1、第二十五讲平面向量的数量积回归课本1.向量的夹角(1)已知两个非零向量a和b,作则AOB=叫做向量a与b的夹角.,OAa OBb(2)向量夹角的范围是0,a与b同向时,夹角=0;a与b反向时,夹角=.(3)如果向量a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作ab.2.向量的投影|a|cos(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.3.平面向量数量积的定义ab=|a|b|cos(是向量a与b的夹角),规定:零向量与任一向量的数量积为0.4.向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(1)ea=ae=|a|cos.(2)ab=ab=0.(3
2、)当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|;特别地,aa=|a|2或|a|=(4)cos=(5)|ab|a|b|.a a.|a ba b5.向量数量积的运算律(1)ab=ba.(交换律)(2)(a)b=(ab)=a(b).(数乘结合律)(3)(a+b)c=ac+bc.(分配律)6.平面向量数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),是a与b的夹角,则cos=121222221122.x xy yxyxy(3)若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
3、,则|a|=这就是平面内两点间的距离公式.(4)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abab=0 x1x2+y1y2=0.221212()(),xxyy考点陪练1.(2010北京)a,b为非零向量,“ab”是“函数f(x)=(xa+b)(xb-a)为一次函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:函数f(x)=x2ab-(a2-b2)x-ab,当函数f(x)是一次函数时必然要求ab=0,即ab,但当ab,|a|=|b|时,函数f(x)不是一次函数,故选B.答案:B2.(2010重庆)已知向量a,b满足ab=0,|a|=1,|b|=2
4、,则|2a-b|=()A.0B.C.4D.8解析:因为|2a-b|2=(2a-b)2=4a2+b2-4ab=4a2+b2=4+4=8,故|2a-b|=,选B.答案:B2 22 23.PABC,PABC()A.B.C.,.DPA PBPB PCPC PA是所在平面上一点 若则 是的外心内心重心 垂心答案:D2112,4.B2().2|2()2().B,|()|OAa OBbOAOBa b aAbB abaa b aba b abCDaa非零向量若点 关于所在直线的对 称点 为则向量为 答案:A(2,1),5.(2011)xOy,ABC,k()A.1B.2C.3D.4(3,),ABACk福建福州质
5、检 直角坐标系中若三角形是直角三角形 则 的可能值的个数是 2(1,1),(1)06,(2)01,(3)0:kk30,0.ABACCBkAB ACkAB CBkAC CB 解析由得方程无解答案:B类型一数量积的性质及运算解题准备:1.数量积的运算要注意a=0时,ab=0,但ab=0时不能得到a=0,或b=0,因为ab时,也有ab=0.2.若a、b、c是实数,则ab=acb=c(a0);但对于向量,就没有这样的性质,即若向量abc满足ab=ac(a0),则不一定有b=c,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量.11ABC,|5,|4,|3_.,ABACBCAB BCBC CACA
6、 AB【典例】已知中则的值是2,()2|5.BCCAAB BCCA ABAB BCCAAB解析由已知可得故原式答案-25(2)设abc是任意的非零向量,且互不共线.给出以下命题:(ab)c-(ca)b=0;|a|-|b|a-b|;(bc)a-(ca)b不与c垂直;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中是真命题的是_.解析对于只有当向量b,c的方向相同时,二者才相等所以错;考虑式对应的几何意义,由三角形两边之差小于第三边知正确;由(bc)a-(ca)bc=0知(bc)a-(ca)b与c垂直,故错;向量的乘法运算符合多项式乘法法则,所以正确.所以正确命题的序号是.答案类型二利用
7、数量积解决长度、垂直问题解题准备:常用的公式与结论有:221122122212222;()2aaa aa|ab|ax,y,a,.aba b0(a,b);ax,y,bx,y,abx xy y0.;.a aaabaaobbxy或若则其中两个公式应用广泛 需重点把握均为非零向量设则【典例2】已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120.(1)计算|a+b|,|4a-2b|;(2)当k为何值时,(a+2b)(ka-b)?分析利用|a|=及abab=0即可解决问题.解由已知,ab=48=-16.(1)|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-16)+64=48,|a+b|=.|4a-2b|2=1
8、6a2-16ab+4b2=1616-16(-16)+464=3162.|4a-2b|=.a a1()24 316 3(2)若(a+2b)(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0,ka2+(2k-1)ab-2b2=0.16k-16(2k-1)-264=0,k=-7.类型三利用数量积解决夹角问题解题准备:1.涉及到与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角公式解决,这也是平面向量数量积的一个重要考点.1 1222222121212122.cosa,baa,a,bb,b,cosa;|b.,|a ba ba ba baabb设则3.在应用上述公式求夹角时,要考虑夹角的取值范围.【典例3】已知ab都是非零
9、向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a与a+b的夹角.分析由公式cos=可知,求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积.本题中|a|=|b|=|a-b|的充分利用是求数量积的关键,考虑怎样对条件进行转化.|aba b、解解法一:由|a|=|b|=|a-b|得,|a|2=|b|2,|b|2=a2-2ab+b2,所以ab=a2.而|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=2|a|2+2|a|2=3|a|2,所以|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为,则cos=由于0180,所以=30.121232221()32,|23|aaa aba aba:(,),(,),|,|,|1(2,).1122222
10、222222222211221122121222121211ax ybxyababababa2a bbxyxyxyxy2x x2y yx xy yxy解法二 设由得所以即22112222111122221111|()()(),aab,3.1()()32cos0180,3,|0.|23xyxyxyao aba abxyxy22212122222221122121211abxxyyxyxy2x x2y y3 xyab所以故设 与的夹角为则由于 所以反思感悟(1)求两个向量的夹角,需求得ab及|a|,|b|或得出它们的关系,注意夹角的取值范围是0,180.正确理解公式是关键.(2)向量有两种表示形式
11、,即坐标法和几何法,解题时要灵活选择.本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答此类题目显得更加简捷和直观.错源一利用点平移与向量平移设置陷阱【典例1】已知A(3,7),B(5,2),将按向量a=(1,2)平移后所得向量的坐标是()A.(1,7)B.(2,-5)C.(10,4)D.(3,-3)AB错解因为A(3,7),B(5,2),所以=(2,-5),将x=2,y=-5及h=1,k=2,代入平移公式,得x=2+1=3,y=-5+2=-3,故按向量a平移后所得向量坐标是(3,-3),选D.剖析平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关系,它并不适合向量平移规律.上述错误是典型的乱用公式
12、.ABAB正解因向量平移后仍与原向量相等.故故选B.答案B(2,5),A BAB 错源二利用平移前后的解析式设置陷阱【典例2】将函数y=f(x)的图象按向量a平移,使图象上的点A的坐标由(2,3)变为(3,5),则平移后图象的解析式为()A.y=f(x-1)+2 B.y=f(x-1)-2C.y=f(x+1)+2D.y=f(x+1)-2A2,33,5,a32,531,2,y2f x11,2,D.xxyy 错解 因为点 的坐标由变为所以由平移公式得所以选剖析上述错误是把点的平移与图象的平移混为一谈.a32,531,2,P x,yyf x,P(x,y),yf x,y2f x1,x,yx,y,y2f
13、x1,1,21,A.,2,xxxxyyyy正解设为的图象上任意一点 平移后的对应点为由平移公式得则将它们代入中 得习惯上将上式中的写作即故选答案A错源三利用平移方向设置陷阱【典例3】将y=2x-6的图象按向量a平移后,得到y=2x的图象,那么a=_.错解因为y=2x-6=2(x-3),所以要得到y=2x的图象,只需将y=2x-6的图象沿着x轴向左平移3个单位长度,故a=(-3,0);又y=2x的图象可以看作将y=2x-6的图象沿着y轴向上平移6个单位长度得到的,故a=(0,6),所以向量a=(-3,0)或(0,6).剖析上述错误是对图象平移的定义没有弄清所致,根据图象平移的定义可知,图象的平移
14、就是将图象F上所有点按照同一方向,移动同样长度,得到图象F.此处它只需按照同一方向,而没有要求一定是水平或竖直的移动.正解设a=(h,k),P(x,y)是函数y=2x-6的图象上任意一点,它在函数y=2x的图象上的对应点为P(x,y),由平移公式得将它们代入y=2x-6中,得y-k=2(x-h)-6,即y=2x-2h-6+k,所以平移后函数解析式为y=2x-2h-6+k,因为y=2x-2h-6+k与y=2x为同一函数,所以-2h-6+k=0,即k=2h+6,因此,所求向量a=(h,2h+6)(hR).答案(h,2h+6)(hR),xxhyyk ,xxhyyk错源四误用实数的运算律或运算法则而致
15、错【典例4】已知a,b都是非零向量,且向量a+3b与7a-5b垂直,向量a-4b与7a-2b垂直,求向量a与b的夹角.2222(3)(75)0,(4)(72)0,716150,73080,ababababaa bbaa bb错解由题意得即两式相减得46ab-23b2=0,即b(2a-b)=0,所以b=0(舍去)或2a-b=0,由2a-b=0知a与b同向,故向量a与b的夹角为0.剖析本题误用实数的运算性质,即实数a,b若满足ab=0则必有a=0或b=0,但对于向量a,b若满足ab=0,则不一定有a=0或b=0,因为由ab=|a|b|cos知与有关,当=90时,ab=0恒成立,此时a,b均可以不为
16、0.正解由前知b2=2ab,代入7a2+16ab-15b2=0得a2=2ab,所以a2=b2=2ab,故cos=则两向量的夹角=60.221|12,|2aa baba评析向量的数量积与实数的积有着本质上的区别,其主要表现为运算律或运算法则上的区别,因此解答向量的数量积时,不要受到实数积形成的定势思维的影响.技法一方程思想7 117,2 22243434 3.,.,55555 52 212 212 2 1.,.1,1(),.333333abABCD【典例】与向量的夹角相等 且模为 的向量是 或或22227 117,(,),(,),2 222|1,1.71172222144,5533,.5ex,B
17、5y.x yx ya eb eexyxyxyxyxxyy 解析 设满足题意的向量则即解之得或故选答案B 方法与技巧本题考查的是单位向量问题,有关单位向量的求解常常根据题设构造方程组,通过解方程组求解.技法二分类讨论思想【典例2】已知|a|=4,|b|=5,当ab时,求a与b的数量积.解题切入点已知|a|=4,|b|=5,求ab,只需确定其夹角.注意到ab时,有=0和=180两种可能,故需分类讨论.解因为ab,故当a与b同向时,=0,ab=|a|b|cos0=20;当a与b反向时,=180,所以ab=|a|b|cos180=-20.方法与技巧对问题分类讨论时,要分类完整,做到不重不漏.技法三整体思想【典例3】若向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,则ab+bc+ca=_.解题切入点直接运用公式求解,需确定出a与b,b与c,a与c的夹角,这是解题的一个难点,可考虑运用变形公式整体求解.解析因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),所以ab+bc+ca=-13.答案-132222222()()20(314)2abcabc方法与技巧本题是利用(a+b)2=a2+2ab+b2推广到(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),通过整体变形来解决问题.