1、2015-2016学年江苏省常州市溧阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：每小题5分，满分70分只需直接写出结果1已知全集U=R，A=x|x0，B=x|x1，则集合U（AB）=2命题“x0R，”的否定是 3若，则cos2=4已知，则的值为5已知a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则=6已知函数是奇函数，则常数a=7已知O为坐标原点，A（1，1），C（2，3）且，则的坐标是8已知f（x）=log0.5x，且f（1a）f（2a1），则a的取值范围是9在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=，B=，则ABC的面积为10已知an为等差数列，其公差为2，且a7是
2、a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为11已知sin（+2）sin（2）=，则2sin221=12已知f（x）=，其中a，b为常数，且ab2若f（x）f（）=k，k为常数，则k的值为13已知等比数列an的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，记数列log2an的前n项和为Tn，若a1，且=9，则当n=时，Tn有最小值14定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：若a0，b0，则ln+（ab）=bln+a；若a0，b0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；若a0，b0，则；若a0，b0，则ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有（写出所有真命题的序号
3、）二、解答题：分值90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2xsin2x1（xR）（）求函数y=f（x）的周期和递增区间；（）若x，求f（x）的取值范围16已知等比数列an的前n项和为Sn，且5S1，2S2，S3成等差数列（1）求an的公比q；（2）当a1a3=3时，证明：数列Sn1也是等比数列17已知向量，的夹角为，|=2，|=1， =t， =（1t）（1）当=时，若OPQ为直角三角形，其中P=，求t的值；（2）令f（t）=|，若f（t）在t=t0（0t0）时取得最小值，求的取值范围18某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初
4、起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p0，1x16，xN*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围19已知函数f（x）=exa（x1），其中，aR，e是自然对数的底数（1）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区
5、间；（3）已知bR，若函数f（x）b对任意xR都成立，求ab的最大值20若数列an满足条件：存在正整数k，使得an+k+ank=2an对一切nN*，nk都成立，则称数列an为k级等差数列（1）已知数列an为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a8+a9的值；（2）若an=2n+sinn（为常数），且an是3级等差数列，求所有可能值的集合，并求取最小正值时数列an的前3n项和S3n；（3）若an既是2级等差数列an，也是3级等差数列，证明：an是等差数列2015-2016学年江苏省常州市溧阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：每小题5分，满分70分只需直接写出
6、结果1已知全集U=R，A=x|x0，B=x|x1，则集合U（AB）=x|0x1【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】根据集合的基本运算即可得到结论【解答】解：A=x|x0，B=x|x1，则AB=x|x1或x0则U（AB）=x|0x1，故答案为：x|0x1【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2命题“x0R，”的否定是 xR，2x0【考点】命题的否定【专题】阅读型【分析】利用含量词的命题的否定形式：将改为，将结论否定，写出命题的否定【解答】解：据含量词的命题的否定形式得到：命题“x0R，”的否定是“xR，2x0”故答案为“xR，2x0”【点评】本题考查含量词的命题的否定形式是：
7、“”与“”互换，结论否定3若，则cos2=【考点】诱导公式的作用；二倍角的余弦【分析】由sin（+）=cos及cos2=2cos21解之即可【解答】解：由可知，而故答案为：【点评】本题考查诱导公式及二倍角公式的应用4已知，则的值为15【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法【专题】计算题【分析】令12x=得x=；再把代入即可求出结论【解答】解：因为，令12x=得x=所以f（）=15故答案为：15【点评】本题主要考察函数的求值解决本题的关键在于令12x=得x=，进而求出结论当然也可以用换元法先求出解析式，再把代入5已知a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则=4【考点】等比数列的通项
8、公式【专题】整体思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：由题意可得： =4，故答案为：4【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6已知函数是奇函数，则常数a=【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题【分析】由已知中函数是奇函数，我们根据定义域为R的奇函数图象必要原点，构造出一个关于a的方程，解方程即可求出常数a的值【解答】解：若函数是奇函数由于函数的定义域为R则=0即a+=0解得a=故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据定义域为R的奇函数图象必要原点，构造出一个关于a的方程，是解答本题的关键7
9、已知O为坐标原点，A（1，1），C（2，3）且，则的坐标是（4，7）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】计算题；平面向量及应用【分析】设出点B（x，y）的坐标，跟军条件将向量用坐标表示出来，利用向量相等建立x，y的方程求出x，y的值，即得点B的坐标，再选出正确选项【解答】解：设B（x，y），A（1，1），C（2，3）且，2（1，2）=（x2，y3），解得，则B（4，7），即=（4，7），故答案为：（4，7）【点评】本题主要考查向量的坐标运算，以及向量相等的应用，解题的关键是求出各个向量的坐标，再根据向量相等建立方程组求出所引入的参数8已知f（x）=log0.5x，且f（1a）f（2a
10、1），则a的取值范围是【考点】函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的单调性得到关于a的不等式组，要注意真数大于零【解答】解：因为函数y=log0.5x是定义域内的减函数所以由题意得解得故答案为【点评】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式的问题，要注意不能忽视定义域9在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=，B=，则ABC的面积为【考点】正弦定理【专题】计算题；分类讨论；分析法；解三角形【分析】由a，b及cosB的值，利用余弦定理求出c的值，再由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：由余弦定理b2=a2+c2
11、2accosB得：7=4+c22c，即（c3）（c+1）=0，解得：c=3或c=1（舍去），则SABC=acsinB=23=故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键10已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为110【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得a1的方程，解方程得a1代入等差数列的求和公式可得【解答】解：an为等差数列，其公差d=2，且a7是a3与a9的等比中项，（a112）2=（a14）（a116），解得a1=20，S10=10a1+d
12、=110故答案为：110【点评】本题考查等差数列的求和公式，属基础题11已知sin（+2）sin（2）=，则2sin221=【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】计算题；三角函数的求值【分析】已知等式利用积化和差公式化简，整理求出cos4的值，原式变形后，利用二倍角的余弦函数公式化简，即可求出值【解答】解：已知等式化简得：（coscos4）=，整理得：cos4=，则原式=（12sin22）=cos4=，故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键12已知f（x）=，其中a，b为常数，且ab2若f（x）f（）=k，k为常数，则k的值为【考点】函数的值
13、【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意分别得到f（x）和f（）的解析式，算出f（x）f（）化简后等于k，根据分式的性质得到k即可；【解答】解：由题可知：f（x）f（）=k则根据分式的性质得： =k，即k=；故答案为：【点评】此题考查学生理解函数的定义，以及合分比性质的灵活运用，难度中档13已知等比数列an的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，记数列log2an的前n项和为Tn，若a1，且=9，则当n=11时，Tn有最小值【考点】等比数列的前n项和【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的前n项和公式可得q，利用对数的运算性质及其等差数列的前n项和公式可
14、得Tn，再利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：q=1不满足条件，舍去=9， =1+q3=9，解得q=2，log2an=log2a1+（n1）Tn=nlog2a1+=+n，a1，log2a1log22016，log21949，=，1024=210194920162048=211，当n=11时，Tn取得最小值故答案为：11【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：若a0，b0，则ln+（ab）=bln+a；若a0，b0，则ln+（ab）=ln+
15、a+ln+b；若a0，b0，则；若a0，b0，则ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有（写出所有真命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假【解答】解：（1）对于，由定义，当a1时，ab1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（ab）=bln+a；当a1时，ab1，故ln+（ab）=0，又a1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（ab）=bln+a，故正确；（2）对于，此命题
16、不成立，可令a=2，b=，则ab=，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）ln+a+ln+b，故错误；（3）对于，i1时，此时0，当ab1时，ln+aln+b=lnalnb=，此时则，命题成立；当a1b0时，ln+aln+b=lna，此时，lna，则，命题成立；当1ab0时，ln+aln+b=0，成立；ii1时，同理可验证是正确的，故正确；（4）对于，当a1，b1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），a+b2ab=aab+bab=a（1b）+b（1a）0，a+b2ab，ln（a+b）ln（2a
17、b），ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2当a1，0b1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），a+b2a=ba0，a+b2a，ln（a+b）ln（2a），ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2当b1，0a1时，同理可证ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2当0a1，0b1时，可分a+b1和a+b1两种情况，均有ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2故正确故答案为【点评】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强易因为理解不清定义及忘
18、记分类讨论的方法解题导致无法入手致错二、解答题：分值90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2xsin2x1（xR）（）求函数y=f（x）的周期和递增区间；（）若x，求f（x）的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】（I）利用倍角公式和两角差的正弦公式化简解析式，再求出函数的最小正周期，根据正弦函数的增区间，求出此函数的增区间；（II）由x的范围求出相位的范围，再由正弦函数的性质求出函数的最大值和最小值【解答】解：（1）由题设f（x）=2sinxco
19、sx+cos2xsin2x1=sin2x+cos2x1=，则y=f（x）的最小正周期为：由2k2x+2k+（kz）得kxk+，kz，y=f（x）的单调递增区间为：k，k+（kz），（2）由x，可得考察函数y=sinx，易知于是 故y=f（x）的取值范围为：3，1【点评】本题考查了倍角公式和两角差的正弦公式，正弦函数的性质应用，属于中档题，16已知等比数列an的前n项和为Sn，且5S1，2S2，S3成等差数列（1）求an的公比q；（2）当a1a3=3时，证明：数列Sn1也是等比数列【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（1）由5S1，2S2，S
20、3成等差数列，可得4S2=S3+5S1，化为q23q+2=0，解得q（2）当a1a3=3时，q1，可得：a1（122）=3，解得a1求出Sn，证明当n2时， =常数（非0）即可【解答】（1）解：5S1，2S2，S3成等差数列，4S2=S3+5S1，化为4a1（q+1）=，q23q+2=0，解得q=1或2（2）证明：当a1a3=3时，q1，可得：a1（122）=3，解得a1=1Sn=12n，当n2时， =2，数列Sn1也是等比数列，首项为2，公比为2【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17已知向量，的夹角为，|=2，|=1， =t，
21、 =（1t）（1）当=时，若OPQ为直角三角形，其中P=，求t的值；（2）令f（t）=|，若f（t）在t=t0（0t0）时取得最小值，求的取值范围【考点】平面向量数量积的运算【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用【分析】（1）运用向量的数量积的定义可得=1，由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到t；（2）由向量的运算可得|2=（5+4cos）t2+（24cos）t+1，由二次函数可得0，解不等式可得cos的范围，可得夹角的范围【解答】解：（1）当=时， =21cos=1，=t （1t）t=t（1t）t22=t5t2，由题意可得OPPQ，可得=0，即t5t2=0，解得t=（t=0舍去）；（
22、2）由题意可得=21cos=2cos，=（1t）t，|2=2=（1t）22+t222t（1t）=（1t）2+4t24t（1t）cos=（5+4cos）t2+（24cos）t+1由二次函数知当上式取最小值时，t0=，由题意可得0，解得cos0，即的取值范围为（，）【点评】本题考查数量积的定义和性质与向量的夹角，涉及二次函数和三角函数的运算，属于中档题18某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p0，1x16，xN*），并且前4个月，区域外的需求量为2
23、0万吨（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，求出p，可得y=10（1x16，xN*），即可求出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）由题意0mxx10+1030（1x16，xN*），分离参数求最值，即可得出结论【解答】解：（1）由题意，20=，2p=100，y=10（1x
24、16，xN*），油库内储油量M=mxx10+10（1x16，xN*）；（2）0M30，0mxx10+1030（1x16，xN*），（1x16，xN*）恒成立；设=t，则t1，由（x=4时取等号），可得m，由20t2+10t+1=（x16时取等号），可得m，m【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，确定函数解析式，正确分离参数求最值是关键19已知函数f（x）=exa（x1），其中，aR，e是自然对数的底数（1）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知bR，若函数f（x）b对任意xR都成立，求ab的
25、最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）求出a=1的函数的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到；（2）求出导数，讨论当a0时，当a0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（3）由（2）可得，a0时f（x）取得极小值也为最小值，由恒成立思想可得a（2lna）b，则aba2（2lna），令t=a2（2lna），求得导数，求出极大值也为最大值，即可得到【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=ex+x1的导数为f（x）=ex+1，函数f（x）在点（1，f（1）处的切线
26、斜率为e+1，又切点为（1，e），则切线方程为ye=（e+1）（x1），即为（e+1）xy1=0；（2）函数f（x）=exa（x1）的导数f（x）=exa，当a0时，f（x）0，f（x）递增，则f（x）的增区间为（，+）；当a0时，f（x）0，解得，xlna，f（x）0，解得，xlna即有f（x）的增区间为（lna，+），减区间为（，lna）；（3）由（2）可得，a0时，f（x）递增，无最值；当a0时，f（x）在（，lna）上递减，在（lna，+）上递增，则f（x）在x=lna处取得极小值也为最小值，且为aa（lna1）=a（2lna）函数f（x）b对任意xR都成立，则有a（2lna）b，则a
27、ba2（2lna），令t=a2（2lna），则t=2a（2lna）a=a（32lna），当0a时，t0，t递增；当a时，t0，t递减则t在a=时取得极大，也为最大，且为e3（2）=e3则ab的最大值为e3【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，考查构造函数运用导数求最值的思想方法，考查运算能力，属于中档题20若数列an满足条件：存在正整数k，使得an+k+ank=2an对一切nN*，nk都成立，则称数列an为k级等差数列（1）已知数列an为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a8+a9的值；（2）若an=2n+sinn（为常数），且an
28、是3级等差数列，求所有可能值的集合，并求取最小正值时数列an的前3n项和S3n；（3）若an既是2级等差数列an，也是3级等差数列，证明：an是等差数列【考点】等差数列的性质；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由新定义结合已知求出a8、a9的值，则a8+a9的值可求；（2）由an=2n+sinn，且an是3级等差数列，列式得到2sinn=2sinncos3（nN*），求得sinn=0，或cos3=1进一步求出的取值集合，求出的最小正值后求出，得到a3n2+a3n1+a3n=6（3n1），然后利用分组求和求得S3n；（3）由an为2级等差数列，即an+2+an2=2an，得到a2
29、n1，a2n均成等差数列，分别设出等差数列a2n1，a2n的公差为d1，d2由an为3级等差数列，即an+3+an3=2an，得到a3n2成等差数列，设公差为D由a1，a7既是a2n1中的项，也是a3n2中的项，a4，a10既是中a2n的项，也是a3n2中的项列式得到a2n=a1+（2n1）d（nN*）从而说明an是等差数列【解答】（1）解：a8=a2+3（a4a2）=0+3（30）=9，a9=a1+4（a3a1）=2+42=10，a8+a9=19；（2）an是3级等差数列，an+3+an3=2an，2（2n+sinn）=2（n+3）+sin（n+3）+2（n3）+sin（n3）（nN*），2
30、sinn=sin（n+3）+sin（n3）=2sinncos3（nN*），sinn=0，或cos3=1sinn=0对nN*恒成立时，=k（kZ）cos3=1时，3=2k（kZ），最小正值等于，此时，由于（nN*），a3n2+a3n1+a3n=6（3n1）（nN*）.=9n2+3n（nN*）；（3）证明：若an为2级等差数列，即an+2+an2=2an，则a2n1，a2n均成等差数列，设等差数列a2n1，a2n的公差分别为d1，d2an为3级等差数列，即an+3+an3=2an，则a3n2成等差数列，设公差为D，a1，a7既是a2n1中的项，也是a3n2中的项，a7a1=3d1=2Da4，a10既是中a2n的项，也是a3n2中的项，a10a4=3d2=2D3d1=3d2=2D设d1=d2=2d，则D=3da2n1=a1+（n1）d1=a1+（2n2）d（nN*），a2n=a2+（n1）d2=a2+（2n2）d，（nN*）又a4=a1+D=a1+3d，a4=a2+d2=a2+2d，a2=a1+d，
