1、福州市八县（市）协作校2021-2022学年第一学期期中联考高二 数学参考答案一、 单选题（本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）12345678CCBDAADB二、多选题（本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）9101112BCDADCDABD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13. 5 14. 15. 16.2 四、解答题（本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分） 2分4分（2） 因为，同
2、理可得， 7分 8分所以 9分所以异面直线与所成角的余弦值为 10分18.（12分）解析（1）方法1：设圆心C的坐标为（a,b)圆心C在直线上，a+b-1=0 1分P，Q是圆上两点，CP=CQ|,即a-b-1=0 3分 4分又由，即圆的半径为， 5分所以圆的标准方程为. 6分又由，所以的垂直平分线的斜率为，.2分联立方程组，解得，即圆心坐标， 4分又由，即圆的半径为， 5分所以圆的标准方程为. 6分方法3：设圆C的方程为：，根据题意得 ,解得 故所求圆C的方程为：； 6分（2）过点的直线与圆相交于两点，且，所以圆心到直线的距离为， 7分当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，则圆心到直线的距离为
3、，符合题意； 8分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得， 10分此时直线的方程为， 11分综上可得，直线的方程为或. 12分19.（12分）【解析】（1），又离心率e2，, 3分a1 E的方程为： 5分（2） 可求焦点为F (2,0), 6分设直线的方程为，, 7分由 得 ， 9分 12分20.（12分）【解析】(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故CDAP，APPDP，CD平面PAD. 3分又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAD. 4分（2）在PAD中，PD=2，AD=1，APD=30，由余弦定理得PA=AD2+PA2=P
4、D2，PAAD 由(1)可知，CD平面PAD，故AB平面PAD. 6分以A为坐标原点，的方向分别为x,y,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 由(1)及已知可得A（0，0,0），P（0,0，），B（1，0,0），D（0，1,0），7分所以（1，0，），(-1，1,0)，(0,1,0) 设n(x，y，z)是平面PBD的一个法向量，则 9分平面PAB的一个法向量为m(0,1,0)， 10分则 所以平面APB与平面BPD所成角的余弦. 12分PCADBxzy （其他解法酌情得分）【注：】如第(1)问中一定要写出判断CD平面PAD的三个条件，写不全则不能得全分，如APPDP一定要有，否
5、则要扣1分；第(2)问中不写出cosm，n这个公式，而直接得出余弦值，则要扣1分。21.（12分）【解析】解：（1）由题意可得，半径， 1分又线段的垂直平分线与线段交于点，所以，则有， 3分所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 4分故轨迹方程为； 5分（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由椭圆的方程可知当时，A,B两点坐标分别为，当时，A，B两点坐标分别为则； 6分当直线的斜率存在时，设的方程为，因为直线与圆相切，所以，即， 7分联立直线和椭圆的方程可得，则， 8分则，所以， 10分中，为定值2 12分H22.（12分）【解析】（1）法一：在三棱锥中，连接，因为是以为斜边的等腰直角
6、三角形，为中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，两两垂直2分在三棱锥中，以为坐标原点，为正交基底，建立空间直角坐标系，则， 3分设平面的一个法向量为则，令z1=4,则， 到平面的距离为 5分（1）法二：在三棱锥中，连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，两两垂直 2分，又，点到平面的距离为 5分（2）法一：坐标法，由（1）建立的坐标系中设，则， 6分设平面的一个法向量为，则，由（1）知平面的一个法向量， 7分因为平面，平面，即，即，又， 9分又平面，是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，令，令，则，在上单调递增，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为12分（2）法二：几何法取BC中点D，连接OD因为O,D分别是AC，BC的中点，所以OD/AB 6分 7分 8分 9分所以与平面所成角的正弦值的取值范围为12分
