1、共 55 页1第十九讲三角恒等变换共 55 页2回归课本共 55 页31.三角恒等变换主要包括角的变换函数名称的变换常数的变换幂的变换和式子结构的变换.共 55 页4 2222222.1cossincostansi1,;222ntan2211;.2221coscoscoscoscos 半角公式用表示,2222111;.222221cossincostansincoscoscoscostancos 用表示共 55 页5 1.223sin,cos1tansincostancossin用表示共 55 页63.万能公式22222122;2;2.111tantantansincostantantanta
2、n共 55 页74.积化和差公式(1)sincos=sin(+)+sin(-);(2)cossin=sin(+)-sin(-);(3)coscos=cos(+)+cos(-);(4)sinsin=-cos(+)-cos(-).12121212共 55 页85.和差化积公式(1)sin+sin=2sin(2)sin-sin=2cos(3)cos+cos=2cos(4)cos-cos=-2sin;22cos;22cos;22cos;22cos共 55 页9考点陪练共 55 页10 2221.122A.tanB.tan2C.121D.sincoscoscos等于22222121221222:tan2
3、.sincossincoscoscoscoscos解析答案:B共 55 页11 12,263371.9317.392.sincosABCD若则等于2222367221.669:coscoscossin 解析答案:A共 55 页12 3.co22,2471.2217.si2sn2cossinABCD 若则的值为共 55 页132222,22()42:cossinC.1,2coscossinsinsincos 解析得故选答案:C共 55 页144.若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)等于()A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x解析:f(sinx)=
4、2+2sin2x,f(x)=2+2x2.f(cosx)=2+2cos2x=3+cos2x.答案:C共 55 页155.cot20 cos10in10 tan702cos40_3_.s:tan70 cos10sin10 tan702cos40tan70(cos10sin10)2cos402tan733702404070704040702701107020 sin402cos4022.7070sinsincoscossinsincoscoscoscoscoscoscos 解析 原式答案:2共 55 页16类型一三角函数式的化简解题准备:化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量
5、统一减少角的个数);二是三角函数名称的变换(即尽量减少统一函数名称,如“切化弦”).具体问题中可双管齐下,整体变换.共 55 页173,211.11:111sinsincoscoscoscos【典例】已知化简2233,.2224122|2,222122.22coscoscoscoscossinsin 解 因为所以共 55 页182211222222222222222222.222222sinsincossinsincoscossinsincoscossinsincossincossincoscos 所以原式共 55 页19反思感悟三角函数式的化简原则:尽量使函数种类最少,次数相对较低,项数最少
6、,尽量使分母不含三角函数,尽量去掉根号或减少根号的层次,能求出具体值的应求出其值.共 55 页20类型二三角函数式的求值解题准备:三角函数式的求值三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值给值求值给值求角.给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.共 55 页21给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的联系及函数的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用.同时也要注意变换欲求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值,其次判断该角在对应区间的单调性,从而达到解题的目的.共
7、 55 页22 22310.4358118222222,tancot1tan;2.2sinsincoscossin【典例】已知求的值求的值共 55 页23 2 1tancot3tan10tan30,t10313,341an3tan,t.3an 解由得即或又所以为所求共 55 页24 115411822255811 11162 286865 2.62 22 22coscossincoscossincoscossincostancos 原式共 55 页25反思感悟给值求值问题是给出某个角(或两个角)的三角函数(式)的值,要求其他角的三角函数值.解决此类问题的关键是利用角的变换,把待求角用已知角表示
8、出来,利用两角和差或倍角公式把待求角的三角函数值求出,如果条件所给的式子比较复杂,则需先将其化简.在三角函数求值过程中,同角三角函数关系式及两角和与差的三角函数公式是常用工具.共 55 页26类型三已知三角函数值求角解题准备:已知三角函数值求角,一般可分以下三个步骤:第一,定角的范围,很多时候我们需要根据题中给出的三角函数值或中间结果中的三角函数值进一步缩小角的范围;第二,求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调);第三,根据角的范围写出所求的角.其中在第二步中,具体选用哪个三角函数,一般可由条件中的函数确定,一般已知正切函数值,选正切函数;已知正余弦函数值,选正余弦函数;
9、共 55 页27若角的范围是正余弦函数均可;若角的范围是(0,),一般选余弦函数;若角的范围是则一般选正弦函数等.0,2,2 2 共 55 页283(2010)A B CsinAsinCsinB,cosAcosCcosB0,2.36,BA.33()3ABCD【典例】江西五校联考 设 且则等于或共 55 页291,2sinAsinBsinC,cosAcosBcosC,1 2sinAsinB2cosAcosB 11,cos ABA BBABAsinAsinBsin0,C0,BA23A23,.2 解析已知两式平方相加得由于 所以又所以故选答案A共 55 页30类型四三角函数式的证明解题准备:三角恒等
10、式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式.证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,变更论证,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同.条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径对条件等式进行变形,直到得到所证等式,或者将欲证等式及条件进行变式,创造机会代入条件,最终推导出所证等式.共 55 页3121.(1)4:(1)sin xcosxsinxcosxsinxcosxsinx【典例】求证2222222(1)(1)22(1)212(1)221(1)(1)(1.)1sinxcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsinxcos
11、xsin xcosxsin xcos xcosxsinxcosxsinxsinxcosxcos xcosxcosxcosxcosxsinxcosxcosxsin xsinx证明 左边右边故原等式.成立共 55 页32错源一合理运用公式的能力差10,sincosco1,277.4471.44s2()C.ABD【典例】设则的值为共 55 页33错解由sin+cos=得(sin+cos)2=1+sin2=所以sin2=.因为0,所以022.由sin22+cos22=1得cos2=故选C.剖析由于选择了sin22+cos22=1,求cos2的值时符号不能确定,造成解题错误.121,4342371.44
12、 共 55 页34正解由sin+cos=得(sin+cos)2=1+sin2=所以sin2=.因为sin2=2sincos0,且0,所以0.因为(sin-cos)2=1-sin2=,所以sin-cos=121,43427472共 55 页35由得:sin2-cos2=,即cos2=cos2-sin2=故选B.答案B747.4共 55 页36错源二忽视角的范围【典例2】若、是锐角,且sin-sin=-,cos-cos=,求tan(-).1212共 55 页3711,221,213,2sinsincoscos:22cos cos2sin sin22cos(),cos(),sin()t47,224(
13、)7.an()()3sincos 错解两边平方相加得即、是锐角故共 55 页38,sinsinsinsi1n,.0,cossin0.,0,2222 剖析 本题错误在于的范围分析得不对 由于、是锐角 所以但还应注意从而故由的值只能得到的值共 55 页392sinsincoscos:22cos cos2sin sin22cos()cos(),sinsin00.sin()ta11,221,213,.2410,22271(),4()7.(3n()cossincos 正解两式平方相加得即、是锐角且共 55 页40技法三角恒等变换的六种意识一降幂意识主要针对sinx,cosx出现高次幂的情况,常常通过配方
14、或者利用倍角公式进行求解.共 55 页41【典例1】当+=30时,求sin2+cos2+cossin的值.22sincos1cos21212,22121cos2cos sin1 sin()s21in()sinsi51.44ncoscos 解题切入点由得原式共 55 页42二统一意识三角变换的实质归结到一点就是化异为同.解三角题时,应敏锐地观察题目中角名称运算等之间的差异,然后设法消除差异实现统一.共 55 页43【典例2】已知sin(2+)+2sin=0,且coscos(+)0,求证:tan=3tan(+).证明因为2+=+,=+-,所以sin(+)+2sin(+-)=0,即sin(+)cos
15、+cos(+)sin+2sin(+)cos-2cos(+)sin=0,所以3sin(+)cos=cos(+)sin,又因为coscos(+)0,可两边同时除以coscos(+)即可得证.共 55 页44三整体意识如果所涉及的三角问题中已知式和待求式的结构类似,则可用整体代换,即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换.共 55 页45【典例3】化简:cos2(+15)+cos2(-15)-cos2.解题切入点由于观察到此式中的角出现+15,-15与2,要达到角的统一,需将角+15,-15向角2进行转化,因此,可考虑二倍角的变形公式.32共 55 页4612(15)12(15)22312221c
16、os(230)cos(230)21 cos2 cos30cos2c332233122os2cos21.coscoscoscos 解 原式共 55 页47四代换意识代换是解三角题经常用到的技巧,如特殊值与三角函数的代换1的代换等,恰当地进行代换有利于迅速解题,又如在一个函数式中同时出现sinxcosx与sinxcosx,可考虑设t=sinxcosx等.共 55 页48 4f x1.sinxcosxsinxcosx【典例】求的值域 2tsinxcosx,sinxcosxtt1 sinxcosx0,1,22,2,2.4242,1)1.t(1f x,2.1(1).2tsin xsin xt 解 令则且
17、所以又由知所以所以共 55 页491221,11,.22故所求函数的值域为共 55 页50五消元意识消元法在解三角题中有着广泛的应用,如给角求值时,消去非特殊角;证明条件等式时,消去结论中不含的角或函数等.共 55 页513225.22:xxsinxtantancosxcos x【典例】化简解题切入点此题各式间的差异较大,不仅角之间有差异,而且函数名及结构之间也存在较大的差异,为此,我们要重点抓住某一特征差异进行分析,以求突破.共 55 页523222322233222223222233322222220.3322222xxsinsinsinxxxcosxcos xcoscosxxxxsincoscossinsinxxxcosxcos xcoscossinxsinxxxxxxxcoscoscoscossinxsinxxxxxcoscoscoscos解 原式共 55 页53六配凑意识为利用公式而配因子,为利用已知角而凑角,这些都是解三角题的常用手段.共 55 页5450,4134462.sinxxcos xcosx【典例】已知求的值2242242 42,44cosxcosxsinxcosxsinx解 原式共 55 页552,444121.44131224220 x.413130 xcosxsinxcosx因为所以所以所以原式