1、课时过关检测(十四) 导数与函数的单调性A级基础达标1下列函数中，在(0，)内为增函数的是()Af(x)sin 2xBf(x)xexCf(x)x3xDf(x)xln x解析：B由于x0，对于A选项，f(x)2cos 2x，f10，符合题意；对于C选项，f(x)3x21，f0，不符合题意；对于D选项，f(x)1，f(2)0，不符合题意综上所述，选B2“m4”是“函数f(x)2x2mxln x在(0，)上单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：A若f(x)2x2mxln x在(0，)上单调递增，则f(x)4xm0对任意的x(0，)恒成立，4xm对任意的
2、x(0，)恒成立，即mmin，而4x24，当且仅当x时等号成立，则m4“m4”是“函数f(x)2x2mxln x在(0，)上单调递增”的充分不必要条件故选A3已知函数f(x)的导函数为f(x)，且函数f(x)的图象如图所示，则函数yxf(x)的图象可能是()解析：C由图可知函数f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，则当x(，1)时，f(x)0，且f(1)0对于函数yxf(x)，当x(，1)时，xf(x)0，当x(1,0)时，xf(x)0，且当x1时，xf(x)0，当x0时，xf(x)0，显然选项C符合，故选C4若函数yf(x)在区间D上是增函数，且函数yf(x)在区间D上也是增函
3、数(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，那么称函数yf(x)是区间D上的“快增函数”，区间D叫做“快增区间”则函数f(x)sin2x2sin x在区间0，上的“快增区间”为()ABC D解析：Af(x)sin2x2sin x，x0，所以f(x)2sin xcos x2cos x2cos x(sin x1)，因为sin x10恒成立，当x时cos x0，所以f(x)0，所以f(x)为增函数，当x时cos x0，所以f(x)0时，f(x)1，则使得f(x)x成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)解析：B由f(x)1(x0)，可得f
4、(x)10，令g(x)f(x)x，则g(x)f(x)10，故g(x)在(0，)上单调递增因为f(1)1，所以g(1)f(1)10，又因为f(x)为奇函数，所以g(x)f(x)x为奇函数，所以g(1)0，且在区间(，0)上g(x)单调递增所以使得f(x)x，即g(x)0成立的x的取值范围是(1,0)(1，)故选B6(多选)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f(x)，g(x)为其导函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0且g(3)0，则使得不等式f(x)g(x)0成立的x的取值范围是()A(，3)B(3,0)C(0,3)D(3，)解析：BDf(x)，g(x)分别是定义
5、在R上的奇函数和偶函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，令h(x)f(x)g(x)，则h(x)h(x)，故h(x)f(x)g(x)为R上的奇函数，当x0时，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，h(x)f(x)g(x)在区间(，0)上单调递减，奇函数h(x)在区间(0，)上也单调递减，作出h(x)的草图，如图所示：由g(3)0，h(3)h(3)0，当x(3,0)(3，)时，h(x)f(x)g(x)0，故选B、D7(多选)下面比较大小正确的有()AB3ln 4ln D3eln 3解析：BC根据题意可构造函数f(x)，则f(x)，由于函数yln x在(0，)上单调递增，且ln e1，从而
6、当0e时，f(x)0，则函数f(x)在(e，)上单调递减，又02e34，所以f(2)f(3)f()f(4)，即，故，选项A错；3ln 4ln ，选项C正确；3eln 3，选项D错故选B、C8函数f(x)ln xx2x的单调增区间为_解析：f(x)x1，x(0，)，由f(x)0，得解得0x0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增综上，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；当0a0时，f(x)2x30，f(x)的值域
7、是(0，)答案：x2(x0)(答案不唯一)13已知函数f(x)x22aln x(a2)x(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数g(x)f(x)ax在(0，)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解：(1)当a1时，f(x)x22ln x3x，则f(x)x3(x0)当0x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)0时恒成立，所以a(x22x)(x1)2在x0时恒成立令(x)(x1)2，x(0，)，则其最小值为所以当a时，g(x)0恒成立又当a时，g(x)，当且仅当x1时，g(x)0故当a时，g(x)f(x)ax在(0，)上单调递增C
8、级迁移创新14定义方程f(x)f(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”(1)设f(x)cos x，则f(x)在(0，)上的“新驻点”为_；(2)如果函数g(x)exx与h(x)ln(x1)的“新驻点”分别为，那么和的大小关系是_解析：(1)f(x)cos x，f(x)sin x，根据“新驻点”的定义得f(x)f(x)，即cos xsin x，可得tan x1，x(0，)，解得x，函数f(x)cos x在(0，)上的“新驻点”为；(2)g(x)exx，则g(x)ex1，根据“新驻点”的定义得g()g()，即1h(x)ln(x1)，则h(x)，由“新驻点”的定义得h(x)h(x)，即ln(
9、x1)，构造函数F(x)ln(x1)，则函数yF(x)在定义域上为增函数，F(0)10，F()0，由零点存在定理可知，(0,1)，答案：(1)(2)15已知函数f(x)，若f(x)m有两个不相等的实数根x1，x2，证明x1x2e2证明：函数f(x)，定义域为(0，)，f(x)，当f(x)0时，0xe；当f(x)e，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，则f(x)max且xe时，有f(x)0，所以若f(x)m有两个不相等的实根x1，x2，有0m，不妨设x1x2，有0x1ee2，只需证x2，且x2e，又f(x1)f(x2)，所以只需证f(x1)f，令F(x)f(x)f(0xe)，则F(x)f(x)f(1ln x)，当0x0，0，所以F(x)0，即F(x)在(0，e)上单调递增，且F(e)0，所以F(x)0恒成立，所以f(x1)e2得证