1、山东省潍坊市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)1.已知角 的终边经过点 P(3,-4) ，则 tan= （ ） A.-34B.-43C.-45D.-542.在复平面内，若复数 z=3-2i （其中 i 是虚数单位），则复数 z 对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为 y=Asint （其中 A0 ， t 表示时间， y 表示纯音振动时音叉的位移）图2是该函数在一个周期
2、内的图像，根据图中数据可确定 A 和 的值分别为（ ） A.1500 和 800B.1500 和 400C.11000 和 800D.11000 和 4004.若 a=sin12 ， b=log2(sin12) ， c=tan12 ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为（ ） A.abcB.cbaC.bacD.bca5.已知水平放置的四边形 OABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 OA/BC ， OAB=90 ， OA=1 ， BC=2 ，则原四边形 OABC 的面积为（ ） A.322B.32C.42D.526.设 为锐角，若 cos(+4)=12 ，则 tan= （ ） A.6-
3、2B.6+2C.2-3D.2+37.南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，为实；一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即 S=14c2a2-(c2+a2-b22)2 ，其中 a 、 b 、 c 是 ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边若 ac=4 ， B=60 ，则 ABC 的面积为（ ） A.3B.22C.4D.428.如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 400 米，一艘船从河岸的 A 地出发，向河对岸航行已知船的速度 v1 的大小为 |v1|=8km/h ，水
4、流速度 v2 的大小为 |v2|=2km/h ，船的速度与水流速度的合速度为 v ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ） A.船头方向与水流方向垂直B.cos=-14C.|v|=217km/hD.该船到达对岸所需时间为 3 分钟二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”若复数 z=a+i （ aR ， i 为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（ ） A.a=1B.|z|=1C.z=1-iD.复数 (a-1)+(a2-1)i 是纯虚数10.如图，若 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 为正六棱台，则下列说法正确
5、的是（ ） A.直线 AB 与 C1D1 是异面直线B.直线 AB 与 D1E1 平行C.线段 BB1 与 FF1 的延长线相交于一点D.点 F1 到底面 ABCDEF 的距离大于点 B1 到底面 ABCDEF 的距离11.如图，已知点 G 是边长为1的等边 ABC 内一点，满足 GA+GB+GC=0 ，过点 G 的直线 l 分别交 AB ， AC 于点 D ， E 设 AD=AB ， AE=AC ，则下列说法正确的是（ ） A.AG=13AB+14ACB.点 G 为 ABC 的重心C.1+1=2D.|AG|=3312.已知函数 f(x)=sin(2x+)(|0 时，函数 f(x) 在区间 2
6、, 上单调递减，则实数 的取值范围是 (0,18D.函数 y=f(x)+f(2x-8) 的值域为 -98,2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知 a=(1,m) ， b=(3,-2) ， ab ，则 m= _. 14.能够说明“设 (0,) ， (0,) ，若 ，则 sinsin ”是假命题的一组角 ， 的值依次为_ 15.如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C 与 D 现测得 BCD=75 ， BDC=60 ， CD=102m ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角 为 30 ，则塔高 AB 为_m 16.如图，已知圆锥 PO
7、的底面半径 OA 的长度为1，母线 PA 的长度为2，半径为 R1 的球 O1 与圆锥的侧面相切，并与底面相切于点 O ，则 R1= _；若球 O2 与球 O1 、圆锥的底面和侧面均相切，则球 O2 的表面积为_ 四、解答题(本大题共6小题,共70分)17.已知复数 z1=1+i ， z2=3+4i （1）求 z1+z2 和 z1z2 的值； （2）若 z1=1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n=0 的一个根，求实数 m ， n 的值 18.在 ABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，_， 从 (b+c)2-a2=3bc ， asinB=bsin(A
8、+3) 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答（1）求角 A 的大小； （2）若 b=4 ， ABC 的面积 S=63 ，求 ABC 的周长 19.某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 S-ABCD 的高是长方体 ABCD-A1B1C1D1 高的 12 ，且底面正方形 ABCD 的边长为4， AA1=2 （1）求 AC1 的长及该长方体的外接球的体积； （2）求正四棱锥的斜高和体积 20.在 ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边， b=26 ， 3sinB-2cos2B2=1 （1）求
9、角 B 的大小及 ABC 外接圆的半径 R 的值； （2）若 AD 是 BAC 的内角平分线，当 ABC 面积最大时，求 AD 的长 21.如图1，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AB=BC=5k ， AC=8k ， AA1=2k(k0) ， D ， D1 分别为 AC ， A1C1 的中点，平面 BB1D1D 将三棱柱分成两个新的直三棱柱（如图2，3所示） （1）若两个新直三棱柱的表面积之和为72，求实数 k 的值； （2）将图2和图3两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱，若组成的所有直四棱柱的表面积都小于132，求实数 k 的取值范围 22.已知向量 m=(sin2x,cos2x)
10、， n=(32,12) ，函数 f(x)=mn （1）求函数 f(x) 的解析式和单调递增区间； （2）若 a ， b ， c 分别为 ABC 三个内角 A ， B ， C 的对边， f(A)=1 ， b=2 ， a12,52 ，试判断这个三角形解的个数，并说明理由； （3）若 x-6,26 时，关于 x 的方程 f(x+6)+(+1)sinx= 恰有三个不同的实根 x1 ， x2 ， x3 ，求实数 的取值范围及 x1+x2+x3 的值 答案解析部分一、单选题1.已知角 的终边经过点 P(3,-4) ，则 tan= （ ） A.-34B.-43C.-45D.-54【答案】 B 【考点】任意角
11、三角函数的定义 【解析】【解答】因为角 的终边经过点 P(3,-4) ， 所以 tan=yx=-43=-43 。故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合正切函数的定义，从而求出角 的正切值。2.在复平面内，若复数 z=3-2i （其中 i 是虚数单位），则复数 z 对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 D 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】根据复数的几何意义，可得复数 z=3-2i 在复平面内对应的点为 (3,-2) ，位于第四象限。 故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合复数z的几何意义，从而求出复数z对应的点的坐标，再利用点的坐
12、标确定点所在的象限。3.敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为 y=Asint （其中 A0 ， t 表示时间， y 表示纯音振动时音叉的位移）图2是该函数在一个周期内的图像，根据图中数据可确定 A 和 的值分别为（ ） A.1500 和 800B.1500 和 400C.11000 和 800D.11000 和 400【答案】 D 【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，y=Asin（x+）中参数的物理意义 【解析】【解答】解：由题意得A=11000 ， T4=1800 则T=1200 则=2T=400. 故答案为：D 【分析】根据函数y=
13、Asinx+的图象与性质求解即可.4.若 a=sin12 ， b=log2(sin12) ， c=tan12 ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为（ ） A.abcB.cbaC.bacD.bca【答案】 C 【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】【解答】 a=sin12(0,1) ，则 b=log2(sin12)sin12=a ，故 bac 。故答案为：C. 【分析】利用正弦函数的图像、余弦函数的图像、同角三角函数基本关系式和对数函数的单调性，从而比较出a,b,c的大小。5.已知水平放置的四边形 OABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 OA/BC ， OAB=90 ， OA=1
14、 ， BC=2 ，则原四边形 OABC 的面积为（ ） A.322B.32C.42D.52【答案】 B 【考点】斜二测画法直观图 【解析】【解答】根据直观图知 SOABC=12(1+2)1=32 ， 又因为 SOABCSOABC=124 ，所以 SOABC=SOABC24=3224=32 。故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合斜二测画法画直观图的方法，从而利用三角形的面积和直角梯形的面积的关系，从而求出原四边形 OABC 的面积。6.设 为锐角，若 cos(+4)=12 ，则 tan= （ ） A.6-2B.6+2C.2-3D.2+3【答案】 C 【考点】两角和与差的正切公式 【解析】【解
15、答】因为 02 ，可得 4+434 ， 由 cos(+4)=12 ，所以 +4=3 ，可得 =12 ，所以 tan=tan12=tan(3-4)=tan3-tan41+tan3tan4=3-11+3=2-3 。故答案为：C. 【分析】因为 02 ，可得 4+434 ，由 cos(+4)=12 ，可得 =12 ，再利用两角差的正切公式，从而求出tan的值。7.南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，为实；一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即 S=14c2a2-(c2+a
16、2-b22)2 ，其中 a 、 b 、 c 是 ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边若 ac=4 ， B=60 ，则 ABC 的面积为（ ） A.3B.22C.4D.42【答案】 A 【考点】余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【解答】由余弦定理可得 cosB=c2+a2-b22ac ，所以， c2+a2-b2=2accosB ， 所以， S=14c2a2-(c2+a2-b22)2=12c2a2-(accosB)2=12acsinB=12432=3 。故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合余弦定理得出c2+a2-b2=2accosB ， 再利用 计算三角形面积的“三斜求积术”， 从而求
17、出三角形 ABC 的面积 。8.如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 400 米，一艘船从河岸的 A 地出发，向河对岸航行已知船的速度 v1 的大小为 |v1|=8km/h ，水流速度 v2 的大小为 |v2|=2km/h ，船的速度与水流速度的合速度为 v ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ） A.船头方向与水流方向垂直B.cos=-14C.|v|=217km/hD.该船到达对岸所需时间为 3 分钟【答案】 B 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角 【解析】【解答】由题意可知， v=v1+v2 ，当船的航程最短时， vv2 ，而船头
18、的方向与 v1 同向， 由 vv2=(v1+v2)v2=v1v2+v22=0 ，可得 v1v2=-v22=-4 ， cos=v1v2|v1|v2|=-14 ，A选项错误，B选项正确；|v|=|v1+v2|=(v1+v2)2=v12+2v1v2+v22=4-24+64=215(kmh) ，C选项错误；该船到达对岸所需时间为 600.4215=4155 （分钟），D选项错误.故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和数量积求向量夹角公式，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的定义，从而找出说法正确的选项。二、多选题9.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”若复数 z
19、=a+i （ aR ， i 为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（ ） A.a=1B.|z|=1C.z=1-iD.复数 (a-1)+(a2-1)i 是纯虚数【答案】 A,C 【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数求模 【解析】【解答】因为复数 z=a+i （ aR ， i 为虚数单位）为“等部复数”， 根据“等部复数”的定义，可得 a=1 ，即 z=1+i ，所以 A符合题意；由 |z|=12+12=2 ，所以B不正确；由 z=1+i ，可得 z=1-i ，所以C符合题意；由 (a-1)+(a2-1)i=(1-1)+(12-1)i=0 ，所以D不正确.故答案为：A
20、C. 【分析】利用 “等部复数” 的定义求出a的值；再利用复数求模公式求出复数的模；再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数；再结合复数为纯虚数的判断方法，从而选出说法正确的选项。10.如图，若 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 为正六棱台，则下列说法正确的是（ ） A.直线 AB 与 C1D1 是异面直线B.直线 AB 与 D1E1 平行C.线段 BB1 与 FF1 的延长线相交于一点D.点 F1 到底面 ABCDEF 的距离大于点 B1 到底面 ABCDEF 的距离【答案】 A,B,C 【考点】异面直线的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，点、线、面间的距离计算 【解析
21、】【解答】解：若 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 为正六棱台， 对于A，由不共线的三点 A,B,C1 共面， D1 不在这个面内，故直线 AB 与 C1D1 是异面直线，正确；对于B，因为直线 AB 与 DE 平行，直线 DE 与 D1E1 平行，则直线 AB 与 D1E1 平行，B符合题意；对于C，因为 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 为正六棱台，则侧棱 BB1 与 FF1 的延长线相交于一点，正确；对于D，点 F1 到底面 ABCDEF 的距离和点 B1 到底面 ABCDEF 的距离都等于棱台的高，故应该相等，D不符合题意；故答案为：ABC. 【分析】利用正六棱台的结构特征
22、结合已知条件，再利用异面直线的判断方法、两直线平行的判断方法、 点到平面的距离求解方法和比较法，从而找出说法正确的选项。11.如图，已知点 G 是边长为1的等边 ABC 内一点，满足 GA+GB+GC=0 ，过点 G 的直线 l 分别交 AB ， AC 于点 D ， E 设 AD=AB ， AE=AC ，则下列说法正确的是（ ） A.AG=13AB+14ACB.点 G 为 ABC 的重心C.1+1=2D.|AG|=33【答案】 B,D 【考点】向量的模，平面向量的基本定理及其意义，三点共线，三角形五心 【解析】【解答】解：取 AB 的中点 M ， BC 的中点 N ， 则 GA+GB=2GD
23、，GA+GB+GC=0 ， GC=-2GM ，C ， M ， G 三点共线，同理 A ， G ， N 三点共线，G 是 ABC 的重心，B符合题意；AN=32AG ，AB+AC=2AN=3AG ，即 AG=13AB+13AC ，A不符合题意；所以 |AG|=23|AN|=2332=33 ，D符合题意；因为 AD=AB ， AE=AC ，所以 AB=1AD ， AC=1AE ，所以 AG=13AB+13AC=13AD+13AE ，又因 D,G,E 三点共线，所以 13+13=1 ，所以 1+1=3 ，C不符合题意.故答案为：BD 【分析】利用已知条件结合等边三角形的结构特征，再利用向量共线定理和
24、平面向量基本定理，推出 AG=13AB+13AC ；再利用重心的定义推出点 G 为 ABC 的重心 ；再结合三点共线的判断方法，从而推出1+1=3；再结合向量的模求解方法，从而求出|AG|=33 ，进而找出说法正确的选项。12.已知函数 f(x)=sin(2x+)(|0 时，函数 f(x) 在区间 2, 上单调递减，则实数 的取值范围是 (0,18D.函数 y=f(x)+f(2x-8) 的值域为 -98,2【答案】 A,B,D 【考点】函数的值域，函数单调性的性质，三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（x+）的图象变换 【解析】【解答】由题意，函数 f(x)=sin(2x+)(|2) 满
25、足 f(58-x)=f(58+x) ， 即函数 f(x) 的图象关于 x=58 对称，可得 f(x)=sin(258+)=1 ，解得 54+=2+k,kZ ，即 =-34+k,kZ ，因为 | ，则 sinsin ”是假命题的一组角 ， 的值依次为_ 【答案】56 ； 3 （答案不唯一） 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】【解答】解：因为 (0,) ， (0,) ，且 ，如 =56 ； =3 ，满足 ，但是 sin=sin56=12 ， sin=sin3=32 ，不满足 sinsin 。 故答案为： 56 ； 3 （答案不唯一）。 【分析】利用已知条件结合命题真假的判断方法，从而得出一组角
26、 ， 的值。15.如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C 与 D 现测得 BCD=75 ， BDC=60 ， CD=102m ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角 为 30 ，则塔高 AB 为_m 【答案】 10 【考点】正弦定理的应用 【解析】【解答】在 BCD 中，因为 BCD=75 ， BDC=60 ，可得 CBD=180-75-60=45 ， 由正弦定理，可得 BC=102sin60sin45=103 ，在直角 RtABC 中，可得 AB=BCtanABC=10333=10 ，即塔高 AB 为 10(m) 。故答案为：10。 【分析】利用已知条
27、件结合三角形内角和为180度的性质，从而求出CBD的值，再利用正弦定理求出BC的长，在直角 RtABC 中结合正切函数的定义，从而求出塔高AB的长。16.如图，已知圆锥 PO 的底面半径 OA 的长度为1，母线 PA 的长度为2，半径为 R1 的球 O1 与圆锥的侧面相切，并与底面相切于点 O ，则 R1= _；若球 O2 与球 O1 、圆锥的底面和侧面均相切，则球 O2 的表面积为_ 【答案】33；427【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积 【解析】【解答】解：该几何体的轴截面如图所示， 由题意可知 PAB 为等边三角形，且边长为2，圆 O1 与三角形的三边都相切，圆 O1
28、的半径等于球 O1 的半径为 R1 ，则12(2+2+2)R1=1222sin60 ，解得 R1=33 ，因为 O1AO=30 ，所以 AO2=2O2C=2R2,AO1=2OO1=2R1 ，因为 AO1=AO2+O2O1 ，所以 2R1=2R2+R2+R1 ，所以 R2=13R1=39 ，所以球 O2 的表面积为 4R22=4(39)2=427 。故答案为： 33 ， 427。 【分析】由题意可知三角形 PAB 为等边三角形，且边长为2，圆 O1 与三角形的三边都相切，圆 O1 的半径等于球 O1 的半径为 R1 ，再利用两三角形面积相等结合三角形的面积公式，解得 R1=33 ，因为 O1AO
29、=30 ，所以 AO2=2O2C=2R2,AO1=2OO1=2R1 ，因为 AO1=AO2+O2O1 ，所以 2R1=2R2+R2+R1 ，所以 R2=13R1=39 ，再利用球的表面积公式，从而求出球 O2 的表面积 。四、解答题17.已知复数 z1=1+i ， z2=3+4i （1）求 z1+z2 和 z1z2 的值； （2）若 z1=1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n=0 的一个根，求实数 m ， n 的值 【答案】 （1）由题意，复数 z1=1+i ， z2=3+4i 所以 z1+z2=1+i+3+4i=4+5i ，z1z2=(1+i)(3+4i)=3+4i+3i+4i2
30、=-1+7i （2）因为 z1=1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n=0 的一个根， 所以 (1+i)2+m(1+i)+n=0 ，整理得 (m+n)+(m+2)i=0 ，可得 m+n=0m+2=0 ，解得 m=-2n=2 ，所以 m=-2 ， n=2 【考点】复数相等的充要条件，复数代数形式的乘除运算，复数代数形式的加减运算 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的加法和乘法运算法则，从而求出 z1+z2 和 z1z2 的值。 （2）利用 z1=1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n=0 的一个根结合代入法和复数的混合运算法则，再利用复数相等的等价关系，从而求出m,n
31、的值。 18.在 ABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，_， 从 (b+c)2-a2=3bc ， asinB=bsin(A+3) 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答（1）求角 A 的大小； （2）若 b=4 ， ABC 的面积 S=63 ，求 ABC 的周长 【答案】 （1）选： (b+c)2-a2=3bc ， b2+c2-a2=bc ， cosA=b2+c2-a22bc=12 ， A(0,) ， A=3 ；选：由正弦定理得： sinAsinB=sinBsin(A+3) ，在 ABC 中， 0B ， sinB0 ， sinA=sin(A+3) ，si
32、nA=12sinA+32cosA ， 12sinA=32cosA ，可得 tanA=3 ，A(0,) ， A=3 ；（2）由（1）知 A=3 ， b=4 ， SABC=12bcsinA=3c=63 ， c=6 ， 由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA=16+36-24612=28 ，则 a=27 ，因此， ABC 的周长为 a+b+c=10+27 【考点】同角三角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（1） 从 (b+c)2-a2=3bc ， asinB=bsin(A+3) 这两个条件中任选一个，补充在问题中并作答。 选：利用已知条件结合余弦定理
33、和三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值。 选：利用已知条件结合正弦定理得出sinAsinB=sinBsin(A+3) ，在 ABC 中，因为 0B ，所以 sinB0 ，所以 sinA=sin(A+3) ，再利用两角和的正弦公式结合同角三角函数基本关系式，从而结合三角形中角A的取值范围，进而求出角A的值。 （2） 由（1）知 A=3 ， b=4 ，再利用三角形的面积公式结合已知条件，从而求出c的值，再利用余弦定理求出a的值，再结合三角形的周长公式，从而求出三角形ABC 的周长。 19.某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥
34、 S-ABCD 的高是长方体 ABCD-A1B1C1D1 高的 12 ，且底面正方形 ABCD 的边长为4， AA1=2 （1）求 AC1 的长及该长方体的外接球的体积； （2）求正四棱锥的斜高和体积 【答案】 （1）几何体 ABCD-A1B1C1D1 为长方体且 AB=BC=4 ， AA1=2 ， AC1=AB2+BC2+AA12=42+42+22=6 ，记长方体外接球的半径为 R ，线段 AC1 就是其外接球直径，则 2R=6 ， R=3 ，外接球的体积为 V=4333=36 （2）如图，设 AC ， BD 交于点 O ，连结 SO ，则 SO 为正四棱锥的高， S-ABCD 为正四棱锥，
35、 SO 为正四棱锥的高，又长方体的高为 AA1=2 ， SO=122=1 ，取 AB 的中点 E ，连结 OE 、 SE ，则 SE 为正四棱锥的斜高，在 RtSOE 中， SO=1 ， OE=12AD=2 ， SE=SO2+OE2=1+4=5 ， SABCD=44=16 ， SO=1 ， VS-ABCD=13SABCDSO=13161=163 ，正四棱锥的斜高为 5 ，体积为 163 【考点】棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积 【解析】【分析】（1）因为几何体 ABCD-A1B1C1D1 为长方体且 AB=BC=4 ， AA1=2 ，再利用勾股定理求出长方体的体对角线的
36、长，进而求出 AC1 的长；记长方体外接球的半径为 R ，线段 AC1 就是其外接球直径，从而求出外接球的直径，进而求出外接球的半径，再利用外接球的体积公式，从而求出该长方体的外接球的体积。 （2） 设 AC ， BD 交于点 O ，连结 SO ，则 SO 为正四棱锥的高，因为 S-ABCD 为正四棱锥，所以SO 为正四棱锥的高，又因为长方体的高为 AA1=2 ，所以利用中点的性质求出SO=122=1 ，取 AB 的中点 E ，连结 OE 、 SE ，则 SE 为正四棱锥的斜高，在 RtSOE 中， SO=1 ， OE=12AD=2 ，利用勾股定理求出SE 的长，再利用四边形的面积公式结合四棱
37、锥的体积公式，从而求出正四棱锥的斜高为 5 ，体积为 163。20.在 ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边， b=26 ， 3sinB-2cos2B2=1 （1）求角 B 的大小及 ABC 外接圆的半径 R 的值； （2）若 AD 是 BAC 的内角平分线，当 ABC 面积最大时，求 AD 的长 【答案】 （1）由 3sinB-2cos2B2=1 ，得 3sinB-cosB=2 ， 2(32sinB-12cosB)=2 ， sin(B-6)=1 ， 0B ， -6B-60) ， D ， D1 分别为 AC ， A1C1 的中点，平面 BB1D1D 将三棱柱分
38、成两个新的直三棱柱（如图2，3所示） （1）若两个新直三棱柱的表面积之和为72，求实数 k 的值； （2）将图2和图3两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱，若组成的所有直四棱柱的表面积都小于132，求实数 k 的取值范围 【答案】 （1）解： AB=BC ， D 为 AC 的中点， BDAC ， 又 AB=BC=5k ， AC=8k ， BD=3k ，易知三棱柱被平面 BB1D1D 分割成两个相同的直三棱柱，每个直三棱柱的表面积为： 123k4k+(3k+4k+5k)2k=12k2+24 ，两个新直三棱柱的表面积之和 S=24k2+48=72 ，解得： k=1 （2）由题可知：图2、图3的两个直
39、三棱柱重新组合成一个直四棱柱时，共有4种可能的情形： 当底面是边长为 3k ， 4k 的矩形，侧棱长为 2k 的直四棱柱时，表面积 S1=23k4k+(3k+4k)22k=24k2+28 ，当底面是边长为 5k ， 4k 的平行四边形，侧棱长为 2k 的直四棱柱时，表面积 S2=23k4k+(5k+4k)22k=24k2+36 ，当底面是边长为 5k ， 3k 的平行四边形，侧棱长为 2k 的直四棱柱时，表面积 S3=23k4k+(5k+3k)22k=24k2+32 ，当底面是边长为 3k ， 4k 的四边形（非矩形），侧棱长为 2k 的直四棱柱时，表面积 S4=23k4k+(3k+4k)22
40、k=24k2+28 ，由上可知：表面积的最大值为 24k2+36 ，由题意得： 24k2+36132 ，解得： 0k2 实数 k 的取值范围是 (0,2) 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【分析】（1） 因为 AB=BC ， D 为 AC 的中点，再利用等腰三角形三线合一推出线线垂直，所以 BDAC ，又因为 AB=BC=5k ， AC=8k ，所以BD=3k ，易知三棱柱被平面 BB1D1D 分割成两个相同的直三棱柱，再利用直三棱柱的表面积公式结合求和法和已知条件，从而求出k的值。 （2） 由题可知，图2、图3的两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱时，共有4种可能的情形，再利
41、用分类讨论的方法结合直四棱柱的表面积公式，从而得出表面积的最大值为 24k2+36 ，由题意得 24k2+361 ， sinB(0,1 ，三角形无解当 a=1 时， sinB=1a=1 ， B=2 ，三角形有唯一解当 a(1,2) 时， sinB=1a(12,1) ，此时 bsinAab ， B(0,) ， B 有两个不同的值，故三角形有两解当 a2,52 时， ab ， AB ，故三角形有唯一解综上所述，当 a12,1) 时，三角形无解；当 a=1 或 a2,52 时，三角形有唯一解；当 a(1,2) 时，三角形有两解（3） f(x)=sin(2x+6) ， 方程 f(x+6)+(+1)si
42、nx= 可化为 sin(2(x+6)+6)+(+1)sinx= ，即 cos2x+(+1)sinx= ，化简得： 2sin2x-(+1)sinx+-1=0 （*），即 (2sinx-(-1)(sinx-1)=0 ， sinx=1 或 sinx=-12 ，又 x-6,23 时，方程（*）有三个不同的实根，且当 sinx=1 时， x1=2 ， sinx=-12 在 -6,23 上有两个不同的实根为 x2 ， x3 ，又 x-6,23 ， sinx32,1) ， 32-121 ，解得： 3+13 ，易知 x2 ， x3 关于 x=2 对称， x2+x32=2 ，即 x2+x3= ， x1+x2+x
43、3=2+=32 综上所述， 的取值范围为 3+13 ， x1+x2+x3 的值为 32 【考点】函数的单调性及单调区间，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的坐标表示和辅助角公式，从而化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图像判断出正弦型函数的单调性，进而求出正弦型函数的单调递增区间。 （2）利用已知条件结合正弦定理和分类讨论的方法，从而得出当 a12,1) 时，三角形无解；当 a=1 或 a2,52 时，三角形有唯一解；当 a(1,2) 时，三角形有两解。 （3）因为 f(x)=sin(2x+6) ，所以方程 f(x+6)+(+1)sinx= 可化为 sin(2(x+6)+6)+(+1)sinx= ，所以sinx=1 或 sinx=-12 ，又因为 x-6,23 时，方程（*）有三个不同的实根，且当 sinx=1 时， x1=2 ，所以 sinx=-12 在 -6,23 上有两个不同的实根为 x2 ， x3 ，又因为 x-6,23 ，所以sinx32,1) ，所以 3+13 ，易知 x2 ， x3 关于 x=2 对称，再利用图形的对称性，所以 x2+x3= ，所以 x1+x2+x3=32 。