1、空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C若ab，则a，b与c所成的角相等D若ab，bc，则acC若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确故选C2(2021湖南湘潭高三期末)下列说法正确的是()A三点确定一个平面B如果一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任意一条直线C如果一条直线与一个平面内
2、的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直D平行于同一平面的两条直线互相平行C三点共线时，不能确定一个平面，A错；如果一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的任意一条直线可能平行也可以异面，B错；由线面垂直的判定定理知C正确；平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交也可以异面，D错3如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()ABCDDA，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面4直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是()A相交 B平行C异面 D以上都有可能D如图所示：在长方体ABCDA1B1C1D1中，将直线a、
3、b、c分别视为棱AB、AD、AA1所在直线，则直线a与直线c相交；将直线a、b、c分别视为棱AB、AA1、A1B1所在直线，则直线a与直线c平行；将直线a、b、c分别视为棱AB、AA1、A1D1所在直线，则直线a与直线c异面综上所述，直线a与直线c相交、平行或异面5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为()A BC DB不妨设正方体的棱长为1，取A1D1的中点G，连接AG，易知GAC1E，则FAG(或其补角)为异面直线AF与C1E所成的角连接FG(图略)，在AFG中，AG，AF，FG1，于是cosFAG，故
4、选B6(2021河南焦作高三模拟)如图所示，点P在正方形ABCD所在的平面外，PA平面ABCD，PAAB，则异面直线PB与AC所成的角是()A90 B60C45 D30B将其还原成正方体ABCDPQRS，PBSC，如图，且SCACSAa，则ACS为正三角形，则AC与SC所成角为60，即PB与AC所成角为60二、填空题7已知AE是长方体ABCDEFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有 条4如图，作出长方体ABCDEFGH在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD共4条8(2021湖南长沙高三期中)已知正三棱锥ABCD中，BCAB，E是C
5、D的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为 如图所示：取AC中点F，连接BF，EF，则EFAD，所以BEF(或补角)即为异面直线BE与AD所成角，因为BCAB，所以三棱锥侧棱两两垂直，所以EF平面ABC，则EFBF，设AB2，则BC4，EF，BE2，BF，cos BEF9在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有 (填序号) 图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面所以在图中，GH与
6、MN异面三、解答题10如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解(1)证明：由已知FGGA，FHHD，可得GHAD又BCAD，GHBC四边形BCHG为平行四边形(2)BEAF，G为FA的中点，BEFG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG由(1)知BGCH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面11如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成
7、的角解(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则ACFG，EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角又因为ACBD，则FGEG在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为451在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为()A B
8、 C DA如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，FO，OG，GE，GF，则EFBD，EGAC，FOOG，FEG或其补角为异面直线AC与BD所成的角设AB2a，则EGEFa，FGa，EFG是等边三角形，FEG60，异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A2(2019全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线B如图所示， 作EOCD于O，连接ON，
9、过M作MFOD于F连接BF，平面CDE平面ABCD，EOCD，EO平面CDE，EO平面ABCD，MF平面ABCD，MFB与EON均为直角三角形设正方形边长为2，易知EO，ON1，EN2，MF，BF，BMBMEN连接BD，BE，点N是正方形ABCD的中点，点N在BD上，且BNDN又M为ED的中点，BM，EN为DBE的中线，BM，EN必相交故选B3如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AEEBAHHDm，CFFBCGGDn(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若ACBD试证明：EGFH解(1)证明：因为AEEBAHHD，所以EHBD又CFFBCGGD，所以FGBD所以EHFG所以E，F，G，H四点共面(2)当EHFG，且EHFG时，四边形EFGH为平行四边形因为，所以EHBD同理可得FGBD，由EHFG，得mn故当mn时，四边形EFGH为平行四边形(3)证明：当mn时，AEEBCFFB，所以EFAC，又EHBD，所以FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为ACBD，所以FEH90，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EGFH