1、专题3 函数与导数 第 1 2练 函数的零点关键抓住破题题眼 典例剖析 精题狂练 典例剖析 题型一 函数零点所在区间问题 题型二 函数零点个数问题 题型三 由函数零点求参数范围问题 题型一 函数零点所在区间问题 破题切入点确定函数在区间端点处函数值的符号是否相反，根据零点存在性定理判断零点所在区间.A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(1,2)与(2,3)例 1 函数 f(x)2xln 1x1的零点所在的大致区间是()解析 f(x)2xln 1x12xln(x1)，函数的定义域为(1，).题型一 函数零点所在区间问题 当1x2时，ln(x1)0，2x所以f(x)0，故函数在(1,2)
2、上没有零点.f(2)ln 110，22f(3)23ln 223ln 232ln 83，因为 82 22.828，所以 8e，题型一 函数零点所在区间问题 故 ln eln 8，即 112ln 8，所以2ln 8，即f(3)0，f(4)24ln 312ln 30.根据零点存在性定理，可知函数f(x)在(2,3)上必存在零点，故选B.答案 B 题型二 函数零点个数问题 例2 已知f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，方程f(x)0在0,1内有且只有一个根x，则f(x)0在区间0,2 014内根的个数为()A.1 006B.1 007C.2 013D.2 014 12破题切入点由条件推出f(x)
3、是周期等于2的周期函数，且关于直线x1对称.根据f()0，可得f()0，从而得到函数f(x)在一个周期内的零点个数，最后得到f(x)0在区间0,2 014内根的个数.1232解析 由f(x1)f(x1)，可知f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期是2.由f(x)f(x2)，可知函数f(x)关于直线x1对称，题型二 函数零点个数问题 因为函数f(x)0在0,1内有且只有一个根x，12所以函数f(x)0在区间0,2 014内根的个数为2 014，故选D.答案 D 破题切入点由条件得出函数性质，准确画出图象，结合图象解决.题型三 由函数零点求参数范围问题 例3 函数f(x)是定义在R上的偶函数，
4、且满足f(x2)f(x).当x0,1时，f(x)2x.若在区间2,3上方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_.解析 由f(x2)f(x)得函数的周期是2.由ax2af(x)0得f(x)ax2a，设yf(x)，yax2a，作出函数yf(x)，yax2a的图象，题型三 由函数零点求参数范围问题 如图，要使方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根，则直线yax2aa(x2)的斜率满足kAHakAG，由题意可知，G(1,2)，H(3,2)，A(2,0)，题型三 由函数零点求参数范围问题 所以 kAH25，kAG23，所以25a23.答案 25a0，f(2)4sin 5
5、2，由于52，所以sin 50，故f(2)0，则函数在0,2上存在零点；由于f(1)4sin(1)10，而f(2)0，所以函数在2,4上存在零点.选A.答案 A123456789 10 11 12精题狂练 3.定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x0 时，f(x)log0.5x1，0 x1，1|x3|，x1，则关于 x 的函数 F(x)f(x)a(0a1)的所有零点之和为()A.12aB.2a1C.12aD.2a1123456789 10 11 12精题狂练 解析 当0 x1时，f(x)0.由F(x)f(x)a0，画出函数yf(x)与ya的图象如图.函数F(x)f(x)a有5个零点.当1x0
6、时，0 x1，所以f(x)log0.5(x1)log2(1x)，即f(x)log2(1x)，1x0.123456789 10 11 12精题狂练 由f(x)log2(1x)a，解得x12a，因为函数f(x)为奇函数，所以函数F(x)f(x)a(0a0，则函数的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析 当x0时，由f(x)0，即ln(x2x1)0，得x2x11，解得x0(舍去)或x1.当x0时，f(x)exx2，f(x)ex10，所以函数f(x)在(，0上单调递减.123456789 10 11 12精题狂练 而f(0)e00210，故函数f(x)在(2,0)上有且只有一个零点.综上，函
7、数f(x)只有两个零点.答案 B 123456789 10 11 12精题狂练 5.(2014课标全国)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A.(2，)B.(，2)C.(1，)D.(，1)解析 f(x)3ax26x，当a3时，f(x)9x26x3x(3x2)，则当x(，0)时，f(x)0；x(0，)时，f(x)0，注意 f(0)1，f(23)590，不符合题意，排除A、C.则f(x)的大致图象如图1所示.图1 当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，43123456789 10 11 12精题狂练 则当 x(，32)时，f(x)0，x(
8、0，)时，f(x)0时，有3个零点；当k0时，有4个零点；当k0，123456789 10 11 12精题狂练 则f(x)t1(，)或f(x)t2(0,1).1k对于f(x)t1，存在两个零点x1，x2；对于f(x)t2，存在两个零点x3，x4.此时共计存在4个零点.解析 当k0时，f(f(x)1，综合图(1)分析，123456789 10 11 12精题狂练 当k0，且a1)，当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.解析 由于2a3b4，故f(1)loga11b1b0，而0loga21,2b(2，1)，故f(2)loga22b0，因此函数必在区间(2,3)内存在零
9、点，故n2.2123456789 10 11 12精题狂练 8.方程2xx23的实数解的个数为_.解析 方程变形为3x22x()x，12令y13x2，y2()x.12如图所示，由图象可知有2个交点.2123456789 10 11 12精题狂练 9.已知函数f(x)2ax22x3.如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，则实数a的取值范围为_.解析 若a0，则f(x)2x3，f(x)0 x 1,1，不合题意，故a0.32下面就a0分两种情况讨论：(1)当f(1)f(1)0时，f(x)在1,1上至少有一个零点，即(2a5)(2a1)0，解得12a52.123456789 10 11 12精题狂练
10、(2)当 f(1)f(1)0 时，f(x)在1,1上有零点的条件是 f 12a f10，1 12a0，解得 a52.综上，实数 a 的取值范围为12，.答案 12，123456789 10 11 12精题狂练 10.(2014天津)已知函数 f(x)|x25x4|，x0，2|x2|，x0.若函数 yf(x)a|x|恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为_.解析 画出函数f(x)的图象如图所示.函数yf(x)a|x|有4个零点，即函数y1a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a0).123456789 10 11 12精题狂练 当a2时，函数f(x)的图象与函数y1a|x
11、|的图象有3个交点.故a2.当ya|x|(x0)与y|x25x4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1a|x|的图象有5个交点，此时，由yaxyx25x4 得 x2(5a)x40.123456789 10 11 12精题狂练 由0得(5a)2160，解得a1，或a9(舍去)，则当1a2时，两个函数图象有4个交点.故实数a的取值范围是1a2.答案 1a0，3b0，b7且b3.存在满足条件的b，且b的取值范围是(7，3)(3，)123456789 10 11 12精题狂练 12.(2014四川)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数.(1)设g(
12、x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值；解 由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，当x0,1时，g(x)12a，e2a.123456789 10 11 12精题狂练 当a 时，g(x)0，12所以g(x)在0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a 时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递减，e2因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；当12ae2时，令 g(x)0 得 xln(2a)(0,1)，123456789 10 11 12精题狂练 所以函数g(x)在区间0，ln(2a)
13、上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增.于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a 时，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；12当12ae2时，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a 时，g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab.e2123456789 10 11 12精题狂练(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e2a1.证明 设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)f(x0)0可知f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负.故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理，g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2，123456789 10 11 12精题狂练 所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知，当a 时，g(x)在0,1上单调递增，12故g(x)在(0,1)内至多有一个零点.当a 时，g(x)在0,1上单调递减，e2故g(x)在(0,1)内至多有一个零点.所以 a0，g(1)e2ab0.由f(1)0，有abe10，g(1)1a0.解得e2a1.所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点时，e2a1.谢谢观看 更多精彩内容请登录