1、21.1 一元二次方程考点一：一元二次方程的定义：（1）等号两边都是 整式 ，只含有一个 未知数 （一元），并且 未知数的最高次数 是2（二次）的方程，叫做一元二次方程（2）注意以下几点：只含有 一个未知数；未知数的最高次数是 2 ；等号两边都是整式 考点二：一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a0)其中，ax2是 二次项 ，a是 二次项系数 ；bx是 一次项 ，b是一次项系数 ；c是 常数项 考点三：一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的 解 ，也叫做一元二次方程的根方程的解的定义是解方程过程中 验根 的依据将此数代入这
2、个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根题型一：一元二次方程的定义1如果（m3）x2+5x20是一元二次方程，则（）Am0Bm3Cm0Dm32下列方程是关于的一元二次方程的是（）ABCD3下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）ABCD题型二：一元二次方程一般形式4将方程5x2+14x化成ax2+bx+c0的形式，则a，b，c的值分别为（）A5，4，1B5，4，1C5，4，1D5，4，15下列说法正确的是（）A方程8x270的一次项系数为7B一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c0C只有当k0时，方程kx2+3x1x2为一元二次方程D当m
3、取所有实数时，关于x的方程(m2+1)x2mx30为一元二次方程6将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）ABCD题型三：一元二次方程的根7若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（）A5B4C3D28已知x2是一元二次方程的一个解，则m的值是（）A6B6C0D0或69若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（）A1BC1或D一、单选题10下列方程一定是一元二次方程的是（）ABCD11一元二次方程至少有一个根是零的条件是（）A且BC 且 D12已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为（）A4B4C1D413关于的方程 是一元二次方程，则的值为()A
4、-2B2C2D114把一元二次方程化成一般形式，正确的是（）ABCD15关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（）A，B，C，D无法求解16m是方程的根，则代数式的值为（）A2018B2020C2021D202217下列方程x25x2022，一定是关于x的一元二次方程的有（）A1个B2个C3个D4个18已知a是方程x22020x10的一个根，则的值为（）A2017B2018C2019D202019若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（）A2020B2021C2022D2023一：选择题20已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（）A2021B202
5、2C2023D202421若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（）A2022B2020C2019D202122若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（）A0B2C4D623若a是的一个根，则的值是（）A2020B2021C2022D202324不等式组的整数解是一个一元二次方程的两根，则该方程为（）ABCD二、填空题25已知关于的方程，当_时，方程为一元二次方程26若是关于x一元二次方程的一个根，则_27若a是一元二次方程的一个根，则的值是_28下列方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6），其中，一定是关于x的一元二次方程的是_（填序号）29关于的方程的解是，（，均为常数
6、，），则方程的解是_30已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为_31（1）若(m2)x22x+30是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_（2）一元二次方程(m+1)x2+x+m210有一个根为0，则m_三、解答题32如果是关于的一元二次方程的一个根，求及另一个根33已知m是方程x2x3=0的一个实数根，求代数式的值34若关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值35化简求值：已知a是方程 x23x20的一个根，求代数式 的值36已知是方程的一个根，求代数式的值37已知关于x的一元二次方程x2(m+1)x+m+6=0的其中一个根为3（1）求m的值及方程的另一个根；（2）若该方程的两根的
7、值为一直角三角形的两边长，求此直角三角形的第三边长1B【分析】根据一元二次方程的定义判断即可【详解】（m3）x2+5x20是一元二次方程m30m3故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a0)的方程叫做一元二次方程，注意a0这个条件解题的关键是熟记一元二次方程的定义2B【分析】根据一元二次方程的定义判断即可【详解】解：A该方程是分式方程，故本选项不合题意；B该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；C该方程是一元一次方程，故本选项不合题意；D该方程中含有两个未知数，故本选项不合题意；故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，
8、并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程3D【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可【详解】解：A、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本不选项符合题意；C、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、原方程整理得x2+x-3=0是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程4C【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（
9、a0）这种形式叫一元二次方程的一般形式其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项进行分析即可【详解】解：5x2+1=4x可化为5x2-4x+1=0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为5，-4，1故选：C【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式5D【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式可进行求解【详解】解：A、方程8x270的一次项系数为0，故选项错误；B、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c0（a0），故选项错误；C、当k10，即k1时，方程kx2+3x1
10、x2为一元二次方程，故选项错误；D、当m取所有实数时，关于x的方程（m2+1）x2mx30为一元二次方程是正确的故选：D【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键6C【分析】根据一元二次方程定义解答【详解】解：一元二次方程化为一般形式为，二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，-5，-1，故选：C【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记方程的一般形式的特点及各字母的名称是解题的关键7C【分析】把x2代入x2mx+20，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值【详解】解：根据题意，得，即，解得，故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程
11、的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根也考查了解一元一次方程8B【分析】由2是一元二次方程x2 +x+ m = 0的一个解，将x= 2代入方程得到关于m的方程，求出方程的解，即可得到m的值【详解】解：2是一元二次方程x2+x+m=0的一个解，将x = 2代入方程得： 4+ 2+m= 0，解得： m= -6故选：B【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解，即为能使方程左右两边相等的未知数的值9C【分析】将代入中，求出的值，再根据，即可确
12、定的值【详解】将代入中解得这是关于的一元二次方程解得故故答案为：C【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解得定义、一元二次方程的定义是解题的关键10D【分析】根据一元二次方程的定义判断选择即可【详解】A当时，原方程不是一元二次方程，故不符合题意；B原方程整理得：，不是一元二次方程，故不符合题意；C是一元三次方程，故不符合题意；D符合一元二次方程的定义，故符合题意；故选D【点睛】本题考查判断一元二次方程掌握一元二次方程的定义是解题关键11A【分析】将x=0代入原式即可求出c的值，另外注意a0【详解】解：由题意可知：a0，当该方程至少有一个根为0时，将x=0代入ax2+bx+c=0，
13、c=0，综上，一元二次方程ax2+bx+c=0至少有一个根是零的条件是a0且c=0故选：A【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义以及一元二次方程的解12A【分析】将x=0代入方程计算求出k的值即可【详解】因为x=0是一元二次方程的一个根，所以，解得故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键13B【分析】根据一元二次方程的解的定义，即可求解【详解】解：方程 是一元二次方程，且，解得：故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键14A【分析】先把方程的
14、左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为从而可得答案【详解】解：， 方程的一般形式为：故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式： ”是解本题的关键15C【分析】可把方程a(x+m+2)2+b=0看作关于x+2的一元二次方程，从而得到x+2=2，x+2=1，然后解两个一次方程即可【详解】可把方程a(x+m+2)2+b=0看作关于x+2的一元二次方程，而关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2，x2=1，所以x+2=2，x+2=1，所以x1=4，x2=-1故选C【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p0)的
15、一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程16D【分析】根据一元二次方程解的定义得到，然后把整体代入所求式子中求解即可【详解】解：m是方程的根，故选D【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键17B【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可【详解】解：x25x2022，是一元二次方程；，当a=0时不是一元二次方程；，是一元二次方程；，整理后不含二次项，不是一元二次方程，所以，一定是关于x的一元二次方程的是，共2个，故选：B【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+
16、bx+c=0（a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点18C【分析】将a代入方程，得到，即，再利用换元法的思想整体代入代数式求值即可【详解】解：a是方程的一个根，即，故选：C【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，利用换元法的思想是解答本题的关键19A【分析】对一元二次方程变形，设tx2得到，利用的一个根是可得t2022，从而求出x即可【详解】解：对于一元二次方程即，设tx2，则可得，而关于x的一元二次方程的一个根是，所以有一个根为t2022，所以x22022，解得x2020，所以一元二次方程必有一根为x2020，故选：A【点睛】本题
17、考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解20B【分析】把代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可【详解】解：把代入一元二次方程得，故选：B【点睛】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键21D【分析】设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，x=2021【详解】由得到，对于一元二次方程，设，所以，而关于x的一元二次方程有一根为，所以有一个根为，则，解得，所以一元二次方程有一根为故选：D【点睛】本题考查一元二次方程的解掌握换元法解题是解答本题
18、的关键22D【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得4a-b=2，再把变形为2+2（4a-b），最后整体代入求值即可【详解】解：是关于x的一元二次方程的一个根，4a-2-b=0，4a-b=2，故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，将代数式进行适当变形是解答本题的关键23D【分析】由是方程的一个根，得，由此可求得的值【详解】解：是方程的一个根，即，故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键24D【分析】先解不等式组，可得解集为，故整数解为3和4，又因为不等式组的整数解是一个一元二次方程的两根，故方程为，化简得，即可得出
19、结论【详解】解：解不等式得，解不等式得，不等式组的解集为，不等式组的整数解为3，4，不等式组的整数解是一个一元二次方程的两根，方程为，化简得故选D【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解集、一元二次方程的解25【分析】根据一元二次方程的定义，即可求出答案【详解】解：若方程是一元二次方程，；故答案为：；【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握二次项系数不等于0是解题的关键26【分析】直接将方程的解代入方程求解即可【详解】解：将代入方程得：，解得：m=，故答案为：【点睛】本题主要考查已知一元二次方程的解求参数，准确运算是解题的关键276【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案【详
20、解】a是一元二次方程的一个根，故答案为：6【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键28（2）（4）#（4）（2）【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可【详解】解：（1）中未知数的最高次数是1次，因此此方程不是一元二次方程； （2）是一元二次方程； （3）可以变形为，因此原方程不是一元二次方程； （4）中的系数一定不等于0，因此此方程一定是一元二次方程；（5）中分母上含有未知数，是分式方程，不是整式方程；（6）中时，不是一元二次方程；综上分析可知，一定是关于x的一元二次方程的是（2）（4）故答案为：（2）（4）【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义，是解
21、题的关键29【分析】可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，然后解两个一次方程即可【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程，而关于的方程的解是，所以或，所以故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根据换元法得到一元一次方程是解题的关键3012【分析】将根代入一元二次方程，求出c的值即可【详解】解：将x=2代入方程可得：，解得：故答案为：12【点睛】本题主要考查一元二次方程根的定义，将根代入方程求解是解题关键31 m2 1【分析】（1）根据一元二次方程的定义可进行求解；（2）把x0代入方程即可求解【详解】解：（1）方程（m2）x22x+30是关于x的一元二次方程，m20，解得m2故答案
22、为：m2；（2）将x0代入（m+1）x2+x+m210，m210，m1或m1，m+10，m1，故答案为：1【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义及其它的解是解题的关键，注意二次项系数不能为032，另一根为x=1【分析】将x=-2代入解析式即可求出c的值，从而解出另一根【详解】解：x=2，是关于x的一元二次方程的一个根，即，解得：，当c=0时，即，解得，当c=8时，即，解得，故，另一根为x=1【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的解使得方程左右两边相等，能够理解一元二次方程的解是解决本题的关键336【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到
23、m2=m+3，则（m2-m）（m-+1）=（m+3-m），然后合并后进行乘法运算即可【详解】解：m是方程x2-x-3=0的一个实数根，m2-m-3=0，即m2=m+3，（m2-m）（m-+1）=（m+3-m）=3=32=6【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解34m2【分析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可【详解】解：关于x的一元二次方程的常数项为0，解得：【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，熟练掌握其定义是解本题的关键35【分析】将代数式化简成，从已知求得的值，代入求解即可【详解】解：代数式，
24、a是方程的一个根，【点睛】本题考查分式化简求值以及一元二次方程，结合已知条件化简代数式是解题的关键367【分析】由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可【详解】解：是方程的一个根，37（1）m=6，方程的另一根为4；（2）此直角三角形的第三边长为5或【分析】（1）把x=3代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根；（2）分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可【详解】解：（1）把x=3代入方程可得9-3（m+1）+m+6=0，解得m=6，当m=6时，原方程为x2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4，即方程的另一根为4；（2）设此直角三角形的第三边长为a，当4是直角边时，a=；当4是斜边时，a=；故此直角三角形的第三边长为5或
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