1、立体几何中的综合问题 1如图，在四棱锥PABCD中，AD2，ABBCCD1，BCAD，PAD90PBA为锐角，平面PAB平面PBD(1)证明：PA平面ABCD；(2)AD与平面PBD所成角的正弦值为，求三棱锥PABD的表面积解(1)证明：作AMPB于M，则由平面PAB平面PBDAM平面PBDAMBD取AD中点为Q，则BCQDBQCD1QDQAABD90又PBA为锐角，点M与点B不重合DB平面PABDBPA又PAAD，DB与AD为平面ABCD内两条相交直线，故PA平面ABCD(2)由(1)知：AM平面PBD，故ADM即为AD与平面PBD所成角，AM在RtPAB中，AMPBA45，故PA1，SPA
2、B，SPAD1，SABD而PBD90SPBD，故所求表面积为：12如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，E为CD的中点，将ADE沿AE折到APE的位置(1)证明：AEPB；(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，求点C到平面PAB的距离解(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，ABCE，ABCE，四边形ABCE为平行四边形，AEBCADDE，ADE为等边三角形，在等腰梯形ABCD中，CADE，BDBC，BDAE如图，翻折后可得，OPAE，OBAE，又OP平面POB，OB平面POB，OPOBO，AE平面POB，PB平面POB，AEPB(2)当四棱锥PABCE
3、的体积最大时，平面PAE平面ABCE又平面PAE平面ABCEAE，PO平面PAE，POAE，OP平面ABCEOPOB，PB，APAB1，SPAB，连接AC，则VPABCOPSABC，设点C到平面PAB的距离为d，VPABCVCPABSPABd，d3(2021西湖区模拟)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点，E为BC的中点(1)求证：ADPB；(2)在棱PC上是否存在一点F，使平面DEF平面ABCD？若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由解(1)证明：连接PG，因为PAD为正三角形，G为
4、AD边的中点，所以PGAD；又AGAB，BAD60，所以BGAB，所以BGA90，即BGAD又PG平面PGB，BG平面PGB，PGBGG，所以AD平面PGB，又PB平面PGB，所以ADPB(2)当F为PC边的中点时，满足平面DEF平面ABCD，证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF，在PBC中，FEPB，在菱形ABCD中，DEGB，PBGBB，EFDEE，所以平面DEF平面PGB因为BG平面PAD，所以BGPG，又因为PGAD，ADBGG，所以PG平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD1(2020全国卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1
5、D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DEED1，BF2FB1，证明：(1)当ABBC时，EFAC；(2)点C1在平面AEF内证明(1)如图，连接BD，B1D1因为ABBC，所以四边形ABCD为正方形，故ACBD又因为BB1平面ABCD，于是ACBB1又BDBB1B，所以AC平面BB1D1D由于EF平面BB1D1D，所以EFAC(2)如图，在棱AA1上取点G，使得AG2GA1，连接GD1，FC1，FG因为D1EDD1，AGAA1，DD1AA1，所以ED1AG，于是四边形ED1GA为平行四边形，故AEGD1因为B1FBB1，A1GAA1，BB1AA1，所以B1FGA1是平行四边形，所以F
6、GA1B1，FGC1D1，四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1FC1于是AEFC1所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内2(2020全国卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，APC90(1)证明：平面PAB平面PAC；(2)设DO，圆锥的侧面积为，求三棱锥PABC的体积解(1)证明：由题设可知，PAPBPC，由于ABC是正三角形，故可得PACPAB，PACPBC又APC90，故APB90，BPC90从而PBPA，PBPC，故PB平面PAC，所以平面PAB平面PAC(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l由题设可得rl，l2r2
7、2解得r1，l从而AB由(1)可得PA2PB2AB2，故PAPBPC所以三棱锥PABC的体积为PAPBPC3(2021新高考卷)如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点(1)证明：OACD；(2)若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE2EA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积解(1)证明：因为ABAD，O为BD的中点，所以OABD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，AO平面ABD，所以AO平面BCD，又CD平面BCD，所以AOCD(2)因为OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，所以OCOBOD1，所以BCD是直角三角形，且BCD90，BC，所以SBCD如图，过点E作EFAO，交BD于F，过点F作FGBC，垂足为G，连接EG因为AO平面BCD，所以EF平面BCD，又BC平面BCD，所以EFBC，又FGBC，且EFFGF，EF，FG平面EFG，所以BC平面EFG，则EGF为二面角EBCD的平面角，所以EGF45，则GFEF因为DE2EA，所以EFOA，DF2OF，所以2因为FGBC，CDBC，所以GFCD，则，所以GF所以EFGF，所以OA1，所以VABCDSBCDAO1