1、2016-2017学年河南省郑州一中高二（下）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2“（x1）（x2）=0”是“x1=0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数为（）A0B1C2D0或14两平面，的法向量分别为，若，则y+z的值是（）A3B6
2、C6D125ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知a=，c=2，cosA=，则b=（）ABC2D36过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A10B9C8D67设an的首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A2B2CD8如果log3m+log3n4，那么m+n的最小值是（）A4BC9D189若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）ABCD10已知向量，的夹角为120，且，则等于（）A12BC4D1311已知椭圆与
3、双曲线C2：y2=1（n0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）Amn且e1e21Bmn且e1e21Cmn且e1e21Dmn且e1e2112把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），则第104个括号内各数之和为（）A2036B2048C2060D2072二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13ABC中，B=120，AC=7，AB=5，则ABC的面积为14已知函数f（x）=，则不等式f（x）x2的解集为15已知数列an的通项公式是an=2n48，
4、则Sn取得最小值时，n=16在平面直角坐标系xoy中，椭圆C： +=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1PF2，则PF1F2的面积为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线=1的离心率e（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是18在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若，求A；（2）若sinB=2sinA，求ABC的面积19东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元从今年起，工
5、厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g（n）与科技成本的投入次数n的关系是g（n）=若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f（n）万元（1）求出f（n）的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？20设数列 an的前n项和为Sn，nN*已知a1=1，a2=，a3=，且当n2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn1（1）求a4的值；（2）证明：an+1an为等比数列；（3）求数列an的通项公式21如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=，
6、点F是PB的中点，点E在边BC上移动（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PEAF；（3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45？22已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，其上一点到焦点的最短距离为（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+b与圆相切，且交椭圆C于A，B两点，求当AOB的面积最大时，直线l的方程2016-2017学年河南省郑州一中高二（下）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项
7、符合题目要求.1设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】充要条件【分析】利用菱形的特征以及对角线的关系，判断“四边形ABCD为菱形”与“ACBD”的推出关系，即可得到结果【解答】解：四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”那么菱形的对角线垂直，即“四边形ABCD为菱形”“ACBD”，但是“ACBD”推不出“四边形ABCD为菱形”，例如对角线垂直的等腰梯形，或筝形四边形；所以四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC
8、BD”的充分不必要条件故选：A2“（x1）（x2）=0”是“x1=0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】求出方程的根，关键集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可【解答】解：由（x1）（x20=0，解得：x=1或x=2，故“（x1）（x2）=0”是“x1=0”必要不充分条件，故选：B3若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数为（）A0B1C2D0或1【考点】数列与函数的综合【分析】根据a，b及c为等比数列，得到b2=ac，且ac0，然后表示出此二次函数的根的判别式，判断
9、出根的判别式的符号即可得到二次函数与x轴交点的个数【解答】解：由a，b，c成等比数列，得到b2=ac，且ac0，令ax2+bx+c=0（a0）则=b24ac=ac4ac=3ac0，所以函数f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数是0故选A4两平面，的法向量分别为，若，则y+z的值是（）A3B6C6D12【考点】平面的法向量【分析】由面面垂直的性质得=6+y+z=0，由此能求出y+z【解答】解：平面，的法向量分别为，=6+y+z=0，y+z=6故选：B5ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知a=，c=2，cosA=，则b=（）ABC2D3【考点】余弦定理【分析】由余弦定理可得c
10、osA=，利用已知整理可得3b28b3=0，从而解得b的值【解答】解：a=，c=2，cosA=，由余弦定理可得：cosA=，整理可得：3b28b3=0，解得：b=3或（舍去）故选：D6过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A10B9C8D6【考点】抛物线的简单性质【分析】抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y
11、2）两点|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6|AB|=x1+x2+2=8故选C7设an的首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A2B2CD【考点】等比数列的性质；等差数列的性质【分析】由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1【解答】解：an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，S1=a1，S2=2a11，S4=4a16，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：故选：D8如果log3m+log3n4，那么m+n的最小值是（）A4BC9D18【考点】基本不等式在最值问题中
12、的应用；对数值大小的比较【分析】由m，n0，log3m+log3n4，可得mn34=81再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：m，n0，log3m+log3n4，mn34=81m+n=18，当且仅当m=n=9时取等号m+n的最小值是18故选：D9若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）ABCD【考点】简单线性规划【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离【解答】解：作出平面区域如图所示：当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等联立方程组，解得A（2，1），联立方程组，解得B（1，2）两条平行线分别为y=x
13、1，y=x+1，即xy1=0，xy+1=0平行线间的距离为d=，故选：B10已知向量，的夹角为120，且，则等于（）A12BC4D13【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量的数量积运算公式，即可求出的值【解答】解：向量，的夹角为120，且，则=2=22|cos120=22225（）=13故选：D11已知椭圆与双曲线C2：y2=1（n0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）Amn且e1e21Bmn且e1e21Cmn且e1e21Dmn且e1e21【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质【分析】由题意可得m21=n2+1，即m2=n2+2，由条件可得mn，再由离心率公式，
14、即可得到结论【解答】解：由题意可得m21=n2+1，即m2=n2+2，又m1，n0，则mn，由e12e22=1+1，则e1e21故选：A12把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），则第104个括号内各数之和为（）A2036B2048C2060D2072【考点】归纳推理【分析】括号中的数字个数，依次为1、2、3、4，每四个循环一次，具有周期性，第104个括号是一个周期的最后一个，括号中有四个数，这是第26次循环，最后一个数是2260+1，得出结论【解答】解：由题意知1044=
15、26，第104个括号中最后一个数字是2260+1，2257+1+2258+1+2259+1+2260+1=2072，故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13ABC中，B=120，AC=7，AB=5，则ABC的面积为【考点】正弦定理的应用；余弦定理【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案【解答】解：由余弦定理可知cosB=，求得BC=8或3（舍负）ABC的面积为ABBCsinB=53=故答案为：14已知函数f（x）=，则不等式f（x）x2的解集为1，1【考点】其他不等式的解法【分析】分x小于等于0和x大于0两种情况根据分段函数分别得到f（x）的
16、解析式，把得到的f（x）的解析式分别代入不等式得到两个一元二次不等式，分别求出各自的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集【解答】解：当x0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2x2，即（x2）（x+1）0，解得1x2，所以原不等式的解集为1，0；当x0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2x2，即（x+2）（x1）0，解得2x1，所以原不等式的解集为0，1，综上，原不等式的解集为1，1故答案为：1，115已知数列an的通项公式是an=2n48，则Sn取得最小值时，n=23或24【考点】等差数列的前n项和【分析】由已知得a1a2a3a23a24=0，从而得到Sn取得最小值时，n取
17、23或24【解答】解：数列an的通项公式是an=2n48，a24=22448=0，a1a2a3a23a24=0，Sn取得最小值时，n取23或24，即S23=S24最小故答案为：23或2416在平面直角坐标系xoy中，椭圆C： +=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1PF2，则PF1F2的面积为9【考点】椭圆的简单性质【分析】设出p点的坐标（x1，y1），根据PF1PF2，求出y1，再根据求面积【解答】解：椭圆C： +=1的左、右焦点分别为F1（4，0）、F2（4，0），设P（x1，y1），由已知PF1PF2，所以，即 （4x1，y1）（4x1，y1）=0，x12+y12
18、=16，又因为 +=1，解得，所以，PF1F2的面积故答案为：9三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线=1的离心率e（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是0m，或3m5【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假【分析】根据椭圆的性质，可求出命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题时，实数m的取值范围；根据双曲线的性质，可得命题q：双曲线=1的离心率e（，）为真命题时，实数m的取值范围；进而结合命题p、q中有且只有一个为真命题，得到答案【解答】解：若命题p
19、：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题；则9m2m0，解得0m3，则命题p为假命题时，m0，或m3，若命题q：双曲线=1的离心率e（，）为真命题；则（，），即（，2），即m5，则命题q为假命题时，m，或m5，命题p、q中有且只有一个为真命题，当p真q假时，0m，当p假q真时，3m5，综上所述，实数m的取值范围是：0m，或3m5故答案为：0m，或3m518在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若，求A；（2）若sinB=2sinA，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由正弦定理可得： =，解得sinA=，又ac，则A为锐角，解得A（2）sinB=2si
20、nA，由正弦定理可得b=2a，又22=a2+b22abcos，解得a，b可得ABC的面积S=【解答】解：（1）由正弦定理可得： =，解得sinA=，又ac，则A为锐角，A，A=（2）sinB=2sinA，由正弦定理可得b=2a，又22=a2+b22abcos，解得a=，b=ABC的面积S=19东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g（n）与科技成本的投入次数n的关系是g（n）=若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的
21、年利润为f（n）万元（1）求出f（n）的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）先根据题意可得：第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n，进而可求年利润为f（n） （2）将函数整理成，进而可以利用基本不等式，求出最高利润【解答】解：（1）第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n，所以，年利润为（2）由（1）=（万元） 当且仅当时即n=8 时，利润最高，最高利润为520万元答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元 20设数列 an的
22、前n项和为Sn，nN*已知a1=1，a2=，a3=，且当n2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn1（1）求a4的值；（2）证明：an+1an为等比数列；（3）求数列an的通项公式【考点】数列递推式【分析】（1）直接在数列递推式中取n=2，求得；（2）由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn1（n2），变形得到4an+2+an=4an+1（n2），进一步得到，由此可得数列是以为首项，公比为的等比数列；（3）由是以为首项，公比为的等比数列，可得进一步得到，说明是以为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列an的通项公式【解答】（1）解：当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即，解得：；（2）证
23、明：4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn1（n2），4Sn+24Sn+1+SnSn1=4Sn+14Sn（n2），即4an+2+an=4an+1（n2），4an+2+an=4an+1=数列是以=1为首项，公比为的等比数列；（3）解：由（2）知，是以为首项，公比为的等比数列，即，是以为首项，4为公差的等差数列，即，数列an的通项公式是21如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PEAF；（3）当BE为何值
24、时，PA与平面PDE所成角的大小为45？【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题【分析】（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行由线面平行的判定定理可以证出结论用线面平行的判定定理证明时要注意把条件写全（2） 无论点E在BC边的何处，都有PEAF，可建立空间坐标系设点E（x，1，0），求出两向量PE、AF的坐标，用内积为0证两线垂直（3）求出用E的坐标表示的平面PDE的法向量，由线面角的向量表示公式建立方程求出E的坐标【解答】解：（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行在PBC中，E、F分别为BC、PB的
25、中点，EFPC又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC（2）证明：建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，），D（，0，0），设BE=x（0x），则E（x，1，0），； =（x，1，1）（0，）=0，PEAF（3）设平面PDE的法向量为m=（p，q，1），由，得m=（，1，1）而=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45，所以sin45=，=，得BE=x=或BE=x=+（舍）故BE=时，PA与平面PDE所成角为4522已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，其上一点到焦点的最短距离为（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y
26、=kx+b与圆相切，且交椭圆C于A，B两点，求当AOB的面积最大时，直线l的方程【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由题意ac=，a=b及a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）利用点到直线的距离公式，求得b2=（k2+1），将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，求得丨AB丨的最大值，即可求得直线l的方程【解答】解：（1）设椭圆C：（ab0）右焦点（c，0），解得：a=，b=，c=1，椭圆C的方程为：；（2）y=kx+b与圆相切，则=，则b2=（k2+1），由，消y得（1+3k2）x2+6kbx+3（b21）=0，又=12（3k2b2+1），由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，|AB|2=（1+k2）（x1x2）2，=（1+k2）（x1+x2）24x1x2，=（1+k2）（）24，=3+，=（1+k2）=（1+k2），当k=0时，|AB|2=3，当k0时，丨AB丨2=3+3+（当9k2=，即k=，时“=”成立）|AB|max=2，（SAOB）max=2=，此时b2=1，满足0，直线l的方程y=12017年4月21日
