1、第2讲基本初等函数、函数与方程考情分析1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)互为反函数，其图象关于yx对称，它们的图象和性质分0a1两种情况，着重关注两函数图象的异同2幂函数yx的图象和性质，主要掌握1,2,3，1五种情况例1(1)已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则h(x)()A有最小值1
2、，最大值1B有最大值1，无最小值C有最小值1，无最大值D有最大值1，无最小值答案C解析画出y|f(x)|2x1|与yg(x)1x2的图象，它们交于A，B两点由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|g(x)，故h(x)|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|g(x)，故h(x)g(x)综上可知，yh(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值1，无最大值(2)已知函数f(x)ex2(x0)与g(x)ln(xa)2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A.B(，e)C.D.答案B解析由题意知，方程f(x)g(x)0在(0，)上有解，即ex2ln(xa)20在(0，)上有解，即函数y
3、ex与yln(xa)的图象在(0，)上有交点函数yln(xa)可以看作由ylnx左右平移得到，当a0时，两函数有交点，当a0时，向左平移，由图可知，将函数ylnx的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，)上不再有交点，把(0,1)代入yln(xa)，得1lna，即ae，a1和0a1时，两函数在定义域内都为增函数；当0aln，e10，故排除C.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)12x，则不等式f(x)0时，f(x)12x0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)的解集关于原点对称，由12x得2x1，则f(x)的解集是(，1)故选A.考点二函数的零点
4、核心提炼判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在性定理判断法(2)代数法：求方程f(x)0的实数根(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数yf(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性考向1函数零点的判断例2(1)(2020长沙调研)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有两个不同的零点x1，x2，则x1x2等于()A2B2或2C2或3D2或3或2答案D解析当x0时，f(x)(x1)ex，当x1时，f(x)0，故f(x)在(，1)上单调递减，当10，故f(x)在(1,0上单调递增，所以x0时，f(x)的最小值
5、为f(1).又当x1时，f(x)3x，当0x1时，f(x)x1.作出f(x)的图象，如图所示因为g(x)f(x)m有两个不同的零点，所以方程f(x)m有两个不同的根，等价于直线ym与f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1，x2，由图可知1m2或m0或m.若1m2，则x1x22；若m0，则x1x23；若m，则x1x2132.(2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f(x2)f(2x)，当x2,0时，f(x)x1，则关于x的方程f(x)log8(x2)0在区间(2,6)上根的个数为()A1B2C3D4答案C解析对于任意的xR，都有f(2x)f(2x)，f(x
6、4)f2(x2)f2(x2)f(x)f(x)，函数f(x)是一个周期函数，且T4.又当x2,0时，f(x)x1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(6)1，则函数yf(x)与ylog8(x2)在区间(2,6)上的图象如图所示，根据图象可得yf(x)与ylog8(x2)在区间(2,6)上有3个不同的交点，即f(x)log8(x2)0在区间(2,6)上有3个根考向2求参数的值或取值范围例3(1)已知关于x的方程9|x2|43|x2|a0有实数根，则实数a的取值范围是_答案3,0)解析设t3|x2|(0t1)，由题意知at24t在(0,1上有解，又t24t(t2)24(0t1)，3t24ta时
7、，g(x)3x没有零点，所以a3.若当xa时，g(x)x24x3有一个零点，则当xa时，g(x)3x必有一个零点，即3a0时，f(x)的图象如图所示，当f(f(x)0时，f1(x)2a，f2(x)0，f3(x)a.又f(f(x)0有8个不同的实根，故f1(x)2a有三个根，f2(x)0有三个根，f3(x)a有两个根，又x2ax2，所以2a且a8且a0，综上可知，a8.专题强化练一、单项选择题1(2020全国)设alog342，则4a等于()A.B.C.D.答案B解析方法一因为alog342，所以log34a2，所以4a329，所以4a.方法二因为alog342，所以a2log43log432l
8、og49，所以4a91.2函数f(x)lnx2x6的零点一定位于区间()A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5)答案B解析函数f(x)lnx2x6在其定义域上连续且单调，f(2)ln2226ln220，故函数f(x)lnx2x6的零点在区间(2,3)上3在同一直角坐标系中，函数f(x)2ax和g(x)loga(x2)(a0且a1)的大致图象可能为()答案A解析由题意知，当a0时，函数f(x)2ax为减函数若0a1，则函数f(x)2ax的零点x0(0,2)，且函数g(x)loga(x2)在(2，)上为增函数故A正确4(2020广东省揭阳三中模拟)已知a，b，c满足4a6，b，c3，
9、则()AabcBbcaCcabDcb4，a1，b2，c31,0ccb.5(2020全国)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)，其中K为最大确诊病例数当I(t*)0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln193)()A60B63C66D69答案C解析因为I(t)，所以当I(t*)0.95K时，0.95K，即0.95，即1，即1，19，0.23(t*53)ln19，t*535366.6(2020泉州模拟)若函数yloga(x2ax1)有最小值，则a的取值范围
10、是()A1a2B0a2，a1C0a1，且u(x)min0，a240，1a2，a的取值范围是1a0，且x1x2，故g(x)在x0时相切当x0时，设切点为(x0，kx0)，f(x)ex，f(x)ex，f(x0)k，kx0，解得x01，ke.8已知函数f(x)若关于x的方程2f2(x)(2a3)f(x)3a0有五个不同的解，则a的取值范围是()A(1,2) B.C.D.答案D解析作出f(x)|x|1，x0的图象如图所示设tf(x)，则原方程化为2t2(2a3)t3a0，解得t1a，t2.由图象可知，若关于x的方程2f2(x)(2a3)f(x)3a0有五个不同的实数解，只有当直线ya与函数yf(x)的
11、图象有三个不同的交点时才满足条件，所以1a0，解得a，综上，得1a8lg22Dbalg6答案ACD解析由10a4,10b25，得alg4，blg25，则ablg4lg25lg1002，故A正确；balg25lg4lglg6且lg4lg2lg48lg22，故C正确10已知函数f(x)loga(x1)，g(x)loga(1x)，a0，a1，则()A函数f(x)g(x)的定义域为(1,1)B函数f(x)g(x)的图象关于y轴对称C函数f(x)g(x)在定义域上有最小值0D函数f(x)g(x)在区间(0,1)上是减函数答案AB解析f(x)loga(x1)，g(x)loga(1x)，a0，a1，f(x)
12、g(x)loga(x1)loga(1x)，由x10且1x0得1x1，故A对；由f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)f(x)g(x)，得函数f(x)g(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，B对；1x1，f(x)g(x)loga(1x2)，y1x2在0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0a1时，函数f(x)g(x)在0,1)上单调递减，无最小值，故C错；f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)，当0a1时，f(x)loga(x1)在(0,1)上单调递增，g(x)loga(1x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)g(x)在(0,1)上单调递增，故D错11(2020淄博模
13、拟)已知函数yf(x)是R上的奇函数，对于任意xR，都有f(x4)f(x)f(2)成立当x0,2)时，f(x)2x1.给出下列结论，其中正确的是()Af(2)0B点(4,0)是函数yf(x)图象的一个对称中心C函数yf(x)在区间6，2上单调递增D函数yf(x)在区间6,6上有3个零点答案AB解析对于A，因为f(x)为奇函数且对任意xR，都有f(x4)f(x)f(2)，令x2，则f(2)f(2)f(2)0，故A正确；对于B，由A知，f(2)0，则f(x4)f(x)，则4为f(x)的一个周期，因为f(x)的图象关于原点(0,0)成中心对称，则(4,0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故B正确；
14、对于C，因为f(6)0，f(5)f(54)f(1)f(1)1，6f(5)，所以f(x)在区间6，2上不是单调递增的，故C错误；对于D，因为f(0)0，f(2)0，所以f(2)0，又4为f(x)的一个周期，所以f(4)0，f(6)0，f(4)0，f(6)0，所以函数yf(x)在区间6,6上有7个零点，故D错误12对于函数f(x)则下列结论正确的是()A任取x1，x22，)，都有|f(x1)f(x2)|1B函数yf(x)在4,5上单调递增C函数yf(x)ln(x1)有3个零点D若关于x的方程f(x)m(m0)恰有3个不同的实根x1，x2，x3，则x1x2x3答案ACD解析f(x)的图象如图所示，当
15、x2，)时，f(x)的最大值为，最小值为，任取x1，x22，)，都有|f(x1)f(x2)|1恒成立，故A正确；函数yf(x)在4,5上的单调性和在0,1上的单调性相同，则函数yf(x)在4,5上不单调，故B错误；作出yln(x1)的图象，结合图象，易知yln(x1)的图象与f(x)的图象有3个交点，函数yf(x)ln(x1)有3个零点，故C正确；若关于x的方程f(x)m(m0)恰有3个不同的实根x1，x2，x3，不妨设x1x2x3，则x1x23，x3，x1x2x3，故D正确三、填空题13(2019全国)已知f(x)是奇函数，且当x0时，x0时，f(x)f(x)eax，所以f(ln2)ealn
16、2a8，所以a3.14已知函数f(x)|lgx|，若f(a)f(b)(ab)，则函数g(x)的最小值为_答案2解析因为|lga|lgb|，所以不妨令ab，则有lgalgb，所以ab1，b(0a0时，g(x)ax22，当且仅当x时，等号成立，综上可知，g(x)min2.15定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则函数F(x)f(x)的所有零点之和为_答案解析由题意知，当x0时，f(x)作出函数f(x)的图象如图所示，设函数yf(x)的图象与y交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1x26，x4x56，x1x2x4x50，令，解得x3，所以函数F(x
17、)f(x)的所有零点之和为.16对于函数f(x)与g(x)，若存在xR|f(x)0，xR|g(x)0，使得|1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)ex2x3与g(x)x2axx4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是_答案3,4解析由题意知，函数f(x)的零点为x2，设g(x)的零点为，满足|2|1，因为|2|1，所以13.方法一因为函数g(x)的图象开口向上，所以要使g(x)的至少一个零点落在区间1,3上，则需满足g(1)g(3)0，或解得a4，或3a，得3a4.故实数a的取值范围为3,4方法二因为g()2a40，a1，因为13，所以3a4.故实数a的取值范围为3,4