1、第三模块导数及其应用第十四讲导数的概念及其运算回归课本1.导数的概念(1)f(x)在x=x0处的导数函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)或y|x=x0,即f(x0)0000()()limlim,xxf xxf xyxx 000()()limxf xxf xx (2)导函数当x变化时,f(x)称为f(x)的导函数,则f(x)=y=0()()lim.xf xxf xx 注意:导数是研究在x=x0处及其附近函数的改变量y与自变量的改变量x之比的极限,它是一个局部性的概念.则函数y=f(x)在x=x0处就有导数,否则就没有导数.0limxy
2、x 若存在2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,过点P的切线方程为:y-y0=f(x0)(x-x0).3.几种常用函数的导数(1)c=0(c为常数);(2)(xn)=nxn-1(nN);(3)(sinx)=cosx;(4)(cosx)=-sinx;(5)(ex)=ex;(6)(ax)=axlna;1).()(1xxlna 7lnx8logax4.导数运算法则(1)f(x)g(x)=f(x)g(x);(2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);2()()()()()()().()()fx g xf
3、xf xgg xg xx 3g x0注意:关于导数的加减法则,可推广到有限多个情况,如f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x)等.5.复合函数的导数设函数u=(x)在点x处有导数u=(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y=f(u),则复合函数y=f(x)在点x处也有导数,且yx=yuux或写作fx(x)=f(u)(x).考点陪练1.在平均变化率的定义中,自变量的增量x满足()A.x0B.x0时,是从右端趋近,x4(c-1),求证:方程f(x)=0有两个不等的实数根.错解f(x)=(x2+bx+c)e-x+(x2+bx+c)(e-x)=(2x+b)e-x+(x2+b
4、x+c)e-x=e-xx2+(b+2)x+b+c.由f(x)=0即e-xx2+(b+2)x+b+c=0,得x2+(b+2)x+b+c=0.=(b+2)2-4(b+c)=b2-4c+4.由于b24(c-1),所以0.故方程f(x)=0有两个不等的实数根.剖析本错解“歪打正着”,虽然未注意到复合函数的求导,但结论居然也被“证”出来了,显然是一种巧合,也说明了这种错误的隐蔽性很好.正解f(x)=(x2+bx+c)e-x+(x2+bx+c)(e-x)=(2x+b)e-x-(x2+bx+c)e-x=e-x-x2+(-b+2)x+b-c.由f(x)=0,即e-x-x2+(-b+2)x+b-c=0,得x2+
5、(b-2)x-b+c=0.=(b-2)2-4(-b+c)=b2-4c+4.由于b24(c-1),所以0.故方程f(x)=0有两个不等的实数根.技法一活用导数定义【典例1】设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-2006),则f(0)=_.解析=1232006.答案1232006 0000f(0)limlim0lim122006xxxf xff xxxxxx技法二先化简再求导,优化解题过程【典例2】求函数y=cotx的导数.解题切入点对此题,由于课本没有给出y=cotx的直接求导公式,一些同学不知怎么办了.其实,将原式化为用sinx与cosx来表示的式子,然后再按照商的求导法则来求导即可求解.22222ycotxy,()()1.cosxsinxcosx sinxcosx sinxsin xsin xcos xsin xsin x 解 因为所以方法与技巧一些常用求导的策略:(1)多项式相乘型的函数求导,往往把多项式展开后再利用公式求导.(2)以根式或分式形式出现的函数求导问题,先化成指数的形式再利用公式求导.(3)比较复杂的函数,往往需要先化简再求导.(4)对于某些没有给出求导公式的函数,可以先化为有求导公式的函数表示再求导.