1、考点测试14函数与方程高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、高等难度考点研读结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数一、基础小题1下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()答案C解析能用二分法求零点的函数必须在给定区间a，b上连续不断，并且有f(a)f(b)0.A，B中不存在f(x)0，D中函数不连续故选C.2函数f(x)2x的零点x0所在的区间为()A(1，0) B(0，1)C(1，2) D(2，3)答案C解析f(x)在区间(1，)上是增函数，且f(1)10，f(x)的零点x0(1，2).故选C.3已知函数f(x
2、)log3x，若x0是函数f(x)的零点，且0x1x0，则f(x1)的值()A恒为正值 B等于0C恒为负值 D不大于0答案A解析因为函数f(x)log3x在(0，)上是减函数，所以当0x1f(x0).又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)0，所以f(x1)0，即此时f(x1)的值恒为正值故选A.4用二分法研究函数f(x)x58x31的零点时，第一次经过计算得f(0)0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A(0，0.5)，f(0.125) B(0.5，1)，f(0.875)C(0.5，1)，f(0.75) D(0，0.5)，f(0.25)答案D解析f(x)x58x31，
3、f(0)0，f(0)f(0.5)0，所以g(x)exx2在R上是增函数，g(1)10，所以函数g(x)exx2在R上有一个零点即方程x2ex在R上有一个实数根故选B.6已知自变量和函数值的对应值如下表：则方程lg x的一个根位于区间()A(1.2，1.4) B(1.6，1.8)C(1.8，2.0) D(2.2，2.4)答案C解析令f(x)，g(x)lg x，因为f(1.8)0.287，g(1.8)0.255，f(2.0)0.250，g(2.0)0.301.令h(x)lg x，则h(1.8)0，h(2.0)0时，f(x)2x6lg x，则f(x)0的解等价于函数y62x与ylg x的图象在x0时
4、的交点的横坐标，作出函数y62x与ylg x的图象如图所示由图可知，此时两图象有一个交点，故x0时，f(x)0有一个解综上，f(x)共有两个零点故选C.8已知函数f(x)则使函数g(x)f(x)xm有零点的实数m的取值范围是()A0，1)B(，1)C(，1(2，)D(，0(1，)答案D解析函数g(x)f(x)xm的零点就是方程f(x)xm的根，画出h(x)f(x)x的大致图象(图略).观察它与直线ym的交点，得知当m0或m1时，有交点，即函数g(x)f(x)xm有零点.9(多选)已知函数f(x)e|x|x|，则关于x的方程f(x)k的根的情况，下列结论正确的是()A当k1时，方程有一个实根B当
5、k1时，方程有两个实根C当k0时，方程有一个实根D当k1时，方程有实根答案ABD解析方程f(x)k化为e|x|k|x|，设y1e|x|，y2k|x|.y2k|x|表示斜率为1或1的折线，折线与曲线y1e|x|恰好有一个公共点时，k1.如图，若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，).故选ABD.10(多选)已知函数f(x)若x1x2x3x4，且f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，则下列结论正确的是()Ax1x21Bx3x41C1x42D0x1x2x3x41答案BCD解析画出函数f(x)的大致图象如右图，得出x1x22，log2x3log2x4，则x3x41，A
6、不正确，B正确；由图可知1x42，C正确；因为2x11，x1x2x1(2x1)x2x1(x11)21(0，1)，所以x1x2x3x4x1x2(0，1)，D正确故选BCD.11已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是_答案(2，1)解析函数f(x)的大致图象如图所示，则f(1)0，即1(a21)a20，得2a1.故实数a的取值范围是(2，1).12已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x)f(2x)0，且当x(0，1)时，f(x)x2，则f(1)_；若g(x)f(x)lg x，则函数g(x)的零点共有_个答案05解析由f(x)f(2x)0
7、，令x1，则f(1)f(1)0，解得f(1)0；由f(x)f(2x)0，得f(2x)f(x)，因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(x)f(x)，则f(2x)f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数，g(x)的零点个数即函数yf(x)与ylg x图象的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，由图可知两函数的图象有5个交点，即函数g(x)的零点共有5个二、高考小题13(2021天津高考)设aR，函数f(x)若f(x)在区间(0，)内恰有6个零点，则a的取值范围是()A. BC D答案A解析因为x22(a1)xa250最多有2个根，所以cos (2x2a)0至少有4个
8、根，由2x2ak，kZ可得xa，kZ，由0aa可得2ak.当xa时，当52a4时，f(x)有4个零点，即a；当62a5，f(x)有5个零点，即a；当72a6，f(x)有6个零点，即a；当xa时，f(x)x22(a1)xa25，4(a1)24(a25)8(a2)，当a2时，2时，令f(a)a22a(a1)a252a50，则2时，f(x)有1个零点综上，要使f(x)在区间(0，)内恰有6个零点，则应满足或或则可解得a的取值范围是.14(2020天津高考)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)|kx22x|(kR)恰有4个零点，则k的取值范围是()A(2，)B(0，2)C(，0)(0，2)D(，0)
9、(2，)答案D解析注意到g(0)0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|kx2|恰有3个实根即可，令h(x)，即y|kx2|与h(x)的图象有3个不同交点因为h(x)当k0时，y2，如图1，y2与h(x)的图象有1个交点，不满足题意；当k0时，如图2，y|kx2|与h(x)的图象恒有3个不同交点，满足题意；当k0时，如图3，当ykx2与yx2的图象相切时，联立方程得x2kx20，令0得k280，解得k2(负值舍去)，所以k2.综上，k的取值范围为(，0)(2，).故选D.15(2019全国卷)函数f(x)2sin xsin 2x在0，2的零点个数为()A2 B3 C4 D5答案B解析令f(
10、x)0，得2sin xsin 2x0，即2sin x2sin x cos x0，2sin x(1cos x)0，sin x0或cos x1.又x0，2，由sin x0得x0，或2，由cos x1得x0或2.故函数f(x)的零点为0，2，共3个故选B.16(2019天津高考)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)xa(aR)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A BC1 D1答案D解析如图，分别画出两函数yf(x)和yxa的图象(1)先研究当0x1时，直线yxa与y2的图象只有一个交点的情况当直线yxa过点B(1，2)时，2a，解得a.所以0a.(2)再研究当x1时，直线yxa与y的图象只
11、有一个交点的情况：相切时，由y，得x2，此时切点为，则a1.相交时，由图象可知直线yxa从过点A向上移动时与y的图象只有一个交点过点A(1，1)时，1a，解得a.所以a.结合图象可得，所求实数a的取值范围为1故选D.17(2019浙江高考)设a，bR，函数f(x)若函数yf(x)axb恰有3个零点，则()Aa1，b0 Ba0Ca1，b1，b0答案C解析由题意，bf(x)ax设yb，g(x)即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论.当a0，可知g(x)在(，0)上单调递增；由g(x)x2(a1)xxx(a1)(x0)，a11，即a10时，因为g(x)xx(a1)(x0)，所以当x0时，
12、由g(x)0可得0x0可得xa1，所以当x0时，g(x)在(0，a1)上单调递减，g(x)在(a1，)上单调递增如图，直线yb与yg(x)(x0)的图象至多有2个交点当1a0，即1a1时，由图象可得，若要yg(x)的图象与直线yb有3个交点，必有b0；当1a0时，yg(x)的图象与直线yb可以有1个、2个或无数个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去；当1a1时，yg(x)的图象与直线yb可以有1个或2个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去综上，1a1，b0.故选C.18(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(
13、)A1，0) B0，)C1，) D1，)答案C解析画出函数f(x)的图象，再画出直线yx并上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数f(x)的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线与函数f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)xa有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足a1，即a1.故选C.19(2021北京高考)已知函数f(x)|lg x|kx2，给出下列四个结论：若k0，则f(x)有两个零点；k0，使得f(x)有一个零点；k0，使得f(x)有三个零点以上正确结论的序号是_答案解析对于，当k0时，由f(x)|lg x|20，可得x或x100，正确；对于，考查直线ykx2与
14、曲线ylg x(0x1)相切于点P(t，lg t)，对函数ylg x求导得y，由题意可得解得所以存在klg e0，使得f(x)只有一个零点，正确；对于，当直线ykx2过点(1，0)时，k20，解得k2，所以当lg ek2时，直线ykx2与曲线ylg x(0x1)有两个交点，若函数f(x)有三个零点，则直线ykx2与曲线ylg x(0x1)有一个交点，所以此不等式无解，因此，不存在k1)相切于点P(t，lg t)，对函数ylg x求导得y，由题意可得解得所以当0k时，函数f(x)有三个零点，正确20(2018浙江高考)已知R，函数f(x)当2时，不等式f(x)0的解集是_；若函数f(x)恰有2个
15、零点，则的取值范围是_答案(1，4)(1，3(4，)解析当2时，不等式f(x)0等价于或即2x4或1x2，故不等式f(x)4.两个零点为1，4，由图可知，此时13.综上，的取值范围为(1，3(4，).三、模拟小题21(2022辽宁葫芦岛协作校高三第一次考试)已知a是函数f(x)ln xx22的零点，则ea1a5的值为()A正数 B0C负数 D无法判断答案C解析f(x)ln xx22在(0，)上单调递增，f(1)0，故a(1，2).又因为g(x)ex1x5在(1，2)上单调递增，且g(2)e250，故ea1a50.22(2021山东济南模拟)根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个根所在的
16、区间为(k，k1)(kN)，则k的值为()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A.1 B0 C1 D2答案C解析令f(x)exx2，由表格知f(1)0，方程exx20的一个根所在的区间是(1，2)，故k1.故选C.23(2022福建晋江磁灶中学高三阶段测试(一)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)1f(x)m0恰有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是()A(1，2) B(1，5)C(2，3) D(2，5)答案A解析由f(x)1f(x)m0，得f(x)1或f(x)m，作出yf(x)的图象，如图所示，由图可知，方程f(x)1有2个实根，故方程f(x)m有3个实根，
17、故实数m的取值范围为(1，2).故选A.24(多选)(2022湖南省长沙市麓山国际实验学校高三第一次月考)已知函数f(x)若函数f(x)存在零点，则的取值可能为()A2 B C D答案CD解析函数f(x)存在零点，f(x)0有解，x0，sin 0，是的可能取值故选CD.25(多选)(2021海口模拟)定义域和值域均为a，a(常数a0)的函数yf(x)和yg(x)的图象如图所示，下列四个结论中正确的是()A方程f(g(x)0有且仅有三个解B方程g(f(x)0有且仅有三个解C方程f(f(x)0有且仅有九个解D方程g(g(x)0有且仅有一个解答案AD解析根据函数的图象，函数f(x)的图象与x轴有三个
18、交点，所以方程f(g(x)0有且仅有三个解；函数g(x)在区间a，a上单调递减，所以方程g(g(x)0有且仅有一个解故选AD.26(多选)(2021福建省漳州三中高三模拟)已知函数f(x)以下结论中正确的是()Af(x)在区间4，6上是增函数Bf(1)f(2021)4C若方程f(x)kx1恰有3个实根，则k1D若函数yf(x)b在(，6)上有6个零点xi(i1，2，3，4，5，6)，则i6答案BC解析由题意可知当x3时，f(x)是以3为周期的函数，故f(x)在4，6上的单调性与f(x)在2，0上的单调性相同，而当x0时，f(x)，f(x)在2，0上不单调，故A错误；又f(2021)f(1)2，
19、故f(1)f(2021)4，故B正确；若直线ykx1经过点(3，0)，则k.若直线ykx1与yx23x(x0)相切，则消元可得，x2(3k)x10，令0可得(3k)240，解得k1或k5.当k1时，x1，当k5时，x1(舍去)，故k1.若直线ykx1与yf(x)在(0，3)上的图象相切，由对称性可得k1.方程f(x)kx1恰有3个实根，故直线ykx1与yf(x)的图象有3个交点，1k或k1，故C正确；作出yf(x)的函数图象如图所示：由于yf(x)b在(，6)上有6个零点，故直线yb与yf(x)的图象在(，6)上有6个交点不妨设xixi1，i1，2，3，4，5.由图象可知x1，x2关于直线x对
20、称，x3，x4关于直线x对称，x5，x6关于直线x对称i2229，故D错误27(2022河北石家庄第一中学高三教学质量检测(一)函数f(x)若方程f(x)a恰有3个不同的实数解，记为x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_答案解析作出函数f(x)的图象，如图根据题意以及图象可知，要使方程f(x)a恰有3个不同的实数解，则1a2，不妨设x1x2x3，根据对称性可知x2x3，而12x12，则1x10，则1x1x2x3，所以x1x2x3的取值范围是.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2021甘肃兰州高三模拟)已知函数f(x)x22x，g(x)(1)求g(f(1)的值；
21、(2)若方程g(f(x)a0有4个实数根，求实数a的取值范围解(1)g(f(1)g(3)312.(2)令f(x)t，则原方程化为g(t)a，易知方程f(x)t在t(，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数yg(t)(t1)的图象与直线ya有2个不同的交点，作出函数yg(t)(t1)的图象如图所示，由图象可知，当1a时，函数yg(t)(t0)，若h(x)有三个零点，求实数a的取值范围解(1)若xR，f(x)0，即x2ax0对任意xR成立，则有a2410，解得1a1，即实数a的取值范围是1，1.(2)当x1时，g(x)ln x0，h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，所以h(x)在(1，)上无零点，由题意，得h(x)在(0，1上有三个零点，f(1)a，g(1)0，若f(1)g(1)，则a，h(1)g(1)0，即1是h(x)的一个零点；若f(1)g(1)，则a，h(1)f(1)0，由题意，得1是h(x)的一个零点，且f(x)x2ax在(0，1)上有两个零点，所以a，且解得a1.综上，实数a的取值范围是.