1、考点测试25三角函数的图象与性质高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲研读1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在R上的性质(如单调性，最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间(kZ)内的单调性一、基础小题1函数y3cos 的最小正周期是()A B C2 D5答案D解析由T5，知该函数的最小正周期为5.故选D.2已知函数y2cos x的定义域为，值域为a，b，则ba的值是()A2 B3C2 D2答案B解析因为函数y2cos x的定义域为，所以函数y2cos x的值
2、域为2，1，所以ba1(2)3，故选B.3若直线xa(0a1)与函数ytan x的图象无公共点，则不等式tan x2a的解集为()ABCD答案B解析因为直线xa(0a1)与函数ytan x的图象无公共点，所以a，故tan x2a即tan x1的解集为.4已知函数f(x)sin ，其中x，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是()A BC D答案D解析因为x，所以x，因为f(x)sin 的值域是，所以由正弦函数的图象和性质可知a，解得a.故选D.5函数f(x)sin 2xsin x在，的图象大致是()答案A解析显然f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除D；在区间上，sin 2x0，sin x
3、0，即f(x)0，排除B，C.故选A.6下列函数中同时具有以下性质的是()最小正周期是；图象关于直线x对称；在上是增函数；图象的一个对称中心为.A.ysin Bysin Cysin Dysin 答案C解析因为最小正周期是，所以2，排除A；当x时，对于B，ysin 0，对于D，ysin ，又图象关于直线x对称，从而排除B，D，经验证ysin 同时具有性质，故选C.7(多选)下列关于函数ytan 的说法，正确的是()A在区间上单调递增B最小正周期是C图象关于成中心对称D图象关于直线x成轴对称答案AB解析令kxk，解得kx0)两个相邻的极值点，则()A2 B C1 D答案A解析由题意及函数ysin
4、x的图象与性质可知，T，T，2.故选A.13(2019全国卷)关于函数f(x)sin |x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间单调递增；f(x)在，有4个零点；f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A. B C D答案C解析中，f(x)sin |x|sin (x)|sin |x|sin x|f(x)，f(x)是偶函数，正确中，当x时，f(x)sin xsin x2sin x，函数单调递减，错误.中，当x0时，f(x)0，当x(0，时，f(x)2sin x，令f(x)0，得x.又f(x)是偶函数，函数f(x)在，上有3个零点，错误中，sin |x|sin x
5、|，f(x)2|sin x|2，当x2k(kZ)或x2k(kZ)时，f(x)能取得最大值2，故正确综上，正确故选C.14(2018全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为3Bf(x)的最小正周期为，最大值为4Cf(x)的最小正周期为2，最大值为3Df(x)的最小正周期为2，最大值为4答案B解析根据题意，有f(x)cos2x，所以函数f(x)的最小正周期为T，且最大值为f(x)max4.故选B.15(2018全国卷)函数f(x)的最小正周期为()A B C D2答案C解析由已知得f(x)sin x cos xsin 2x，所以f(x)的最小正周期
6、T.故选C.16(2020全国卷)关于函数f(x)sin x有如下四个命题：f(x)的图象关于y轴对称；f(x)的图象关于原点对称；f(x)的图象关于直线x对称；f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是_答案解析函数f(x)的定义域为x|xk，kZ，定义域关于原点对称，f(x)sin (x)sin xf(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，命题错误，命题正确；对于命题，因为fsin cos x，fsin cos x，则ff，所以函数f(x)的图象关于直线x对称，命题正确；对于命题，当x0时，sin x0，则f(x)sin x02，命题错误17(2019全国卷)函数f(x)s
7、in 3cos x的最小值为_答案4解析f(x)sin 3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cosx1，令tcos x，则t1，1，g(t)2t23t1.又函数g(t)图象的对称轴t1，1，且开口向下，当t1，即x2k(kZ)时，f(x)有最小值4.18(2019北京高考)函数f(x)sin22x的最小正周期是_答案解析由降幂公式得f(x)sin22xcos 4x，所以最小正周期T.三、模拟小题19(2021浙江温州中学高三月考)函数f(x)sin 2xsin 3x的最小正周期为()A B2 C3 D6答案B解析ysin 2x的最小正周期为，函数ysin 3x的最小正周期为，与的
8、最小公倍数为2，所以函数f(x)sin 2xsin 3x的最小正周期为2.故选B.20(多选)(2021湖南长沙第一中学模拟)已知函数f(x)则下列说法正确的是()Af(x)的值域是0，1Bf(x)是以为最小正周期的周期函数Cf(x)在区间上单调递增Df(x)在0，2上有2个零点答案AD解析f(x)作出函数f(x)的大致图象如图所示：由图可知f(x)的值域是0，1，故A正确；因为f()|sin |0，f(2)|cos 2|1，所以f(2)f().所以不是f(x)的最小正周期，故B错误；由图可知f(x)在区间上单调递增，在上单调递减，故C错误；由图可知，在0，2上，f()f0，所以f(x)在0，
9、2上有2个零点，故D正确故选AD.21(多选)(2021福建福州高三调研)已知函数f(x)sin (sin x)cos (cos x)，下列关于该函数的结论中正确的是()Af(x)的一个周期是2Bf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的最大值为2Df(x)是区间上的增函数答案ABD解析f(x2)sin sin (x2)cos cos (x2)sin (sin x)cos (cos x)f(x)，故A正确；f(x)sin sin (x)cos cos (x)sin (sin x)cos (cos x)sin (sin x)cos (cos x)f(x)，故B正确；由于sin x1，1，cos x
10、1，1，所以sin (sin x)1，cos (cos x)1，故f(x)sin (sin x)cos (cos x)2，C错误；当x时，sin x(0，1)且单调递增，故ysin (sin x)是区间上的增函数，同理可判断，ycos (cos x)是区间上的增函数，故f(x)是区间上的增函数，D正确22(2021福建厦门高三模拟)用MI表示函数ysin x在闭区间I上的最大值，若正数a满足M0，a2Ma，2a，则M0，a_；a的取值范围为_答案1解析作出函数ysin x的图象，如图所示：显然，M0，a的值为1，M0，a2Ma，2a，Ma，2a的值为，作出直线y与ysin x相交于A，B，C三
11、点，且A，B，C，由图象可得a，故a的取值范围为.一、高考大题1(2021浙江高考)设函数f(x)sin xcos x(xR).(1)求函数y的最小正周期；(2)求函数yf(x)f在上的最大值解(1)因为f(x)sin xcos x，所以fsin cos cos xsin x，所以y(cos xsin x)21sin 2x.所以函数y的最小正周期T.(2)因为fsin cos sin x，所以yf(x)fsin x(sin xcos x)(sin x cos xsin2x)sin .当x时，2x，所以当2x，即当x时，函数yf(x)f在上取得最大值，且最大值为1.2(2019浙江高考)设函数f
12、(x)sin x，xR.(1)已知0，2)，函数f(x)是偶函数，求的值；(2)求函数y的值域解(1)因为f(x)sin (x)是偶函数，所以对任意实数x都有sin (x)sin (x)，即sin x cos cos x sin sin x cos cos x sin ，故2sin x cos 0，所以cos 0.又0，2)，因此或.(2)ysin2sin211cos .因此，所求函数的值域是.二、模拟大题3(2021荆州模拟)已知函数f(x)2sin .(1)求函数f(x)的最大值及相应的x的取值的集合；(2)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心解(1)当sin 1时，2x2k，kZ，即当
13、xk，kZ时，函数f(x)取得最大值，为2；则使函数f(x)取得最大值的x的集合为.(2)由2xk，kZ，得x，kZ.即函数f(x)的图象的对称轴为直线x，kZ.由2xk，kZ，得x，kZ，即函数f(x)的图象的对称中心为，kZ.4(2021安徽亳州高三质量检测)已知函数f(x)cos x(sin xcos x).(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)由题意得f(x)cos x sin xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin .所以f(x)的最小正周期为T，最大值为1.(2)令z2x，则函数ysin z的单调递增区间是
14、，kZ；单调递减区间是，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ；由2k2x2k，得kxk，kZ.设A，B，C.易知AB，AC，所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减5(2021信阳高三阶段考试)已知向量m(sin xcos x，1)，n，设函数f(x)mn，若函数f(x)的图象关于直线x对称且0，2.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)先列表，再用五点法画出f(x)在区间上的大致图象解(1)f(x)(sin xcos x，1)sin x cos xcos2xsin2xcos 2xsin .函数f(x)的图象关于直线x对称，k，kZ，k1，kZ.又0，2，1，f(x)sin .令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.函数f(x)的单调递减区间为，kZ.(2)列表如下：2x0xf(x)01010函数f(x)在区间上的大致图象如图所示