1、共 49 页第五模块平面向量第二十三讲平面向量的概念及线性运算共 49 页回归课本共 49 页1.向量的概念(1)把既有大小又有方向的量叫做向量.(2)把只有大小,没有方向的量(如年龄身高长度面积体积质量等),称为数量.(3)向量的大小叫做向量的长度(或模).长度为零的向量叫零向量,记作0,零向量的方向任意,规定零向量与任意向量平行(共线).共 49 页(4)相等向量是指大小相等,方向相同的向量;相反向量是指大小相等,方向相反的向量,规定零向量的相等向量是0,零向量的相反向量是0.(5)方向相同或相反的向量叫平行向量,也叫共线向量.长度为1的向量叫做单位向量.共 49 页2.向量的线性运算(1
2、)向量加法的定义已知向量ab,如图,平面内任取一点A,作b,再作则叫做a与b的和,记作a+b.,ABa BC,ACAC共 49 页即求两个向量和的运算叫做向量的加法.abABBCAC共 49 页(2)向量求和的三角形法则利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.在运用此法则时,要注意“首尾相接”,即两个向量的和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量.共 49 页(3)向量求和的平行四边形法则已知两个不共线向量ab,作对ABD三点不共线,以ABAD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量是=a+b,这个法则叫做两向量求和的平行四边形法则.,ABa ADbA
3、C共 49 页(4)向量的减法向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差,记作a-b,若则(5)实数与向量积的定义:实数与向量a的积是一个向量,记作a,|a|=|a|,当0时,a与a方向相同;0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当=0时,a=0.由此可见,总有a与a平行;(2)运算律:(ua)=(u)a,(+u)a=a+ua,(a+b)=a+b.共 49 页1()4.:MAB,.O2OMOAOB线段中点的向量表示 若是线段的中点是平面内任一点 则共 49 页2,DEABCABAC,MNDEBC,ab,.BCa BDbDE CEMN【典例】如图所示、分别是中、边的中点、分
4、别是、的中点 已知试用、分别表示、和共 49 页1.211,.2211.22112211DE1.424BCDEBCDEa CECBBDDEabaabMNMDDBBNEDDBBCabaab 解由三角形中位线定理知 故即共 49 页反思感悟在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点发现的基本向量或首尾相连的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解,即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系,运用三角形、平行四边形法则,充分利用三角形中的中位线,相似三角形对应边成比例的平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.共 49 页类型三数乘向量与共线向量定理的应
5、用解题准备:(1)向量共线是指存在实数使两向量互相表示.(2)向量共线的充要条件中,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.(3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.共 49 页 3ab,1:A,28,B D.2k,kabak.3().bABab BCab CDab【典例】设两个非零向量 与 不共线若求证 三点共线试确定实数使和共线,28,3(),283()28335()5 1,B,ABD.ABab BCab CDabBDBCCDabababababABAB BD解、共线
6、 又它们有公共点、三点共线共 49 页(2)ka+b与a+kb共线,存在实数,使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a、b是不共线的两个非零向量.k-=k-1=0,k2-1=0.k=1.共 49 页反思感悟(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.共 49 页错源一忽视零向量性质致误【典例1】下列叙述错误的是_.若ab,bc,则ac;若非零向量a与b
7、方向相同或相反,则a+b与a、b之一的方向相同;|a|+|b|=|a+b|a与b方向相同;向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数,使得b=a;若a=b,则a=b.0;ABBA共 49 页剖析忽视零向量的特殊性是本题出错的主要原因,本题前四个结论都与此有关;另外两个相反向量的和是一个零向量,不是实数零;最后一个结论可能忽视了=0的情况.共 49 页正解这六个命题都是错误的,因为对于,当b=0,a不一定与c平行;对于,当a+b=0时,其方向任意,它与a、b的方向都不相同;对于,当a、b之一为零向量时结论不成立;对于,当a=0,且b=0,有无数个值;当a=0但b0,不存在.对于,由于两个向量
8、之和得到的仍是一个向量,所以对于,当=0时,不管a与b的大小与方向如何,都有a=b,此时不一定有a=b.0.ABBA共 49 页答案评析零向量的特殊性零向量是向量中最特殊的向量,规定零向量的长度为0,其方向是任意的,零向量与任意向量都共线.它在向量中的位置正如实数中0的位置一样,但有了它容易引起一些混淆,稍微考虑不到就会出错,考生应给予足够的重视.共 49 页错源二错用实数运算律或运算法则|2,ABCD,abc_.|1,|2,ABADABaBCb BDc【典例】如图已知矩形设则共 49 页错解|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=剖析上述解法受实数运算律和运算法则的影响致错.35.|2|4.
9、abcABBCBDABBDADADADAD正解由向量的三角形法则有答案4共 49 页技法一数形结合思想【典例1】已知任意四边形ABCD,O为其内部一点,且满足试确定该点的位置.解题切入点条件中涉及四个向量的和的问题,为了利用向量的加法法则,我们可把四个向量之和的问题,转化为向量两两相加的情形来解决.0,OA OBOCOD共 49 页解点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,证明如下:如图,以OA、ODAODE,设OE与AD交于I;以OB、OCBOCF,设OF与BC交于J,于是I、J分别是AD与BC的中点.共 49 页0,IOJ,OADBC.OABDC,O,0,.,OAOBOCODOAODOE
10、OBOCOFOEOFOEOF由于又故即与长度相同 方向相反 故、三点共线 即 在、的中点连线上同理可证 也在、的中点连线上 从而点 是四边形对边中点连线的交点共 49 页技法二分类讨论思想【典例2】已知向量a、b,求作向量c,使a+b+c=0,表示a、b、c的有向线段能构成三角形吗?共 49 页解题切入点本题需对两已知向量a和b的情形加以分类讨论.解当a和b中至少有一个是零向量时,作图较简单,而且显然它们不构成三角形.以下假定a和b都为非零向量:共 49 页若ab,则分同向和异向作图(略),它们都不能构成三角形.,(),ab,.,a,bc.ABa BCbACabCAabcAB BCCA 若 与 不平行 则作有向线段于是所以有向线段如图由以上作图可知 表示向量和 的有向线段、和能构成三角形
