1、专题突破练(6)圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1(2021黑龙江市哈尔滨道里区模拟)已知点P在直线yx1上，点Q在曲线x22y上，则|PQ|的最小值为()A.BC.D答案D解析设与直线yx1平行且与抛物线相切的直线为yxb，则|PQ|的最小值即为两直线间的距离，由消去y，得x22x2b0，48b0，所以b，进而可得直线yx与直线xy10的距离为.故选D.2过椭圆1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则PQF周长的最小值是()A14B16C.18D20答案C解析如图，设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|PF2|，|OP|OQ|，
2、所以PQF的周长为|PF|FQ|PQ|PF|PF2|2|PO|2a2|PO|102|PO|，易知2|PO|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上、下顶点时，PQF的周长取得最小值102418.故选C.3(2022成都模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c，0)，又点N.若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|MN|4b，则双曲线C的离心率的取值范围为()A.B(，)C.(，)D(1，)(，)答案C解析由双曲线的定义知|MF2|MF1|2a，所以|MF2|MF1|2a，则|MF2|MN|4b恒成立，即|MF1|MN|2a4b恒成立，即|MF1|M
3、N|4b2a恒成立，则(|MF1|MN|)min4b2a成立由平面几何知识知，当MF1x轴时，|MF1|MN|取得最小值，所以4b2a，即32840，解得02.又e，所以e(，)故选C.4(多选)(2021河北衡水中学高三第一次联合考试)已知抛物线C：y24x，焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列说法一定正确的是()A|AB|的最小值为2B以线段AB为直径的圆与直线x1相切Cx1x2为定值D若M(1,0)，则AMFBMF答案BCD解析抛物线C：y24x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x1，过焦点的弦中通径最短，所以|AB|最小值为2p4，故A
4、不正确；如图，设线段AB的中点为D，过点A，B，D作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，D1，由抛物线定义可知|AA1|AF|，|BB1|BF|，所以|DD1|(|AA1|BB1|)|AB|，所以以线段AB为直径的圆与直线x1相切，故B正确；设AB所在直线的方程为xny1，由消去x，得y24ny40，所以y1y24，x1x21，故C正确；又y1y24n，kAMkBM0，故D正确5(多选)(2021湖北武汉第二次调研)已知P为双曲线C：y21上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B，记线段PA，PB的长分别为m，n，则()A若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k23BmnC4mn的最
5、小值为D|AB|的最小值为答案ABD解析由题意，知双曲线的渐近线为yx，即xy0，设P(x0，y0)，不妨设P在第一象限，A在渐近线xy0上，则k1，k2，k1k23，A正确；P在双曲线上，则y1，x3y3，m，n，mn，B正确；4mn22，当且仅当4mn时等号成立，即4mn的最小值为2，C错误；渐近线yx的斜率为k，倾斜角为，两渐近线夹角为，APB，|AB|2m2n22mncosm2n2mn3mn，当且仅当mn时等号成立，|AB|，|AB|的最小值为，D正确故选ABD.二、填空题6已知P是双曲线C：y21右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|P
6、F1|PQ|的最小值是_答案21解析设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为(，0)，不妨设渐近线l：xy0，则点F2(，0)到渐近线l的距离为1，由于点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|，|PF1|PQ|2|PF2|PQ|21，当且仅当点Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时取等号，故|PF1|PQ|的最小值是21.7已知椭圆1(ab0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则a_，的取值范围是_答案21,4解析由已知得2b2，故b1，a2c2b21.F1AB的面积为，(ac)b，a
7、c2，a2，c.由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a4，又2|PF1|2，1|PF1|24|PF1|4，14，即的取值范围为1,48(2022湖南长沙长郡中学高三上开学考试)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|2，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线y1相切若存在定点P，使得当A运动时，|MA|MP|为定值，则点P的坐标为_答案解析AB为圆M的一条弦，O是弦AB的中点，圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为(x，y)，则|OM|2|OA|2|MA|2，圆M与直线y1相切，则|MA|y1|，(y1)2x2y21，整理得x22y，点M的轨迹是以F为焦点，以直线y为准线的抛物线，|MA|MP
8、|y1|MP|MP|MF|MP|，当|MA|MP|为定值时，则点P与点F重合，即点P的坐标为.三、解答题9(2022上海奉贤中学高三上开学考试)双曲线：1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限(1)设P为右支上的任意一点，求|PF1|的最小值；(2)设O为坐标原点，求点O到l的距离，并求l与的交点坐标解(1)根据题设条件，可得F1(5,0)设P(x0，y0)，其中x04，且yx9，则|PF1|，x04，所以当x04时，|PF1|min9.(2)F2(5,0)，的两条渐近线方程为yx，根据题设，得l：3x4y150，点O到l的距离d
9、3.将l与的方程联立，得消去y得，10x41，解得x4.1，代入l的方程得y0.675，所以l与的交点坐标为(4.1,0.675)10(2021河北邯郸第三次模拟)已知抛物线C：x24y的焦点为F，准线为l.设过点F且不与x轴平行的直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M作直线垂直于l，垂足为N，直线MN与抛物线C交于点P.(1)求证：点P是线段MN的中点；(2)若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q，是否存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为60的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由解(1)证明：由题意知，直线m的斜率存在且不为0，故设直线m的方程为y
10、kx1(k0)，代入x24y，并整理得x24kx40.所以16k2160，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.设M(x0，y0)，则x02k，y0kx012k21，即M(2k,2k21)由MNl，得N(2k，1)，所以MN的中点坐标为(2k，k2)将x2k代入x24y，解得yk2，则P(2k，k2)，所以点P是线段MN的中点(2)由x24y，得y，则y，所以抛物线C在点P(2k，k2)处的切线PQ的斜率为k，又由直线m的斜率为k，可得mPQ；又MNy轴，所以四边形MPQF为平行四边形而|MF|2，|MP|(2k21)k2|k21，由|MF|MP|，得2k21，解得
11、k，即当k时，四边形MPQF为菱形，且此时|PF|k21|MP|MF|，所以PMF60，直线m的方程为yx1，即xy0或xy0，所以存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为60的菱形，直线m的方程为xy0或xy0.11. (2021山西省大同市高三学情调研测试)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B.已知|AB|4，且点在椭圆上，其中e是椭圆的离心率(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上异于A，B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP，BP于点M，N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值解(1)因为|AB|4，所以2a4，即a2，又点在椭圆上，
12、故1，即1，联立方程组解得b23，故椭圆C的方程为1.(2)证明：设点P坐标为(s，t)，M，N的横坐标均为m(2m2)，故M，直线BM的斜率k1，同理可得直线AN的斜率k2，所以k1k2，又因为点P在椭圆上，故有1，即t2(s24)，则k1k2，故直线AN与直线BM的斜率之积是定值12(2022上海控江中学高三上开学考试)在平面直角坐标系xOy中，抛物线：y24x，点C(1，0)，A，B为上的两点，A在第一象限，且满足4.(1)求证直线AB过定点，并求定点的坐标；(2)设P为上的动点，求的取值范围；(3)记AOB的面积为S1，BOC的面积为S2，求S1S2的最小值解(1)令A(x1，y1)，
13、B(x2，y2)，则(x1，y1)，(x2，y2)由4知x1x2y1y24，又y4x1，y4x2，x1x2，y1y24，则y1y28，设直线AB的方程为xkyb，与抛物线方程联立，整理得y24ky4b0，则y1y24b，b2，故直线AB的方程为xky2，即直线AB过定点(2,0)(2)设P(a2,2a)，则|OP|，|CP|a21，令t(0,1，y12t3t232且00，即y20，得m4.S1S2的最小值为4.13在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)，直线l：x，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为；已知圆C的方程为x2y24，直线l为圆C的切线，记点A(，0)，B(，0)到直线
14、l的距离分别为d1，d2，动点P满足|PA|d1，|PB|d2；点S，T分别在x轴、y轴上运动，且|ST|3，动点P满足.(1)在这三个条件中任选一个作为条件，求动点P的轨迹方程；(2)记(1)中的轨迹为E，经过点D(1,0)的直线l交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围解(1)若选，设P(x，y)，根据题意，整理得y21，所以动点P的轨迹方程为y21.若选，设P(x，y)，直线l与圆相切于点H，则|PA|PB|d1d22|OH|42|AB|，由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，所以2a4,2c|AB|2，故a2，c，b1，所以动点P的轨迹
15、方程为y21.若选，设P(x，y)，S(x，0)，T(0，y)，则 3，(*)因为，所以整理得代入(*)得y21，所以动点P的轨迹方程为y21.(2)设Q(0，y0)，当l的斜率不存在时，y00，当l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并整理，得(14k2)x28k2x4(k21)0，0恒成立，x1x2.设线段MN的中点为G(x3，y3)，则x3，y3k(x31)，所以线段MN的垂直平分线的方程为y，令x0，得y0，当k0时，4k4，当且仅当k时取等号，所以y00；当k0时，4k4，当且仅当k时取等号，所以0y0.综上，点Q纵坐标的取值范围是.