1、第八章数列考点测试44数列的概念高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题和解答题，分值为5分、12分，中、低等难度考纲研读1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数一、基础小题1已知数列an的通项公式an(nN*)，则是这个数列的()A第8项 B第9项C第10项 D第12项答案C解析由题意知，nN*，解得n10，即是这个数列的第10项故选C.2若Sn为数列an的前n项和，且Sn，则等于()A B C. D30答案D解析当n2时，anSnSn1，所以5630.3设an2n229n3，则数列an的最大项是()A107 B108 C.
2、 D109答案B解析因为an2n229n32，nN*，所以当n7时，an取得最大值108.4在数列an中，“|an1|an”是“数列an为递增数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析|an1|anan1an或an1an，充分性不成立，数列an为递增数列|an1|an1an，必要性成立，所以“|an1|an”是“数列an为递增数列”的必要不充分条件故选B.5已知Sn为数列an的前n项和，且log2(Sn1)n1，则数列an的通项公式为()Aan2n BanCan2n1 Dan2n1答案B解析由log2(Sn1)n1，得Sn12n1.当n1时，a1S1
3、3；当n2时，anSnSn12n.所以数列an的通项公式为an故选B.6朱世杰是元代著名数学家，他所著算学启蒙是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作算学启蒙中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1，3，6，10，.现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为()A.50 B55C100 D110答案B解析由题意可知三角垛从上层向下，每层果子数构成一个数列an，其中a11，a23，a36，a410，可变形为a1，a2，a3，a4，由此得数列an的通项公式为an，则a1055.故选B.7已知数列
4、an的通项公式为an2n2tn1，若an是递增数列，则实数t的取值范围是()A(6，) B(，6)C(，3) D(3，)答案A解析解法一：因为an是递增数列，所以对于任意的nN*，都有an1an，即2(n1)2t(n1)12n2tn1，化简得t4n2，所以t4n2对于任意的nN*都成立，因为4n26，所以t6.故选A.解法二：设f(x)2x2tx1，其图象的对称轴为x，则数列an可表示为f(x)2x2tx1，xN*，要使an是递增数列，则6.故选A.8已知数列an的首项为1，第2项为3，前n项和为Sn，当整数n1时，Sn1Sn12(SnS1)恒成立，则S15等于()A210 B211 C.22
5、4 D225答案D解析结合Sn1Sn12(SnS1)可知，Sn1Sn12Sn2a1，得到an1an2a12，所以an12(n1)2n1，所以a1529.所以S15225.故选D.9(多选)若数列an满足：对任意正整数n，an1an为递减数列，则称数列an为“差递减数列”下面给出数列an(nN*)的通项公式，其中an是“差递减数列”的有()A.an3n Bann21Can Danln 答案CD解析对于A，an1an3(n1)3n3，数列an不为“差递减数列”；同理可得，B中数列不为“差递减数列”；对于C，an1an，数列an为“差递减数列”；同理可得，D中数列为“差递减数列”故选CD.10(多选
6、)已知数列an满足a11，an1an2(nN*)，且Sn为an的前n项和，则下列结论正确的是()Aan2n1 BSnn2Can2n1 DSn2n1答案AB解析由题意得a2a12，a3a22，a4a32，anan12，所以a2a1a3a2a4a3anan12(n1)，所以ana12(n1)，所以an2n1，所以a11，a23，a35，an2n1，所以a1a2a3an1352n1，所以Snn2.11数列1，的一个通项公式为an_.答案解析由已知得，数列可写成，故其一个通项公式可以为an.12数列an的通项为an(nN*)，若a5是an中的最大项，则a的取值范围是_答案9，12解析当n4时，an2n
7、1递增，因此n4时取最大项，a424115.当n5时，ann2(a1)n.a5是an中的最大项，解得9a12.a的取值范围是9，12.二、高考小题13(2021北京高考)数列an是递增的整数数列，且a13，a1a2an100，则n的最大值为()A9 B10 C.11 D12答案C解析若要使n尽可能的大，则an递增幅度要尽可能小，不妨设数列an是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为Sn，则ann2，S111188100，所以n的最大值为11.故选C.14(2019浙江高考)设a，bR，数列an满足a1a，an1ab，nN*，则()A当b时，a1010B当b时，a1010C当b2时，a101
8、0D当b4时，a1010答案A解析解法一：对于选项A，a1a，an1aba，aan0，aan.an1a0，an1ananan，an为递增数列因此，当a10时，a10取到最小值，现对此情况进行估算显然，a10，a2a，a3a，a4a，当n1时，an1a，lg an12lg an，lg a102lg a922lg a826lg a4lg a，a10aCCCC164147.87512.87510，因此符合题意故选A.解法二：由已知可得an1anabanb.对于选项B，当a，b时，an恒成立，所以排除B；对于选项C，当a2或1，b2时，an2或1恒成立，所以排除C.对于选项D，当a，b4时，an恒成立
9、，所以排除D.故选A.15(2020浙江高考)已知数列an满足an，则S3_答案10解析因为an，所以a11，a23，a36.所以S3a1a2a313610.16(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和，若Sn2an1，则S6_答案63解析根据Sn2an1，可得Sn12an11，两式相减得an12an12an，即an12an，当n1时，S1a12a11，解得a11，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以S663.三、模拟小题17(2021湖南长沙雅礼中学模拟)圆周率是无理数，小数部分无限不循环，毫无规律，但数学家们发现可以用一列有规律的数相加得到：4.若将上式看作数列an的各项
10、求和，则an的通项公式可以是()Aan BanC.an(1)n Dan答案D解析由题意可知4，对比选项可知an.18(2021江苏连云港第一次模拟)已知数列an的通项公式ann，则|a1a2|a2a3|a99a100|()A150 B162 C.180 D210答案B解析由对勾函数的性质可知，当n10时，数列an递减；当n10时，数列an递增所以|a1a2|a2a3|a99a100|(a1a2)(a2a3)(a9a10)(a11a10)(a12a11)(a100a99)a1a10a100a101100(1010)(1001)(1010)162.19(2021辽宁铁岭六校高三模拟)已知g(x)f
11、1是R上的奇函数，anf(0)fff(1)，nN*，则数列an的一个通项公式为()Aann1 Ban3n1Can3n3 Dann22n3答案A解析由于g(x)f1是R上的奇函数，故ff2，函数f(x)关于点对称，则anf(0)fff(1)，倒序相加可得2an2(n1)，即ann1.故选A.20(多选)(2021辽宁铁岭六校高三模拟)设数列an满足0a1，an1anln (2an)对nN*恒成立，则下列说法正确的是()Aa21 Ban是递增数列Ca3 Da20221答案ABD解析由an1anln (2an)，0a1，设f(x)xln (2x)，则f(x)1，所以当0x0，即f(x)在(0，1)上
12、单调递增，所以f(0)f(x)f(1)，即ln ln 2f(x)1ln 11，所以f(x)1，即an1(n2)，故A正确；因为f(x)在(0，1)上单调递增，0anln (21)0，所以an是递增数列，故B正确；因为a2ln ln e，因此a2022a3，a2022an，则称an是间隔递增数列，k是an的间隔数下列说法正确的是()A公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B已知ann，则an是间隔递增数列C已知an2n(1)n，则an是间隔递增数列且最小间隔数是2D已知ann2tn2022，若an是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4t1，所以当a10时，ank0，解得k3，故B正确；对于C，an
13、kan2(nk)(1)nk2n(1)n2k(1)n(1)k1，当n为奇数时，2k(1)k10对任意k1成立，当n为偶数时，2k(1)k10对任意k2成立，综上，an是间隔递增数列且最小间隔数是2，故C正确；对于D，若an是间隔递增数列且最小间隔数是3，则ankan(nk)2t(nk)2022(n2tn2022)2knk2tk0对nN*成立，则k2(2t)k0对于k3成立，且k2(2t)k0对于k2成立，即k(2t)0对于k3成立，且k(2t)0对于k2成立所以t23，且t22，解得4t5，故D正确故选BCD.22(2022山东青岛摸底考试)我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那
14、契数列an中，a11，a21，an2an1an(nN*).用Sn表示它的前n项和，若已知S2020m，那么a2022_答案m1解析由已知，知a1a2a3，a2a3a4，a2020a2021a2022，各式相加得a12a2a3a4a2020a2022，即a2S2020a2022，又a21，S2020m，所以a2022m1.一、高考大题1(2016全国卷)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由题意得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1).因为an的各项都为正数，所以.
15、故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.二、模拟大题2(2022湖南郴州模拟)已知数列an中，a13，an1an.(1)求a2，a3；(2)求数列an的通项公式解(1)a2a13，a3a2.(2)原递推公式可化为an1an，则a2a11，a3a2，a4a3，an1an2，anan1，累计相加，得ana11，当n1时，也满足上式，故an4.3(2021湖南衡阳高三模拟)在数列an中，已知an，且a2，a3.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：an是递增数列；(3)求证：1an0，an1an，故an是递增数列(3)证明：an，而nN*，an，an1.故1an.4(2022河北邯郸阶段测试)数列an的前n项和为Sn，且Snn(n1)(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足an，求数列bn的通项公式解(1)当n1时，a1S12；当n2时，anSnSn12n，可知a12满足该式，数列an的通项公式为an2n(nN*).(2)an(n1)，an1，得an1an2，bn12(3n11)，而b18，故bn2(3n1)(nN*).