1、共 44 页1第二十四讲平面向量的基本定理及坐标表示共 44 页2回归课本共 44 页31.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1、2,使a=1e1+2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.共 44 页4(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴y轴方向相同的两个单位向量e1,e2作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数a1、a2,使a=a1e1+a
2、2e2.把有序数对(a1,a2)叫做向量a的坐标,记作a=(a1,a2),其中a1叫a在x轴上的坐标,a2叫a在y轴上的坐标.共 44 页5设=a1e1+a2e2,则向量的坐标(a1,a2)就是终点A的坐标,即若=(a1,a2),则A点坐标为(a1,a2),反之亦成立(O是坐标原点).OAOAOA共 44 页62.平面向量的坐标运算(1)加法减法数乘运算向量aba+ba-ba坐标(x1,y1)(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x1,y1)共 44 页7(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等
3、于该向量终点的坐标减去始点的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与ba=bx1y2-x2y1=0.AB共 44 页8考点陪练共 44 页91.下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=13,24共 44 页10解析:根据基底的定义知,非零且不共线的两个向量才可以作为平面内的一组基底.A中显然e1e2;C中e2=2e1,所以e1e2;D中e1=4e2,所以e1e2.答案:B共 44 页112.已知a=
4、(-2,3),b=(1,5),则3a+b等于()A.(-5,14)B.(5,14)C.(7,4)D.(5,9)解析:3a+b=3(-2,3)+(1,5)=(-6,9)+(1,5)=(-5,14).答案:A共 44 页123.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)c=()A.(-15,12)B.0C.-3D.-11解析:a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),(a+2b)c=-3.答案:C共 44 页134.m 1,m2).(1,3),(2,1),A B C,m()A.m2B.mC.m1D.(m221OAOBOC 已知向量若点 能构成三角形 则实数 应
5、满足的条件是:A(,1),B C,(1m m 1m 1m 1,m1,).,1,C,ACm mBCmmACBC解析 由题意因为 能构成三角形 所以即有得到故选:C答案共 44 页145.a(1,b2,0,ab_).3 已知向量则3),:ab(1,1 32.ab 解析答案:2共 44 页15类型一平面向量基本定理的应用解题准备:已知e1,e2是平面的一组基底,如果向量a,e1,e2共面,那么有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2.反之,如果有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2,那么a,e1,e2共面.这是平面向量基本定理的一个主要考查点,也是高考本部分知识考查的重点内容.共 44 页
6、1611,1,OAB,ADBCM,a,2.b4,OCOA ODOBOAa OBbOM【典例】如图 在中与交于点设以为基底表示共 44 页17(,),(1),11,221,11A M D,.2m2n1OMmanb m nRAMOMOAmanbADODOAbaabmn 解 设因为 三点共线所以即共 44 页181(),41114,14414121137,.C M B,4mn.41377.71CMOMOCmanb CBOBOCmnbaabmmnOMabmnn 而因为 三点共线 所以即由解得所以共 44 页19反思感悟(1)本题先利用平面向量基本定理设出未知向量,然后利用共线向量的条件列出方程组,通过
7、待定系数法从而确定参数的值.(2)由平面向量基本定理知:平面内的任一向量都可用两个不共线的向量惟一表示,根据向量的加法和减法法则及几何性质即可解题.共 44 页20类型二平面向量的坐标运算解题准备:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.共 44 页212A2,4,B3,23,1,C,3,4,M N.CMCACNCBMN【典例】已知且求 及的坐标(1,8),(6,3).3(3,24),2(12,6).33,(3,4)(3,24)A2,4,B 3,1,C,424,0,20.3,4,M
8、x,y,M 0,20.CACBCMCACNCBxCMxyyxy 解设则共 44 页22N 9,2,M 0,20,N 9,(9,18).(9,18)2,.MNMN同理可求因此所求共 44 页23反思感悟由ABC三点坐标易求得坐标,再根据向量坐标的定义就可以求出MN的坐标.向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点终点相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将向量坐标看作一“整体”,运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须灵活应用.CA CB、共 44 页24类型三平面向量共线的坐标表示解题准备:两平面向量共线的充要条件有两种形式:若a=(x1,y
9、1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2-x2y1=0;若ab(a0),则b=a.共 44 页25【典例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)求3a+b-2c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)若(a+kc)(2b-a),求k;(4)若(d-c)(a+b),且|d-c|=1,求d.共 44 页26分析(1)直接用向量加减法的坐标运算公式.(2)借助于向量相等的条件,建立关于m,n的方程组.(3)利用向量共线的充要条件,建立关于实数k的充要条件.(4)利用(d-c)(a+b)及|d-c|=1建立关于x,y的方程组.共
10、44 页27解(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).(2)a=mb+nc,(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n),5439,.2289mmnmnn 解得共 44 页28(3)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=(4)设d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,16.134(4)2(1)0,(4)2(1)21xyx
11、y共 44 页29554455.2 52 51155205 52 5205 52 5,.5555xxyydd 解得或或共 44 页30反思感悟向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,可以使向量的运算完全化为代数运算.这样就可以将“形”和“数”紧密结合在一起.因此,很多几何问题,特别是共线共点等较难问题的证明,通过建立坐标系,设出点的坐标就可转化为坐标运算来解决.如:要证平行,只需相关向量共线,要证垂直,只需相关向量数量积等于0.共 44 页31错源一遗漏零向量【典例1】若a=(3,2-m)与b=(m,-m)平行,求m的值.错解因为b=(m,-m)=m(1,-1),令c=
12、(1,-1),bc,又ab,所以ac,即3(-1)-1(2-m)=0,解得m=5.共 44 页32剖析零向量与任一向量平行,当m=0时,b为零向量,也与a平行.正解由ab,得-3m-m(2-m)=0,即m2-5m=0,解得m=5或m=0,所以m的值为0或5.评析零向量与任一向量都是平行(共线)向量,这是在解题中常常容易被忽视的.共 44 页33错源二忽视平面向量基本定理的使用条件致误,2tR,3ac,2bd,et ab,t,C D E?,OAa OBb OCc ODd OEe【典例】已知设如果那么 为何值时 三点在一条直线上剖析本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决,但在得出等式后根据平面
13、向量基本定理列式解决时,容易忽视平面向量基本定理的使用条件,出现漏解,漏掉了当a,b共线时,t可为任意实数这个解.共 44 页34正解由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.CDCE,CEkCD共 44 页35若a,b共线,则t可为任意实数;若a,b不共线,则有解之得综上,a,b共线时,t可为任意实数;a,b不共线时330,20,tktk 6.5t 6,.5t 共 44 页36评析平面向量基本定理如果e1,e2是一平面内的两个不共线向量,
14、那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数12,使a=1e1+2e2,特别地,当a=0时,1=2=0,本题在a,b不共线时,就是根据这个定理得出的方程组.在平面向量的知识体系里,平面向量基本定理是基石,共线向量定理是重要工具,在复习这部分时要充分注意这两个定理在解决问题中的作用,在使用平面向量基本定理时要注意其使用是两个基向量不共线.共 44 页37技法一基向量法【典例1】在下图中,对于平行四边形ABCD,点M是AB的中点,点N在BD上,且.求证:M、N、C三点共线.13BNBD共 44 页38MNC,.MNMCMNMC解题切入点 欲证、三点共线 只需证向量也即只需选择一组基底来表示这两个向
15、量 然后证存在实数使得成立1212212121211212,11113331,.211ee,ee,11,2233111 1e,2ee633ABADBDBAADBNBDeMBe BCADeMCMBBCee MNMBBNeeeee 证明 令有.共 44 页391.3MNC.MNMC可得、三点共线,.MN MC方法与技巧 本题的关键是在几何图形中选一对不共线向量 进一步表示出我们需要的向量、再证明向量共线 从而得点共线 这是证明三点共线常用的方法本方法常称作基向量法共 44 页40技法二方程的思想2A 1,2,B 2,1.,C 3,2,D2,3,AB ACADBDCD【典例】已知以、为一组基底来表示
16、共 44 页41(1,3),(2,4),(3,5),(4,2),(5,1),(12,8),xy,12,.,212,8x 1,334y 2,4.8,ABACADBDCDADBDCDADBDCDxAByACxyxy 解由平面向量基本定理 一定存在实数、使得即解32,22.3222.xyADBDCDABAC 得共 44 页42方法与技巧重视平面向量基本定理的应用,同时体现了方程的思想,用对应系数相等建立方程组.共 44 页43技法三函数的思想【典例3】已知a=(-3,2),b=(2,1),求|a+tb|(tR)的最小值及相应的t值.2222(23)(2)58134497 55,5554atb3,2t 2,12t3,t27 5,atbt,atb.55ttttt 解即当时有最小值共 44 页44方法与技巧实质上是利用配方法求|a+tb|的最小值.
