1、直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1已知m，n，l是直线，是平面，l，n，nl，m，则直线m与n的位置关系是()A异面 B相交但不垂直C平行 D相交且垂直C因为，l，n，nl，所以n又m，所以mn2(2021白银市第十中学高三期末)设，为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则下列条件一定能得到m的是()Am，B，l，mlCn，n，mD，mC在A中，因为m，所以m，m，而，m并不垂直于内的所有直线，所以和m可能不垂直，故A错误；在B中，m只垂直于内的一条直线，所以不能推出m，故B错误；在C中，因为n，n，所以，又m，所以m，故C正确；在D中，由，不能推出，所以由m不能推出m，故D错误3(20
2、21河南鹤壁高三二模)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是()AEF与BB1垂直 BEF与BD垂直CEF与CD异面 DEF与A1C1异面D如图所示，连接A1B，由几何关系可得点E为A1B的中点，且BFFC1，由三角形中位线的性质可得：EFA1C1，即EF与A1C1不是异面直线，很明显，EF与CD异面，由几何关系可得：A1C1BB1，A1C1BD，则EFBB1，EFBD，综上可得，选项D中的结论不成立故选D4(2021南宁模拟)在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PAAB2，则直线PB与平面PAC所成角为
3、()A B C DA连接BD，交AC于点O因为PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BDAC，BDPA又因为PAACA，所以BD平面PAC，故BO平面PAC连接OP，则BPO即为直线PB与平面PAC所成角又因为PAAB2，所以PB2，BO所以sinBPO，所以BPO故选A5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EACC如图，A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，选项B，D错误；A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故选项C正确；(证明：由条件易知，BC1B1C
4、，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故选项A错误故选C6如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABCD在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，则CDAB又
5、ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC又AB平面ABC，平面ADC平面ABC二、填空题7已知四边形ABCD为平行四边形，PA平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件 时，有PCBD(填上你认为正确的一个条件即可)四边形ABCD是菱形(答案不唯一)四边形ABCD为平行四边形，PA平面ABCD，BDPA，当四边形ABCD是菱形时，BDAC，又PAACA，BD平面PAC，PCBD故答案为四边形ABCD是菱形8已知a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，在下列命题；ab；ab中，正确的命题是 (只填序号)：与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面
6、可能相交，所以是假命题；：根据直线与平面的位置关系可得：由a，a可得出，所以是真命题：根据直线与平面的位置关系可得：a与b可以是任意的位置关系，所以是假命题；：垂直于同一个平面的两条直线平行，所以是真命题；故答案为9如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为 (填序号)符合条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线，不正确根据题意可知PDDC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC”，设AB的中点为N，连接PN、DN，取PC的中点E，连接N
7、E、DE，所以DEPC，因为平面PAD底面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，所以ABPA，因为PABC，ANNB，PABCBN，所以PANCBN，PNCN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC”，且NEPC，所以PC平面EDN，当M点在线段DN上运动时，都有PCME，且E是中点，总有MPMC，所以点M在正方形ABCD内的轨迹是线段DN，所以正确不正确三、解答题10(2021江苏徐州一中高三期中)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面PCD，M，N分别是AB，PC的中点求证：(1)直线MN平面PAD；(2)直线CD平面PAD证明(1)根据题意，取PD的
8、中点G，连接NG、AG，G是PD的中点，N是PC的中点，则NGDC且NGDC，则四边形MNGA是平行四边形，则有MNAG，又由MN平面PAD中，而AG平面PAD中，则有直线MN平面PAD(2)PA平面PCD，CD平面PCD，所以PACD，又由底面ABCD是矩形，则CDAD，而PAADA，PA，AD平面PAD，所以直线CD平面PAD11(2021茂名一模)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，点D是AB的中点，BCAC，AB2DC2，AA1(1)求证：平面A1DC平面ABB1A1；(2)求点A到平面A1DC的距离解(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，点D是
9、AB的中点，BCAC，CD平面ABC，CDAB，CDAA1，ABAA1A，CD平面ABB1A1，CD平面A1DC，平面A1DC平面ABB1A1(2)点D是AB的中点，BCAC，AB2DC2，AA1设点A到平面A1DC的距离为d，VV，SACDAA1Sd，1112d，解得d，点A到平面A1DC的距离为1(2021武汉模拟)如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC的内部A连接AC1(图略)，因为ACAB，ACBC1，ABBC1B，所以AC平面ABC1，又AC平面ABC，所以平面ABC1平面A
10、BC，所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A2已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为60，若PAB的面积为，则该圆锥的体积为 作示意图如图所示，设底面半径为r，PA与圆锥底面所成角为60，则PAO60，则POr，PAPB2r，又PA，PB所成角的余弦值为，则sinAPB，则SPABPAPBsinAPB2r2r，解得r，故圆锥的体积为23如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是菱形，点E在线段PC上，PA平面EBD(1)证明：点E为线段PC中点；(2)已知PA平面ABCD，ABC60，点P到平面EBD的距离为1，四棱锥PABCD
11、的体积为2，求PA解(1)证明：连接AC，与BD相交于点O，连接EO，则经过PA的平面PAC与平面EBD交线为EO因为PA平面EBD，所以PAEO因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC的中点，所以EO是PAC中位线，于是E为线段PC中点(2)因为PA平面EBD，所以点A到平面EBD的距离等于点P到平面EBD的距离等于1因为PA平面ABCD，所以EO平面ABCD，所以平面EBD平面ABCD，平面EBD平面ABCDBD因为AOBD，所以AO面EBD，因此AO1因为ABC60，所以四边形ABCD是边长为2的菱形，面积为22sin 602，所以四棱锥PABCD的体积为VPABCD2PA，由2PA2，得
12、PA31(2019全国卷)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为 如图，过点P作PO平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离再过O作OEAC于E，OFBC于F，连接PC，PE，PF，则PEAC，PFBC又PEPF，所以OEOF，所以CO为ACB的平分线，即ACO45在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以OE1，所以PO2九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFP
13、B交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE(1)证明：PB平面DEF试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值解(1)证明：因为PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD而DE平面PCD，所以BCDE又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC而PCBCC，所以DE平面PBC而PB平面PBC，所以PBDE又PBEF，DEEFE，所以PB平面DEF由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB(2)如图，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD 的交线由(1)知，PB平面DEF，所以PBDG又因为PD底面ABCD，所以PDDG而PDPBP，所以DG平面PBD故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角， 设PDDC1，BC，有BD，在RtPDB中，由DFPB, 得DPFFDB， 则tan tanDPF，解得所以故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，
