1、数学试卷一、单选题（共20题；共20分）1.若复数z为纯虚数且（1+i）z=ai（其中i是虚数单位，aR），则|a+z|=（ ） A.B.C.2D.2.i为虚数单位，若复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，则实数m=（ ） A.1B.1C.D.23.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10轮每轮罚球30个命中个数的茎叶图如下若10轮中甲、乙的平均水平相同，则乙的茎叶图中x的值是( )A.3B.2C.1D.44.已知函数 ， 若,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.5.设O，A，B，M为平面上四点， = +（1） ，（0，1），则（） A.点M在线段AB上B.点B在线段AM上C.点A在线段
2、BM上D.O，A，B，M四点共线6.已知点P（ ， ）在角的终边上，且0，2），则的值为（ ） A.B.C.D.7.已知定义在R上的函数 恒成立，则不等式 的解集为（ ） A.B.C.D.8.已知椭圆 ，双曲线 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为 ，双曲线N的离心率为 ，则 为（ ） A.B.C.D.9.已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 ，左、右焦点分别是 ，在线段 上有且只有一个点 满足 ，则椭圆的离心率的平方为（ ） A.B.C.D.10.组合数恒等于（）A.B.C.D.11.已知函数 .若 ， ，则函数 在 上的零点之和为
3、（ ） A.B.C.D.12.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A.5B.6C.7D.813.已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与圆 相切于点 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ） A.B.2C.3D.14.设数列 满足 ，且 ，若 表不不超过 的最大整数，则 （ ） A.2015B.2016C.2017D.201815.若 ，则 （ ） A.B.C.D.16.如图是函数 的部分图象，则函数 的零点所在的区间是（ ）A.B.C.D.17.已知函数 只有一个零点，则实数 的取值范围为（ ） A.B.C.D.18.将个正整数、（）任意排成行列的数表.对于某一个数表,计算
4、各行和各列中的任意两个数、（）的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当时, 数表的所有可能的“特征值”最大值为（ ）A.B.C.D.19.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了 ( ) A.600天B.800天C.1000天D.1200天20.已知约束条件对应的平面区域如图所示，其中对应的直线方程分别为： ， 若目标函数仅在点处取到最大值，则有( )A.B.C.D.或二、填空题（共6题；共10分）21.如图所示,正方体
5、的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_22.已知数列 满足 ，若 ，则数列 的通项 _ 23.设为钝角，若sin（+ ）= ，则cos的值为_ 24.设an是首项为a1 ， 公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1 ， S2 ， S4成等比数列，则a1的值为_ 25.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan ，则该正四棱柱的高等于_26.在 ，点M是ABC外一点，BM=2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为_ 三、解答题（共9题；共70分）27.某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个
6、用户,根据 用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频率分布表满意度评分分组50，60)50，60)50,60)50,60)50,60)频数2814106（1）（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分 散 程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B地区用户满意度评分的频率分布直方图（2）（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非
7、常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.28.已知函数f（x）=2 sin（x）cosx+2cos2x+a1 （）求f（x）的最小正周期；（）若f（x）在区间 ， 上的最大值与最小值的和为2，求a的值29.在ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin（AB）= sinAcosB sinBcosA （1）求证：A=B； （2）若A= ，a= ，求ABC的面积 30.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为 （为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=sin （）求曲线C1的极坐标方程及曲线C2的直角坐标方程；
8、（）已知曲线C1 ， C2交于O，A两点，过O点且垂直于OA的直线与曲线C1 ， C2交于M，N两点，求|MN|的值 31.已知函数f（x）= mx2-lnx-1，f（x）是f（x）的导函数。 （1）当m=0时，求f（x）的单调减区间； （2）若f（x）存在两个不同的零点x1 ， x2。 求实数m的取值范围；求证：f（x1）+f（x2）0。32.已知函数 （1）解不等式 ； （2）若函数 存在零点，求 的求值范围 33.已知椭圆 的右焦点为F.直线 被称作为椭圆C的一条准线.点P在椭圆C上(异于椭圆左、右顶点)，过点P作直线 与椭圆C相切，且与直线 相交于点Q. （1）求证： . （2）若点P
9、在x轴的上方， ，求 面积的最小值. 34.已知函数 . （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）若函数 在区间 有两个零点，分别为 ，求证： . 35.已知函数 . （1）证明：当 时， ； （2）若函数 有三个零点，求实数 的取值范围. 答案解析部分一、单选题1.【答案】A 2.【答案】D 3.【答案】 A 4.【答案】 A 5.【答案】 A 6.【答案】 C 7.【答案】D 8.【答案】 B 9.【答案】B 10.【答案】 D 11.【答案】 B 12.【答案】 C 13.【答案】D 14.【答案】 B 15.【答案】 C 16.【答案】 B 17.【答案】D 18.【答案】 D 19
10、.【答案】 B 20.【答案】 B 二、填空题21.【答案】 22.【答案】 23.【答案】 24.【答案】 25.【答案】 26.【答案】2 三、解答题27.【答案】 （1）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，A地区用户满意度评分比较分散。（2）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 28.【答案】 解：（I）函数f（x）=2 sin（x）cosx+2cos2x+a1= sin2x+cos2x+a =2 +af（x）的最小正周期T= =（II）x ， ， 2x+ ， f（x）a1，a
11、+2a1+a+2=2，解得a= 29.【答案】 （1）证明：sin（AB）= sinAcosB sinBcosA， sinAcosBcosAsinB= sinAcosB sinBcosA，利用正弦定理可得：acosBbcosA= cosB cosA，化为：cosA=cosB，又A，B（0，），A=B（2）解：A=B，b=a= c=2bcosA=2 cos ，SABC= bcsinA= 2 cos sin =3sin =3sin =3 = 30.【答案】解：（I）曲线C1的参数方程为 （为参数）， 利用平方关系可得：（x1）2+y2=1，化为x2+y22x=0利用互化公式可得：曲线C1的极坐标方
12、程为22cos=0，即=2cos曲线C2的极坐标方程为=sin，可得：2=sin，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=y（II）联立 ，可得tan=2，设点A的极角为，则tan=2，可得sin= ，cos= ，则M ，代入=2cos，可得：1=2cos =2sin= N ，代入=sin，可得：2=sin =cos= 可得：|MN|=1+2= 31.【答案】 （1）解：当m=0时，f（x）=-lnx-1，f（x）= ，因为函数f（x）的定义域为（0，+），故f（x）= 0在（0，+）上恒成立，所以f（x）的单调减区间为（0，+）。（2）解：f（x）=mx- = （）当m0时，由f（x）0时
13、，由f（x）=0，得x= 。当0x 时，f（x） 时，f（x）0，f（x）单调递增，所以f（x）min=f（ ）=- + lnm。若两数f（x）有两个零点，则- + lnm0，解得0me当0m 。因为f（ ）= 0，故f（ ）f（ ）0，又函数f（x）在（0， ）上单调递减所以由零点存在性定理可知f（x）在（0， ）上恰有一个零点，记s（x）=-x-1-lnx，则s（x）=1- = 当x（0，1）时，s（x）0，函数s（x）在（1，+）上单调递增，所以s（x）s（1）=0，故函数f（ ）= -1-ln 0，所以f（ ）f（ ）0，因为 0，所以 。又f（x）在（ ，+）上单调递增。所以由零点存
14、在性定理知函数f（x）在区间（ ，+）上恰有一个零点综上所述，实数m的取值范围为（0，e）。由于x1 ， x2是函数f（x）的两个零点，不妨设x1x2 ， 得 两式相减得 m（ ）-ln =0，即 m（x1+x2）（x1-x2）-ln =0，所以m（x1+x2）= ，f（x1）+f（x2）0等价于mx1- +mx2- 0，即m（x1+x2）- - 0，即 - - 0。记t（x）=2lnx+ -x，x（0，1），则t（x）= - -1= 0，所以2ln 0，即f（x）1+f（x2）0成立。32.【答案】 （1）解：有题不等式可化为 ， 当 时，原不等式可化为 ，解得 ；当 时，原不等式可化为 ，
15、解得 ，不满足，舍去；当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以不等式的解集为 （2）解：因为 ， 所以若函数 存在零点则可转化为函数 与 的图像存在交点，函数 在 上单调增，在 上单调递减，且 .数形结合可知 33.【答案】 （1）解：点 的坐标为 . 联立方程 ,消去 后整理为 有 ,可得 ， ， . 可得点 的坐标为 . 当 时，可求得点 的坐标为 ， ， . 有 . 故有 （2）解：若点 在 轴上方，必有 由(1)知 因为 时.由(1)知 ， ， 由函数 单调递增，可得此时 . 故当 时， 的面积取得最小值为1 34.【答案】 （1）解：由 ，有 . 曲线 在点 处的切线方程为 （2）解：不妨设 .令 . 由 .有 两边取对数，有 又由 若证 ，只需证 .可化为 . 令 ， 可得函数 单调递增.所以 . 故当 时， 故若函数 在区间 有两个零点，必有： 35.【答案】 （1）证明：令 ，则 ，当 时， ， 故 在 上单调递增，所以 ， 即 ，所以 .（2）解：由已知， ， 依题意， 有3个零点，即 有3个根，显然0不是其根，所以 有3个根，令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，故 在 单调递减，在 ， 上 单调递增，作出 的图象，易得 . 故实数 的取值范围为 .