1、5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第2课时）一、教学目标1.掌握两角和与差的正弦、正切公式的推导，并进行简单的化简求值2.掌握两角和与差的正弦、正切公式的变形推导，及相关的应用二、教学重难点1.两角和与差的正弦、正切公式的推导、逆用、变形及其应用2.两角和与差的正弦、正切公式的应用三、教学过程1.正弦公式正切公式的形成问题1：两角和与差的正弦根据两角和与差的余弦公式可推出两角和与差的正弦公式：S：sin()S：sin()【预设的答案】证明：由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知：=而且：=例如,=【预设的答案】例如,【对点快练】1sin 75_.2若cos ，是第三象限的角，则sin
2、_.【预设的答案】1.2+64 2.-7210【设计意图】两角和与差的正弦公式是可以由余弦公式推导的，用实际案例让学生感受该公式的应用，用变式训练让学生快速掌握公式的应用。2.具体感知，理性分析例1.(1)sin 21cos 39cos 21sin 39等于()ABCD1 (2)已知，0，cos，sin，求sin()的值【预设的答案】1.C 2.6365【变式练习】已知，且sin()，cos ，求sin .【预设的答案】35【设计意图】两角和与差的正弦公式的基本应用，字母转换为数据。例2.已知向量，如图所示，将向量绕原点沿逆时针方向旋转到的位置，求点的坐标。【预设的答案】(-22,722)例3
3、.求证：例4.在求函数的最小值时，下面的说法正确吗？“因为的最小值为-1，的最小值为-1，所以的最小值为-2“如果不对，指出原因，并求的周期，最小值和最小值点.【预设的答案】由此可知函数的周期为，最小值为，而最小值点满足，因此最小值点为.3.辅助角公式的形成由例4可以看出，当都是不为零的常数时，为了求出函数的周期、最值等，关键是要将函数化为的形式，也就是说，要找到合适的和，使得 恒成立。如果式恒成立，则将式的右边用展开可得因此，从而可知 ，因此，如果取 则有 （2）由（2）式和任意角的余弦、正弦的定义可知，若记平面直角坐标系中坐标为的点为P，而是以射线OP为终边的角，如图所示，则一定满足（2）
4、式。这就是说，满足（1）式的和一定存在，因此，其中满足（2）式。【设计意图】辅助角公式的推导证明。例5.已知函数，求的周期，最小值及最小值点。【预设的答案】解：因为 所以由此可知函数的周期为，最小值为，而且最小值点满足，因此最小值点为。【变式练习1】将下列各式写成Asin(x)的形式：(1)sin xcos x；(2)sincos.【预设的答案】解(1)sin xcos x222sin.(2)sincoscoscossin.【变式练习2】sin，则cos xcos的值为()ABCD【预设的答案】B【设计意图】辅助角公式的应用。4.正切公式的形成问题2：两角和与差的正切一般地，可以证明如下地两角
5、和与差地正切公式：其中的取值应使各项有意义。事实上，因为 =【对点快练】1若tan 3，tan ，则tan()等于()ABC3D32tan 75_.【预设的答案】（1）A（2）2+3【设计意图】两角和与差的正切公式是可以由正弦与余弦公式推导的，用实际案例让学生感受该公式的应用，用变式训练让学生快速掌握公式的应用。例6.求下列各式的值。（1） ； （2） ； （3）【预设的答案】解：（1）（2）（3）因为，所以【变式练习1】已知sin ，是第二象限的角，且tan()，则tan 的值为()ABCD【变式练习2】若，则(1tan )(1tan )等于()A1B1C2D2【预设的答案】C；C【设计意图
6、】两角和与差的正切公式的基本应用，字母转换为数据。5.综合应用例7. 已知函数f(x)sin 2xcos 2x.(1)求f(x)的最大值，以及取得最大值时x的取值集合；(2)求f(x)的单调递增区间【预设的答案】解f(x)sin 2xcos 2x2sin，(1)当2x2k，kZ时，函数取到最大值是2，此时xk，kZ，所以x的取值集合是.(2)由2k2x2k得kxk，kZ，所以函数的单调递增区间是kZ.【变式练习1】本例中，若加条件“x”，再求函数f(x)的最小值【变式练习2】函数f(x)sin xcos的值域为()A2,2B， C1,1D【预设的答案】（1）-1 （2）B-3，3【设计意图】两角和与差的正弦，余弦，正切公式的综合应用。
