a2a3aa2a212aa20，即 a3b3aba2b20.必要性：a3b3aba2b20，(ab)(a2abb2)(a2abb2)0，(a2abb2)(ab1)0.ab0，a0 且 b0，a2abb20.ab10，ab1.综上可知，当 ab0 时，ab1 是 a3b3aba2b20
8、的充要条件 充要条件的证明证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”“结论”，必要性需要证明“结论”“条件”针对训练2已知 a，b 是实数，求证：a2b21 是 a4b42b21成立的充分条件该条件是否为必要条件？试证明你的结论证明 因为 a2b21，所以 a4b42b2(a2b2)(a2b2)2b2(a2b2)2b2a2b21.即 a2b21 是 a4b42b21 成立的充分条件另一方面，若 a4b42b21，即 a4(b42b21)0，a4(b21)20，(a2b21)(a2b21)0.又 a2b210，所以
9、 a2b210，即 a2b21.因此 a2b21 是 a4b42b21 成立的必要条件.题型三探求充要条件【典例 3】求关于 x 的方程 ax22x10 至少有一个负实根的充要条件思路导引 至少有一个负根可能是一个负根也可能是两个负根，需要分类讨论解 当 a0 时，方程为一元一次方程，其根为 x12，符合要求当 a0 时，方程为一元二次方程，此时 ax22x10 有实根的充要条件是判别式 0，即 44a0，从而 a1.设方程ax22x10 的两根分别为 x1，x2，则 x1x22a，x1x21a.()方程 ax22x10 有一负根一正根的充要条件为 a1，1a0a0；()方程 ax22x10
10、有两个负根的充要条件为a1，2a000，x11x210k14，x1x2x1x210，x1x220 k14，k22k110，2k120k2.所以使方程有两个大于 1 的实根的充要条件是 k2.课堂归纳小结1充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法2充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明在证明时要注意两种叙述方式的区别：p 是 q 的充要条件，则由 pq 证的是充分性，由 qp证的是必要性；p 的充要条件是 q，则由 pq 证的是必要性，由 qp 证的是充分性(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.请做：随堂巩固验收