1、课时作业(二十二)用向量方法求空间中的角A组基础巩固1如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C. D.解析：设CB1，则A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，B(0,0,1)，(0,2，1)，(2,2,1)cos，.答案：A2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()A B.C D.解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)(2，2,0)，(0,0,2)，(2
2、,0,1)设平面B1BD的法向量为n(x，y，z)n，n，令y1，则n(1,1,0)cosn，设直线BE与平面B1BD所成角为，则sin|cosn，|.答案：B3在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，则AC与BD1所成角的余弦值为()A0 B.C D.解析：建立如图坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，(2，2,3)，(2,2,0)cos，0.，90，其余弦值为0.答案：A4正方形ABCD所在平面外有一点P，PA平面ABCD.若PAAB，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为()A30 B45C60 D90解析：建系如
3、图，设AB1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)平面PAB的法向量为n1(1,0,0)设平面PCD的法向量n2(x，y，z)，则得令x1，则z1.n2(1,0,1)，cosn1，n2.平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.此角的大小为45.答案：B5在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：建立如图的空间直角坐标系，可知CB1C160，DC1D145，设B1C11，CC1DD1.C1D1，则有B1(，0,0)，C(，1，)，
4、C1(，1,0)，D(0,1，)(0,1，)，(，0，)cos，.答案：A6已知直角ABC中，C90，B30，AB4，D为AB的中点，沿中线将ACD折起使得AB，则二面角ACDB的大小为()A60 B90C120 D150解析：取CD中点E，在平面BCD内过B点作BFCD，交CD延长线于F.据题意知AECD，AEBF，EF2，AB.且，为二面角的平面角，由()2得1333423cos，cos，.，120.即所求的二面角为120.答案：C7直线l的方向向量a(2,3,2)，平面的一个法向量n(4,0,1)，则直线l与平面所成角的正弦值为_解析：设直线l与平面所成的角是，a，n所成的角为，sin|
5、cos|.答案：8在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin，_.解析：建立如图坐标系，设正方体棱长为2.可知(2，2,1)，(2,2，1)cos，.sin，.答案：9如图正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为_解析：建立坐标系如图，则B(1,1,0)，O，(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量又，BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为.答案：10如图，在空间直角坐标系中，BC2，原点O是BC的中点，点A的坐标是，点D在平面yOz上，且BDC90，DCB30.(1)求向量的坐
6、标；(2)设向量和的夹角为，求cos的值解：(1)过D作DEBC，垂足为E，在RtBDC中，由BDC90，DCB30，BC2，得BD1，CD，DECDsin30.OEOBBEOBBDcos601.D点的坐标为，即向量.(2)依题意，(0，1,0)，(0,1,0)，所以，(0,2,0)则cos.B组能力提升11如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则二面角CBFD的正切值为()A. B.C. D.解析：设ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PAADAC1，则BD，B，F，C
7、，D.，且为平面BDF的一个法向量由，可得平面BCF的一个法向量n(1，)cosn，sinn，.tann，.答案：D12如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_解析：不妨设棱长为2，则，cos，0.故AB1与BM的夹角为90.答案：9013如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点(1)求证：MN平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小解析：(1)证明：根据题意CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z
8、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBCCC1a，则B(0，a,0)，B1(0，a，a)，C(0,0,0)，C1(0,0，a)，A1(a,0，a)，M，N.所以(a，a，a)，(a,0，a)，.于是0，0，即MNBA1，MNCA1.又BA1CA1A1，故MN平面A1BC.(2)因为MN平面A1BC，则为平面A1BC的法向量，又(0，a，a)，则cos，所以，60.故直线BC1和平面A1BC所成的角为30.14如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFEAD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明平面AMD平面CDE；(
9、3)求二面角ACDE的余弦值解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点设AB1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.(1)(1,0,1)，(0，1,1)，于是cos，.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.(2)证明：由，(1,0,1)，(0,2,0)，可得0，0.因此，CEAM，CEAD.15如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CACBCDBD2，ABAD.(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值解：(1)证明：因为BODO，ABAD，所以AOBD.因为BODO，BCCD，所以COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO，而AC2，所以AO2CO2AC2，所以AOC90，即AOOC.因为BDOCO，所以AO平面BCD.(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，(1,0,1)，(1，0)，所以cos，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
